Функция нескольких действительных переменных

В математическом анализе и его приложениях функция нескольких действительных переменных или действительная многомерная функция — это функция с более чем одним аргументом , причем все аргументы являются действительными переменными. Эта концепция расширяет идею функции действительной переменной на несколько переменных. «Входные» переменные принимают действительные значения, а «выходные», также называемые «значением функции», могут быть вещественными или комплексными . Однако изучение комплекснозначных функций можно легко свести к изучению вещественнозначных функций , рассматривая действительную и мнимую части комплексной функции; поэтому, если явно не указано иное, в этой статье будут рассматриваться только функции с действительным знаком.

Область определения функции $n$ переменных — это подмножество , для которого определена функция. Как обычно, предполагается, что область определения функции нескольких действительных переменных содержит непустое открытое подмножество . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Общее определение

Функции

f (x 1, x 2, \dots, x n)

от

n

переменных, построенные в виде графиков в пространстве

R n + 1

. Домены представляют собой красные

n

-мерные области, изображения — фиолетовые

n

-мерные кривые.

Функция с действительным знаком $n$ действительных переменных — это функция , которая принимает в качестве входных данных $n$ действительных чисел , обычно представленных переменными x $1, x 2, \dots, x n$ , для получения другого действительного числа, значения функции, обычно обозначаемого $ж (Икс 1, Икс 2, \dots, Икс п)$ . Для простоты в этой статье вещественная функция нескольких вещественных переменных будет называться просто функцией . Чтобы избежать какой-либо двусмысленности, другие типы функций, которые могут возникнуть, будут явно указаны.

Некоторые функции определены для всех действительных значений переменных (говорят, что они определены всюду), но некоторые другие функции определены только в том случае, если значение переменной берется в подмножестве $X$ $из$ Rn $,$ области определения функции, которое всегда должно содержать открытое подмножество $Rn .$ Другими словами, действительная функция от $n$ действительных переменных — это функция

f:X\to \mathbb {R}

такой, что его область определения $X$ является подмножеством $Rn$ , содержащим непустое открытое множество $.$

Элемент $X$ представляет собой $n$ - кортеж $(x 1, x 2, \dots, x n)$ (обычно ограничивается круглыми скобками), общее обозначение для обозначения функций будет $f ((x 1, x 2, \dots, x n) )$ . Обычное использование, намного старше общего определения функций между множествами, заключается в том, чтобы не использовать двойные круглые скобки и просто писать $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ .

Также принято сокращать $n$ -кортеж $(x 1, x 2, \dots, x n)$ , используя обозначения, аналогичные обозначениям для векторов , например жирный шрифт $x$ , подчеркивание $x$ или перечеркивание $x \to$ . В этой статье будет использован жирный шрифт.

Простым примером функции с двумя переменными может быть:

{\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}

который представляет собой объем $V$ конуса с площадью основания $A$ и высотой $h$ , измеренной перпендикулярно основанию. Область определения ограничивает все переменные положительными значениями, поскольку длины и площади должны быть положительными.

Для примера функции с двумя переменными:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}

где $a$ и $b$ — действительные ненулевые константы. Используя трехмерную декартову систему координат , где плоскость xy — это область $R 2 , а$ $ось$ z — это область значений $R$ , можно визуализировать изображение как двумерную плоскость с наклоном a в положительном направлении x. и наклон $b$ в положительном направлении y. Функция четко определена во всех точках $($ $x$ $,$ $y$ $)$ в $R$ $2$ . Предыдущий пример можно легко расширить на более высокие измерения:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}

для $p$ ненулевых вещественных констант $a 1, a 2, \dots, a p$ , описывающих $p$ -мерную гиперплоскость .

Евклидова норма :

f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

также является функцией n переменных, которая определена всюду, а

g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}

определяется только для $x \neq (0, 0, \dots, 0)$ .

Для примера нелинейной функции с двумя переменными:

{\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}

который принимает все точки из $X$ , диск радиуса $\sqrt 8$ , «проколотый» в начале координат $(x, y) = (0, 0)$ в плоскости $R 2$ , и возвращает точку из $R$ . Функция не включает начало координат $(x, y) = (0, 0)$ , если бы это было так, то $f$ в этой точке было бы неправильно определено. Используя трехмерную декартову систему координат с плоскостью xy в качестве области $R 2$ и осью z в качестве кодомена $R$ , изображение можно визуализировать как искривленную поверхность.

Функция может быть вычислена в точке $(x, y) = (2, \sqrt 3)$ в $X$ :

z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,

Однако функцию нельзя было вычислить, скажем,

(x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8

поскольку эти значения $x$ и $y$ не удовлетворяют правилу предметной области.

Изображение

Образ функции $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ — это набор всех значений $f$ , когда $n$ -кортеж $(x 1, x 2, \dots, x n)$ выполняется во всей области определения $f.$ . Для непрерывной (см. определение ниже) действительной функции, имеющей связную область, изображение представляет собой либо интервал, либо одно значение. В последнем случае функция является постоянной функцией .

Прообраз данного действительного числа c $называется$ множеством уровня . Это набор решений уравнения f $(x 1, x 2, \dots, x n) = c$ .

