Уравнение

Математическая формула, выражающая равенство

Первое использование знака равенства, эквивалентного 14 x + 15 = 71 в современной записи. Из «Точильного камня Витте» Роберта Рекорда из Уэльса (1557). ^[1]

В математике уравнение — это математическая формула , которая выражает равенство двух выражений , соединяя их знаком равенства = . ^{[2] [3]} Слово уравнение и его родственные слова в других языках могут иметь слегка отличающиеся значения; например, во французском языке уравнение определяется как содержащее одну или несколько переменных , в то время как в английском языке любая правильно построенная формула, состоящая из двух выражений, связанных знаком равенства, является уравнением. ^[4]

Решение уравнения, содержащего переменные, состоит в определении того, какие значения переменных делают равенство истинным. Переменные, для которых необходимо решить уравнение, также называются неизвестными , а значения неизвестных, которые удовлетворяют равенству, называются решениями уравнения. Существует два вида уравнений: тождества и условные уравнения. Тождество истинно для всех значений переменных. Условное уравнение истинно только для определенных значений переменных. ^{[5] [6]}

Символ « = », который появляется в каждом уравнении, был изобретен в 1557 году Робертом Рекордом , который считал, что ничто не может быть более равным, чем параллельные прямые линии одинаковой длины. ^[1]

Описание

Уравнение записывается в виде двух выражений , соединенных знаком равенства ("="). ^[2] Выражения по обе стороны от знака равенства называются "левой стороной" и "правой стороной" уравнения. Очень часто правая сторона уравнения предполагается равной нулю. Это не уменьшает общности, так как это можно реализовать, вычитая правую часть из обеих сторон.

Наиболее распространенным типом уравнения является полиномиальное уравнение (обычно называемое также алгебраическим уравнением ), в котором обе стороны являются полиномами . Стороны полиномиального уравнения содержат один или несколько членов . Например, уравнение

${\displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y=0}$

имеет левую часть , которая имеет четыре члена, и правую часть , состоящую всего из одного члена. Имена переменных предполагают , что x и y являются неизвестными, а A , B , и C являются параметрами , но это обычно фиксируется контекстом (в некоторых контекстах y может быть параметром, или A , B , и C могут быть обычными переменными). ${\displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y}$ ${\displaystyle 0}$

Уравнение аналогично весам, на которые помещаются грузы. Когда на две чаши весов помещаются равные веса чего-либо (например, зерна), эти два груза приводят весы в равновесие и называются равными. Если с одной чаши весов убрать некоторое количество зерна, то такое же количество зерна нужно убрать и с другой, чтобы весы оставались в равновесии. В более общем смысле, уравнение остается в равновесии, если на обеих его чашах выполняется одна и та же операция.

Характеристики

Два уравнения или две системы уравнений эквивалентны , если они имеют один и тот же набор решений. Следующие операции преобразуют уравнение или систему уравнений в эквивалентную — при условии, что операции имеют смысл для выражений, к которым они применяются:

• Добавление или вычитание одного и того же количества к обеим сторонам уравнения. Это показывает, что каждое уравнение эквивалентно уравнению, в котором правая часть равна нулю.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевую величину.
• Применение тождества для преобразования одной стороны уравнения. Например, расширение произведения или разложение суммы на множители.
• Для системы: прибавление к обеим частям уравнения соответствующей части другого уравнения, умноженной на ту же величину.

Если некоторая функция применяется к обеим сторонам уравнения, то полученное уравнение имеет решения исходного уравнения среди своих решений, но может иметь дополнительные решения, называемые посторонними решениями . Например, уравнение имеет решение Возведение обеих сторон в степень 2 (что означает применение функции к обеим сторонам уравнения) изменяет уравнение на , которое не только имеет предыдущее решение, но и вводит постороннее решение, Более того, если функция не определена при некоторых значениях (например, 1/ x , которое не определено при x = 0), решения, существующие при этих значениях, могут быть потеряны. Таким образом, следует проявлять осторожность при применении такого преобразования к уравнению. ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=1.}$ ${\displaystyle f(s)=s^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}=1}$ ${\displaystyle x=-1.}$

Вышеуказанные преобразования являются основой большинства элементарных методов решения уравнений , а также некоторых менее элементарных, таких как метод исключения Гаусса .

