В математике решить уравнение — значит найти его решения , которые представляют собой значения ( числа , функции , множества и т. д.), которые удовлетворяют условию, указанному в уравнении , состоящему, как правило, из двух выражений, связанных знаком равенства . При поиске решения одна или несколько переменных обозначаются как неизвестные . Решение — это присвоение значений неизвестным переменным, которое делает равенство в уравнении верным. Другими словами, решение — это значение или набор значений (по одному для каждого неизвестного), таких, что при подстановке неизвестных уравнение становится равенством . Решение уравнения часто называют корнем уравнения, в частности, но не только для полиномиальных уравнений . Множество всех решений уравнения — это его множество решений .
Уравнение может быть решено либо численно , либо символьно. Решение уравнения численно означает, что в качестве решений допускаются только числа. Решение уравнения символьно означает, что для представления решений могут использоваться выражения.
Например, уравнение x + y = 2 x – 1 решается относительно неизвестного x выражением x = y + 1 , потому что подстановка y + 1 вместо x в уравнении приводит к ( y + 1) + y = 2( y + 1) – 1 , что является истинным утверждением. Также можно взять переменную y в качестве неизвестной, и тогда уравнение решается как y = x – 1 . Или x и y могут оба рассматриваться как неизвестные, и тогда существует много решений уравнения; символическое решение — это ( x , y ) = ( a + 1, a ) , где переменная a может принимать любое значение. Создание символического решения с конкретными числами дает численное решение; например, a = 0 дает ( x , y ) = (1, 0) (то есть x = 1, y = 0 ), а a = 1 дает ( x , y ) = (2, 1) .
Различие между известными и неизвестными переменными обычно делается в постановке задачи с помощью таких фраз, как «уравнение относительно x и y » или «решить относительно x и y », которые указывают неизвестные, здесь x и y . Однако обычно резервируют x , y , z , ... для обозначения неизвестных и используют a , b , c , ... для обозначения известных переменных, которые часто называют параметрами . Это обычно имеет место при рассмотрении полиномиальных уравнений , таких как квадратные уравнения . Однако для некоторых задач все переменные могут принимать любую из ролей.
В зависимости от контекста, решение уравнения может заключаться в поиске любого решения (достаточно найти одно решение), всех решений или решения, которое удовлетворяет дополнительным свойствам, таким как принадлежность к заданному интервалу . Когда задача состоит в поиске решения, которое является наилучшим по некоторому критерию, это задача оптимизации . Решение задачи оптимизации, как правило, не называется «решением уравнения», поскольку, как правило, методы решения начинаются с конкретного решения для поиска лучшего решения и повторяют процесс до тех пор, пока в конечном итоге не будет найдено наилучшее решение.
Одна общая форма уравнения:
где f — функция , x 1 , ..., x n — неизвестные, а c — константа. Ее решения — элементы обратного образа ( волокна )
где D — область определения функции f . Множество решений может быть пустым множеством (нет решений), синглтоном (существует ровно одно решение), конечным или бесконечным (существует бесконечно много решений).
Например, такое уравнение как
с неизвестными x , y и z можно представить в приведенной выше форме, вычитая 21 z из обеих сторон уравнения, чтобы получить
В этом конкретном случае существует не одно решение, а бесконечное множество решений, которое можно записать с использованием нотации конструктора множеств как
Одно частное решение — x = 0, y = 0, z = 0. Два других решения — x = 3, y = 6, z = 1 и x = 8, y = 9, z = 2. Существует единственная плоскость в трехмерном пространстве , которая проходит через три точки с этими координатами , и эта плоскость представляет собой множество всех точек, координаты которых являются решениями уравнения.
Множество решений заданного набора уравнений или неравенств — это множество всех его решений, причем решение — это кортеж значений, по одному для каждого неизвестного , который удовлетворяет всем уравнениям или неравенствам. Если множество решений пусто, то нет значений неизвестных, которые удовлетворяют одновременно всем уравнениям и неравенствам.
Для простого примера рассмотрим уравнение
Это уравнение можно рассматривать как диофантово уравнение , то есть уравнение, для которого ищутся только целочисленные решения. В этом случае множество решений — это пустое множество , поскольку 2 не является квадратом целого числа. Однако, если искать действительные решения, то есть два решения, √ 2 и – √ 2 ; другими словами, множество решений — это { √ 2 , − √ 2 } .
Когда уравнение содержит несколько неизвестных, и когда есть несколько уравнений с большим количеством неизвестных, чем уравнений, множество решений часто бесконечно. В этом случае решения не могут быть перечислены. Для их представления часто полезна параметризация , которая состоит в выражении решений через некоторые неизвестные или вспомогательные переменные. Это всегда возможно, когда все уравнения линейны .
Такие бесконечные множества решений можно естественным образом интерпретировать как геометрические фигуры, такие как линии , кривые (см. рисунок), плоскости и, в более общем смысле, алгебраические многообразия или многообразия . В частности, алгебраическую геометрию можно рассматривать как изучение множеств решений алгебраических уравнений .
Методы решения уравнений обычно зависят от типа уравнения, как вида выражений в уравнении, так и вида значений, которые могут принимать неизвестные. Разнообразие типов уравнений велико, как и соответствующих методов. Ниже упомянуты лишь несколько конкретных типов.
