В математике , а точнее в геометрии , параметризация (или параметризация ; также параметризация , параметризация ) — это процесс нахождения параметрических уравнений кривой , поверхности или, в более общем плане, многообразия или многообразия , определяемых неявным уравнением . Обратный процесс называется имплицитизацией . [1] «Параметризация» сама по себе означает «выражение через параметры ». [2]
Параметризация — математический процесс, состоящий из выражения состояния системы , процесса или модели как функции некоторых независимых величин, называемых параметрами . Состояние системы обычно определяется конечным набором координат , и, таким образом, параметризация состоит из одной функции нескольких действительных переменных для каждой координаты. Количество параметров – это количество степеней свободы системы.
Например, положение точки , которая движется по кривой в трехмерном пространстве, определяется временем, необходимым для достижения точки при старте из фиксированного начала координат. Если x , y , z — координаты точки, то движение таким образом описывается параметрическим уравнением [1]
где t — параметр и обозначает время. Такое параметрическое уравнение полностью определяет кривую без необходимости какой-либо интерпретации t как времени и поэтому называется параметрическим уравнением кривой (иногда это сокращают, говоря, что у человека есть параметрическая кривая ). Аналогично можно получить параметрическое уравнение поверхности, рассматривая функции двух параметров t и u .
Параметризации обычно не уникальны . Обычный трехмерный объект может быть одинаково эффективно параметризован (или «координирован») с помощью декартовых координат ( x , y , z ), цилиндрических полярных координат ( ρ , φ , z ), сферических координат ( r , φ, θ) или других системы координат .
Точно так же цветовое пространство трехцветного цветового зрения человека может быть параметризовано с помощью трех цветов: красного, зеленого и синего ( RGB ) или голубого, пурпурного, желтого и черного ( CMYK ).
Как правило, минимальное количество параметров, необходимых для описания модели или геометрического объекта, равно ее размерности , а областью действия параметров — в пределах допустимых диапазонов — является пространство параметров . Хотя хороший набор параметров позволяет идентифицировать каждую точку в пространстве объекта, может случиться так, что для данной параметризации разные значения параметров могут относиться к одной и той же точке. Такие отображения сюръективны , но не инъективны . Примером может служить пара цилиндрических полярных координат (ρ, φ, z ) и (ρ, φ + 2π, z ).
Как указывалось выше, существует произвол в выборе параметров данной модели, геометрического объекта и т. д. Часто возникает желание определить внутренние свойства объекта, не зависящие от этого произвола и, следовательно, независимые от какого-либо конкретного выбора параметры. Это особенно актуально в физике, где параметризационная инвариантность (или «репараметризационная инвариантность») является руководящим принципом в поиске физически приемлемых теорий (особенно в общей теории относительности ).
Например, хотя положение фиксированной точки на некоторой кривой линии может быть задано набором чисел, значения которых зависят от того, как параметризована кривая, длина ( соответственно определенная) кривой между двумя такими фиксированными точками не будет зависеть от конкретный выбор параметризации (в данном случае: метод, с помощью которого произвольная точка на линии однозначно индексируется). Таким образом, длина кривой является величиной, не зависящей от параметризации. В таких случаях параметризация — это математический инструмент, используемый для извлечения результата, значение которого не зависит от деталей параметризации и не ссылается на них. В более общем смысле параметризационная инвариантность физической теории подразумевает, что либо размерность , либо объем пространства параметров больше, чем необходимо для описания рассматриваемой физики (физических величин).
Хотя общая теория относительности может быть выражена без ссылки на систему координат, расчеты физических (то есть наблюдаемых) величин, таких как кривизна пространства-времени , неизменно предполагают введение определенной системы координат для обозначения точек пространства-времени, участвующих в расчете. . Тогда в контексте общей теории относительности выбор системы координат можно рассматривать как метод «параметризации» пространства-времени, а нечувствительность результата вычисления физически значимой величины к этому выбору можно рассматривать как пример. параметризационной инвариантности.
Другой пример: физические теории, наблюдаемые величины которых зависят только от относительных расстояний (отношения расстояний) между парами объектов, называются масштабно-инвариантными . В таких теориях любое упоминание в ходе расчета абсолютного расстояния означало бы введение параметра, к которому теория инвариантна.