Примеры

Аналогичная иллюстрация

Иллюстрация простого уравнения; x , y , z — действительные числа, аналогичные весам.

Уравнение аналогично весам , балансу или качелям .

Каждая сторона уравнения соответствует одной чаше весов. На каждой стороне могут быть размещены различные величины: если веса на двух сторонах равны, то весы уравновешены, и по аналогии равенство, представляющее равновесие, также уравновешено (если нет, то отсутствие равновесия соответствует неравенству, представленному неравенством ) .

На иллюстрации x , y и z — это разные величины (в данном случае действительные числа ), представленные в виде круговых весов, и каждый из x , y и z имеет разный вес. Сложение соответствует добавлению веса, тогда как вычитание соответствует удалению веса из того, что уже есть. Когда равенство выполняется, общий вес на каждой стороне одинаков.

Параметры и неизвестные

Уравнения часто содержат члены, отличные от неизвестных. Эти другие члены, которые считаются известными , обычно называются константами , коэффициентами или параметрами .

Пример уравнения, содержащего x и y в качестве неизвестных и параметр R :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

Если R выбран равным 2 ( R = 2), это уравнение в декартовых координатах будет распознаваться как уравнение для окружности радиусом 2 вокруг начала координат. Следовательно, уравнение с неуказанным R является общим уравнением для окружности.

Обычно неизвестные обозначаются буквами в конце алфавита, x , y , z , w , ..., а коэффициенты (параметры) обозначаются буквами в начале, a , b , c , d , .... Например, общее квадратное уравнение обычно записывается как ^ax2 +  bx  +  c  =  0.

Процесс нахождения решений или, в случае параметров, выражения неизвестных через параметры, называется решением уравнения . Такие выражения решений через параметры также называются решениями .

Система уравнений — это набор одновременных уравнений , обычно с несколькими неизвестными, для которых ищутся общие решения. Таким образом, решение системы — это набор значений для каждого из неизвестных, которые вместе образуют решение каждого уравнения в системе. Например, система

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}$

имеет единственное решение x  = −1, y  = 1.

Идентичности

Тождество — это уравнение, которое верно для всех возможных значений переменной(ых), которые оно содержит. Многие тождества известны в алгебре и исчислении. В процессе решения уравнения тождество часто используется для упрощения уравнения, что делает его более легко решаемым.

В алгебре примером тождества является разность двух квадратов :

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$

что верно для всех x и y .

Тригонометрия — это область, где существует множество тождеств; они полезны при манипулировании или решении тригонометрических уравнений . Два из многих, которые включают функции синуса и косинуса , это:

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

и

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$

которые оба верны для всех значений θ .

Например, чтобы найти значение θ , удовлетворяющее уравнению:

${\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}$

где θ ограничено диапазоном от 0 до 45 градусов, можно использовать приведенное выше тождество для произведения, чтобы получить:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}$

что дает следующее решение для θ:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}$

Поскольку функция синуса является периодической функцией , существует бесконечно много решений, если нет ограничений на θ . В этом примере ограничение θ диапазоном от 0 до 45 градусов ограничит решение только одним числом.

Алгебра

Алгебра изучает два основных семейства уравнений: полиномиальные уравнения и, среди них, особый случай линейных уравнений . Когда есть только одна переменная, полиномиальные уравнения имеют вид P ( x ) = 0, где P — полином , а линейные уравнения имеют вид ax  +  b  = 0, где a и b — параметры . Для решения уравнений из любого семейства используются алгоритмические или геометрические методы, которые берут начало в линейной алгебре или математическом анализе . Алгебра также изучает диофантовы уравнения , где коэффициенты и решения являются целыми числами . Используемые методы различны и берут начало в теории чисел . Эти уравнения в целом сложны; часто ищут только для того, чтобы найти существование или отсутствие решения, и, если они существуют, подсчитать количество решений.