В общем, если задан класс уравнений, может не быть известного систематического метода ( алгоритма ), который гарантированно будет работать. Это может быть связано с недостатком математических знаний; некоторые проблемы были решены только после столетий усилий. Но это также отражает то, что в общем случае такого метода не может существовать: известно, что некоторые проблемы неразрешимы алгоритмом , например, десятая проблема Гильберта , неразрешимость которой была доказана в 1970 году.
Для нескольких классов уравнений были найдены алгоритмы их решения, некоторые из которых были реализованы и включены в системы компьютерной алгебры , но часто не требуют более сложной технологии, чем карандаш и бумага. В некоторых других случаях известны эвристические методы, которые часто оказываются успешными, но не гарантируют успеха.
Если множество решений уравнения ограничено конечным множеством (как в случае с уравнениями в модульной арифметике , например), или может быть ограничено конечным числом возможностей (как в случае с некоторыми диофантовыми уравнениями ), множество решений может быть найдено методом грубой силы , то есть путем проверки каждого из возможных значений ( кандидатов на решения ). Однако может быть так, что число возможностей, которые необходимо рассмотреть, хотя и конечно, настолько велико, что исчерпывающий поиск практически неосуществим; это, по сути, требование для надежных методов шифрования .
Как и в случае со всеми видами решения проблем , метод проб и ошибок иногда может дать решение, в частности, когда форма уравнения или его сходство с другим уравнением с известным решением может привести к «вдохновенной догадке» о решении. Если догадка при проверке не оказывается решением, рассмотрение того, каким образом она не является решением, может привести к измененной догадке.
Уравнения, включающие линейные или простые рациональные функции одного действительного неизвестного, скажем, x , такие как
можно решить, используя методы элементарной алгебры .
Меньшие системы линейных уравнений можно решить аналогичным образом методами элементарной алгебры. Для решения больших систем используются алгоритмы, основанные на линейной алгебре . См. Исключение Гаусса и численное решение линейных систем .
Полиномиальные уравнения степени до четвертой могут быть решены точно с помощью алгебраических методов, из которых квадратная формула является простейшим примером. Полиномиальные уравнения степени пятой или выше требуют в общем случае численных методов (см. ниже) или специальных функций, таких как Bring radicals , хотя некоторые конкретные случаи могут быть решены алгебраически, например
(используя теорему о рациональном корне ) и
(используя подстановку x = z 1 ⁄ 3 , что упрощает это уравнение до квадратного относительно z ).
В диофантовых уравнениях решения должны быть целыми числами . В некоторых случаях можно использовать подход грубой силы, как упоминалось выше. В некоторых других случаях, в частности, если уравнение имеет одно неизвестное, можно решить уравнение для рациональных неизвестных (см. Теорему о рациональном корне ), а затем найти решения диофантова уравнения, ограничив множество решений целочисленными решениями. Например, полиномиальное уравнение
имеет в качестве рациональных решений x = − 1/2 и x = 3 , и поэтому, рассматриваемое как диофантово уравнение, оно имеет единственное решение x = 3 .
Однако в целом диофантовы уравнения являются одними из самых сложных для решения уравнений.
В простом случае функции одной переменной, скажем, h ( x ) , мы можем решить уравнение вида h ( x ) = c для некоторой константы c , рассмотрев так называемую обратную функцию h .
Для данной функции h : A → B обратная функция, обозначаемая h −1 и определяемая как h −1 : B → A , является функцией такой, что
Теперь, если мы применим обратную функцию к обеим сторонам h ( x ) = c , где c — постоянное значение в B , мы получим
и мы нашли решение уравнения. Однако, в зависимости от функции, обратная функция может быть трудноопределимой или может не быть функцией на всем множестве B (только на некотором подмножестве) и иметь много значений в некоторой точке.
Если вместо полного набора решений подойдет только одно решение, то на самом деле достаточно, если только функциональная идентичность
выполняется. Например, проекция π 1 : R 2 → R, определяемая как π 1 ( x , y ) = x , не имеет пост-обратной, но имеет пред-обратную π−1
1определяется как π−1
1( x ) = ( x , 0) . Действительно, уравнение π 1 ( x , y ) = c решается с помощью
Примерами обратных функций являются корень n-й степени (обратная функция x n ); логарифм (обратная функция a x ); обратные тригонометрические функции и функция Ламберта W (обратная функция xe x ).
Если выражение левой части уравнения P = 0 можно разложить на множители как P = QR , то множество решений исходного решения состоит из объединения множеств решений двух уравнений Q = 0 и R = 0. Например, уравнение
можно переписать, используя тождество tan x cot x = 1, как
который можно разложить на множители
Решения, таким образом, являются решениями уравнения tan x = 1 и, таким образом, представляют собой набор
С более сложными уравнениями в действительных или комплексных числах простые методы решения уравнений могут потерпеть неудачу. Часто алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона–Рафсона, могут использоваться для нахождения численного решения уравнения, что для некоторых приложений может быть вполне достаточным для решения некоторой проблемы. Существуют также численные методы для систем линейных уравнений .
Уравнения, включающие матрицы и векторы действительных чисел, часто можно решить, используя методы линейной алгебры .
Существует огромное количество методов решения различных видов дифференциальных уравнений , как численных , так и аналитических . Конкретный класс задач, который можно отнести сюда, — это интегрирование , и аналитические методы решения такого рода задач теперь называются символическим интегрированием . [ требуется ссылка ] Решения дифференциальных уравнений могут быть неявными или явными . [1]