Полиномиальные уравнения

Решения –1 и 2 полиномиального уравнения x ² – x + 2 = 0 являются точками, в которых график квадратичной функции y = x ² – x + 2 пересекает ось x.

В общем случае алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение — это уравнение вида

${\displaystyle P=0}$, или

${\displaystyle P=Q}$ ^[а]

где P и Q — многочлены с коэффициентами в некотором поле (например, рациональные числа , действительные числа , комплексные числа ). Алгебраическое уравнение является одномерным, если оно включает только одну переменную . С другой стороны, многомерное уравнение может включать несколько переменных, в этом случае оно называется многомерным (несколько переменных, x, y, z и т. д.).

Например,

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

представляет собой одномерное алгебраическое (полиномиальное) уравнение с целыми коэффициентами и

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

представляет собой многомерное полиномиальное уравнение над рациональными числами.

Некоторые полиномиальные уравнения с рациональными коэффициентами имеют решение, которое является алгебраическим выражением с конечным числом операций, включающих только эти коэффициенты (т. е. может быть решено алгебраически ). Это можно сделать для всех таких уравнений первой, второй, третьей или четвертой степени ; но уравнения пятой или более степени не всегда могут быть решены таким образом, как показывает теорема Абеля–Руффини .

Большое количество исследований было посвящено эффективному вычислению точных приближений действительных или комплексных решений одномерного алгебраического уравнения (см. Нахождение корней многочленов ) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).

Системы линейных уравнений

«Девять глав математического искусства» — анонимная китайская книга II века, предлагающая метод решения линейных уравнений.

Система линейных уравнений (или линейная система ) — это набор линейных уравнений, включающих одну или несколько переменных . ^[b] Например,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

это система из трех уравнений относительно трех переменных x , y , z . Решение линейной системы — это присвоение чисел переменным таким образом, чтобы все уравнения были одновременно удовлетворены. Решение системы выше дается как

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}$

поскольку это делает все три уравнения действительными. Слово « система » указывает на то, что уравнения следует рассматривать в совокупности, а не по отдельности.

В математике теория линейных систем является фундаментальной частью линейной алгебры , предмета, который используется во многих разделах современной математики. Вычислительные алгоритмы для поиска решений являются важной частью числовой линейной алгебры и играют видную роль в физике , технике , химии , информатике и экономике . Система нелинейных уравнений часто может быть аппроксимирована линейной системой (см. линеаризация ), полезный метод при создании математической модели или компьютерного моделирования относительно сложной системы.

Геометрия

Аналитическая геометрия

Синяя и красная линии — это множество всех точек ( x , y ), таких, что x + y =5 и - x +2 y =4 соответственно. Их точка пересечения (2,3) удовлетворяет обоим уравнениям.

В евклидовой геометрии можно связать набор координат с каждой точкой пространства, например, с помощью ортогональной сетки. Этот метод позволяет характеризовать геометрические фигуры уравнениями. Плоскость в трехмерном пространстве может быть выражена как множество решений уравнения вида , где и являются действительными числами, а являются неизвестными, которые соответствуют координатам точки в системе, заданной ортогональной сеткой. Значения являются координатами вектора, перпендикулярного плоскости, определяемой уравнением. Прямая выражается как пересечение двух плоскостей, то есть как множество решений одного линейного уравнения со значениями в или как множество решений двух линейных уравнений со значениями в ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Коническое сечение — это пересечение конуса с уравнением и плоскостью. Другими словами, в пространстве все коники определяются как множество решений уравнения плоскости и уравнения только что данного конуса. Этот формализм позволяет определить положения и свойства фокусов коники. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

Использование уравнений позволяет обратиться к большой области математики для решения геометрических вопросов. Декартова система координат преобразует геометрическую задачу в задачу анализа, как только фигуры преобразуются в уравнения; отсюда и название аналитическая геометрия . Эта точка зрения, изложенная Декартом , обогащает и изменяет тип геометрии, задуманный древнегреческими математиками.

В настоящее время аналитическая геометрия обозначает активную ветвь математики. Хотя она по-прежнему использует уравнения для описания фигур, она также использует другие сложные методы, такие как функциональный анализ и линейная алгебра .

Декартовы уравнения

Декартова система координат с окружностью радиуса 2 с центром в начале координат, отмеченном красным. Уравнение окружности имеет вид ( x − a ) ² + ( y − b ) ² = r ² , где a и b — координаты центра ( a , b ) , а r — радиус.

В декартовой геометрии уравнения используются для описания геометрических фигур . Поскольку рассматриваемые уравнения, такие как неявные уравнения или параметрические уравнения , имеют бесконечно много решений, цель теперь иная: вместо того, чтобы явно давать решения или подсчитывать их, что невозможно, уравнения используются для изучения свойств фигур. Это исходная идея алгебраической геометрии , важной области математики.

Тот же принцип можно использовать для указания положения любой точки в трехмерном пространстве с помощью трех декартовых координат, которые представляют собой расстояния до трех взаимно перпендикулярных плоскостей (или, что эквивалентно, ее перпендикулярной проекции на три взаимно перпендикулярные прямые).

Изобретение декартовых координат в 17 веке Рене Декартом произвело революцию в математике, обеспечив первую систематическую связь между евклидовой геометрией и алгеброй . Используя декартову систему координат, геометрические фигуры (например, кривые ) можно описать декартовыми уравнениями: алгебраическими уравнениями, включающими координаты точек, лежащих на фигуре. Например, окружность радиуса 2 на плоскости с центром в определенной точке, называемой началом координат, можно описать как множество всех точек, координаты x и y которых удовлетворяют уравнению x ² + y ² = 4 .

Параметрические уравнения

Параметрическое уравнение для кривой выражает координаты точек кривой как функции переменной , называемой параметром . ^{[7] [8]} Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$

являются параметрическими уравнениями для единичной окружности , где t — параметр. Вместе эти уравнения называются параметрическим представлением кривой.

Понятие параметрического уравнения было обобщено на поверхности , многообразия и алгебраические многообразия большей размерности , причем число параметров равно размерности многообразия или многообразия, а число уравнений равно размерности пространства, в котором рассматривается многообразие или многообразие (для кривых размерность равна единице и используется один параметр, для поверхностей размерность два и два параметра и т. д.).

Теория чисел

Диофантовы уравнения

Диофантово уравнение — это полиномиальное уравнение с двумя или более неизвестными, для которого ищутся только целочисленные решения (целочисленное решение — это решение, при котором все неизвестные принимают целые значения). Линейное диофантово уравнение — это уравнение между двумя суммами одночленов нулевой или первой степени . Примером линейного диофантова уравнения является ax + by = c , где a , b и c — константы. Показательное диофантово уравнение — это уравнение, для которого показатели степеней членов уравнения могут быть неизвестными.

Диофантовы задачи имеют меньше уравнений, чем неизвестных переменных, и включают в себя поиск целых чисел, которые работают правильно для всех уравнений. На более техническом языке они определяют алгебраическую кривую , алгебраическую поверхность или более общий объект и спрашивают о точках решетки на нем.

Слово «диофантов» относится к эллинистическому математику 3-го века, Диофанту Александрийскому , который изучал такие уравнения и был одним из первых математиков, введших символику в алгебру . Математическое исследование диофантовых проблем, начатое Диофантом, теперь называется диофантовым анализом .

Алгебраические и трансцендентные числа

Алгебраическое число — это число, которое является решением ненулевого полиномиального уравнения с одной переменной с рациональными коэффициентами (или, что эквивалентно — путем очистки знаменателей — с целыми коэффициентами). Такие числа, как π , которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными . Почти все действительные и комплексные числа являются трансцендентными.

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия — раздел математики , классически изучающий решения полиномиальных уравнений . Современная алгебраическая геометрия основана на более абстрактных методах абстрактной алгебры , особенно коммутативной алгебры , с языком и задачами геометрии .

Основными объектами изучения алгебраической геометрии являются алгебраические многообразия , которые являются геометрическими проявлениями решений систем полиномиальных уравнений . Примерами наиболее изученных классов алгебраических многообразий являются: плоские алгебраические кривые , которые включают прямые , окружности , параболы , эллипсы , гиперболы , кубические кривые , такие как эллиптические кривые , и кривые четвертой степени, такие как лемнискаты , и овалы Кассини . Точка плоскости принадлежит алгебраической кривой, если ее координаты удовлетворяют заданному полиномиальному уравнению. Базовые вопросы включают изучение точек особого интереса, таких как особые точки , точки перегиба и точки на бесконечности . Более сложные вопросы включают топологию кривой и соотношения между кривыми, заданными различными уравнениями.

Дифференциальные уравнения

Странный аттрактор , возникающий при решении некоторого дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение — это математическое уравнение, связывающее некоторую функцию с ее производными . В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные — их скорости изменения, а уравнение определяет связь между ними. Они решаются путем нахождения выражения для функции, которое не включает производные. Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, в которых задействованы скорости изменения переменной, и используются в таких областях, как физика, химия, биология и экономика.

В чистой математике дифференциальные уравнения изучаются с нескольких различных точек зрения, в основном касающихся их решений — набора функций, которые удовлетворяют уравнению. Только простейшие дифференциальные уравнения решаются явными формулами; однако некоторые свойства решений данного дифференциального уравнения могут быть определены без нахождения их точной формы.

Если самодостаточная формула для решения недоступна, решение может быть численно приближено с использованием компьютеров. Теория динамических систем делает акцент на качественном анализе систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в то время как было разработано много численных методов для определения решений с заданной степенью точности.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение или ОДУ — это уравнение, содержащее функцию одной независимой переменной и ее производных. Термин « обыкновенный » используется в отличие от термина «частное дифференциальное уравнение» , которое может быть относительно более чем одной независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения, которые имеют решения, которые можно складывать и умножать на коэффициенты, хорошо определены и понятны, и получены точные решения в замкнутой форме. Напротив, ОДУ, которые не имеют аддитивных решений, являются нелинейными, и их решение гораздо более сложно, поскольку их редко можно представить элементарными функциями в замкнутой форме: Вместо этого точные и аналитические решения ОДУ находятся в последовательной или интегральной форме. Графические и численные методы, применяемые вручную или с помощью компьютера, могут аппроксимировать решения ОДУ и, возможно, давать полезную информацию, часто достаточную при отсутствии точных аналитических решений.

Уравнения с частными производными

Уравнение в частных производных (УЧП) — это дифференциальное уравнение , которое содержит неизвестные многомерные функции и их частные производные . (Это отличается от обыкновенных дифференциальных уравнений , которые имеют дело с функциями одной переменной и их производными.) Уравнения в частных производных используются для формулировки задач, включающих функции нескольких переменных, и либо решаются вручную, либо используются для создания соответствующей компьютерной модели .

PDE могут использоваться для описания широкого спектра явлений, таких как звук , тепло , электростатика , электродинамика , течение жидкости , упругость или квантовая механика . Эти, казалось бы, различные физические явления могут быть формализованы аналогичным образом в терминах PDE. Так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы , дифференциальные уравнения в частных производных часто моделируют многомерные системы . PDE находят свое обобщение в стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных .

Типы уравнений

Уравнения можно классифицировать по типам операций и задействованным количествам. Важные типы включают:

• Алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение — это уравнение, в котором обе стороны являются полиномами (см. также система полиномиальных уравнений ). Они далее классифицируются по степени :
  • линейное уравнение первой степени
  • квадратное уравнение второй степени
  • кубическое уравнение третьей степени
  • уравнение четвертой степени для четвертой степени
  • уравнение пятой степени для пятой степени
  • уравнение секстика для шестой степени
  • септическое уравнение для седьмой степени
  • восьмеричное уравнение восьмой степени
• Диофантово уравнение — это уравнение, в котором неизвестные должны быть целыми числами.
• Трансцендентное уравнение — это уравнение, содержащее трансцендентную функцию своих неизвестных.
• Параметрическое уравнение — это уравнение, в котором решения для переменных выражаются как функции некоторых других переменных, называемых параметрами, которые появляются в уравнениях.
• Функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестные являются функциями, а не простыми величинами.
• Уравнения с производными, интегралами и конечными разностями:
  • Дифференциальное уравнение — это функциональное уравнение, включающее производные неизвестных функций, где функция и ее производные оцениваются в одной и той же точке, например . Дифференциальные уравнения подразделяются на обыкновенные дифференциальные уравнения для функций одной переменной и уравнения в частных производных для функций многих переменных. ${\displaystyle f'(x)=x^{2}}$
  • Интегральное уравнение — это функциональное уравнение, включающее первообразные неизвестных функций. Для функций одной переменной такое уравнение отличается от дифференциального уравнения прежде всего заменой переменной, заменой функции на ее производную, однако это не так, когда интеграл берется по открытой поверхности
  • Интегро -дифференциальное уравнение — это функциональное уравнение, включающее как производные , так и первообразные неизвестных функций. Для функций одной переменной такое уравнение отличается от интегральных и дифференциальных уравнений аналогичной заменой переменной.
  • Функциональное дифференциальное уравнение дифференциального уравнения с запаздыванием — это функциональное уравнение, включающее производные неизвестных функций, вычисленные в нескольких точках, например: ${\displaystyle f'(x)=f(x-2)}$
  • Разностное уравнение — это уравнение, где неизвестной является функция f , которая встречается в уравнении через f ( x ), f ( x −1), ..., f ( x − k ), для некоторого целого числа k, называемого порядком уравнения. Если x ограничен целым числом, разностное уравнение — это то же самое, что и рекуррентное соотношение
  • Стохастическое дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в котором один или несколько членов представляют собой случайный процесс.

Смотрите также

• Формула
• История алгебры
• Неопределенное уравнение
• Список уравнений
• Список научных уравнений, названных в честь людей
• Термин (логика)
• Теория уравнений
• Отмена

Примечания

1. Поскольку такое уравнение можно переписать как P – Q = 0 , многие авторы не рассматривают этот случай явно.
2. Тема этой статьи является базовой в математике и рассматривается во многих учебниках. Среди них, Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005 содержат материал этой статьи.

Ссылки

1. Recorde, Robert, The Whetstone of Witte ... (Лондон, Англия: Jhon Kyngstone, 1557), третья страница главы «Правило уравнения, обычно называемое правилом Алгебры».
2. "Equation - Math Open Reference". www.mathopenref.com . Получено 01.09.2020 .
3. "Уравнения и формулы". www.mathsisfun.com . Получено 2020-09-01 .
4. Маркус , Соломон; Уотт, Стивен М. «Что такое уравнение?» . Получено 27.02.2019 .
5. Лашо, Жиль. «Уравнение, математика». Энциклопедия Universalis (на французском языке).
6. «Утверждение о равенстве между двумя выражениями. Уравнения бывают двух типов: тождества и условные уравнения (или обычно просто «уравнения»)». «  Уравнение  », в Mathematics Dictionary , Glenn James  [de] et Robert C. James (éd.), Van Nostrand, 1968, 3-е изд., 1-е изд., 1948, стр. 131.
7. Томас, Джордж Б. и Финни, Росс Л., Исчисление и аналитическая геометрия , Addison Wesley Publishing Co., пятое издание, 1979, стр. 91.
8. Weisstein, Eric W. «Параметрические уравнения». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

Внешние ссылки

• Winplot: универсальный графопостроитель, который может рисовать и анимировать двухмерные и трехмерные математические уравнения.
• Построитель уравнений: веб-страница для создания и загрузки графиков в формате PDF или PostScript для наборов решений уравнений и неравенств с двумя переменными ( x и y ).