Домен

Область определения функции нескольких действительных переменных — это подмножество $R n$ , которое иногда, но не всегда, определяется явно. Фактически, если ограничить область определения $X$ $функции$ f $подмножеством$ Y $\subset X,$ формально получится другая функция — ограничение f на $Y$ , которая обозначается . На практике часто (но не всегда) не вредно отождествлять $f$ и и опускать ограничитель $|$ $Ю.$ _ $f|_{Y}$ $f|_{Y}$

И наоборот, иногда можно естественным образом расширить область определения данной функции, например, путем непрерывности или аналитического продолжения .

Более того, многие функции определены таким образом, что трудно явно указать их область определения. Например, для функции $f$ может быть сложно указать область определения функции. Если $f$ является многомерным полиномом (который имеет в качестве области определения), то даже трудно проверить, является ли область определения $g$ также . Это эквивалентно проверке того, всегда ли полином положителен и является ли объектом активной области исследований (см. Положительный полином ). $g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Алгебраическая структура

Обычные арифметические операции с действительными числами могут быть распространены на вещественные функции нескольких действительных переменных следующим образом:

Для каждого действительного числа $r$ постоянная функция $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r$ везде определено.
Для каждого действительного числа $r$ и каждой функции $f$ функция: $rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})$ имеет ту же область определения, что и $f$ (или определена всюду, если $r = 0$ ).
Если $f$ и $g$ — две функции соответствующих областей $X$ и $Y$ такие, что $X \cap Y$ содержит непустое открытое подмножество $Rn,$ то $f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ и $g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ — это функции, область определения которых содержит $X \cap Y$ .

Отсюда следует, что функции от $п$ переменных, определенные всюду, и функции от $п$ переменных, определенные в некоторой окрестности данной точки, образуют коммутативные алгебры над вещественными числами ( $R$ -алгебры). Это прототип функционального пространства .

Аналогичным образом можно определить

1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

которая является функцией только в том случае, если набор точек $(x 1, \dots, x n)$ в области определения $f$ таких, что $f (x 1, \dots, x n) \neq 0$ , содержит открытое подмножество $R n$ . Это ограничение означает, что две вышеупомянутые алгебры не являются полями .

Функции с одной переменной, связанные с функцией с несколькими переменными

Можно легко получить функцию от одной вещественной переменной, придав постоянное значение всем переменным, кроме одной. Например, если $(a 1, \dots, an)$ является точкой внутренней области определения функции $f , мы$ $можем$ зафиксировать значения $x 2, \dots, x n$ равными $a 2, \dots, an соответственно$ , чтобы получить функцию с одной переменной

x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),

чья область определения содержит интервал с центром $в 1$ . Эту функцию также можно рассматривать как ограничение функции $f$ на линию, определяемую уравнениями $x i = a i$ для $i = 2, \dots, n$ .

$Другие$ функции с одной переменной могут быть определены путем ограничения $f$ любой линией, проходящей через $(a 1, \dots, an)$ . Это функции

x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),

где $c i$ — действительные числа, которые не все равны нулю.

В следующем разделе мы покажем, что если функция многих переменных непрерывна, то непрерывны и все эти функции одной переменной, но обратное не обязательно верно.

Непрерывность и предел

До второй половины XIX века математики рассматривали только непрерывные функции . Тогда понятие непрерывности было разработано для функций одной или нескольких действительных переменных задолго до формального определения топологического пространства и непрерывного отображения между топологическими пространствами. Поскольку непрерывные функции нескольких действительных переменных широко распространены в математике, стоит определить это понятие без ссылки на общее понятие непрерывных отображений между топологическими пространствами.

$Для$ определения непрерывности полезно рассмотреть функцию расстояния R $n$ , которая является всюду определенной функцией $2$ $n$ действительных переменных:

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

Функция $f$ непрерывна в точке $a$ $= ($ $a$ $1$ $, \dots,$ $an$ $) ,$ которая находится внутри ее области определения, если для каждого положительного действительного числа $ε$ $существует$ такое положительное действительное число $φ$ , что $|$ $ж$ $($ $Икс$ $) -$ $ж$ $($ $а$ $)| <$ $ε$ для всех $x$ таких, что $d$ $($ $x$ $a$ $) <$ $φ$ . Другими словами, $φ$ можно выбрать достаточно малым, чтобы изображение $f$ шара радиуса $φ$ с центром в $a$ содержалось в интервале длины $2$ $ε$ с центром в $f$ $($ $a$ $)$ . Функция непрерывна, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.

Если функция непрерывна в точке $f$ $(a),$ то все одномерные функции, полученные фиксированием всех переменных $xi,$ кроме одной, со значением $ai$ , непрерывны в точке $f (a)$ . Обратное неверно; это означает, что все эти одномерные функции могут быть непрерывными для функции, которая не является непрерывной в точке $f (a)$ . В качестве примера рассмотрим функцию $f$ такую, что $f (0, 0) = 0$ и в противном случае определяется формулой

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

Функции $x \mapsto f (x, 0)$ и $y \mapsto f (0, y)$ постоянны и равны нулю, поэтому непрерывны. Функция $f$ не является непрерывной в точке $(0, 0)$ , потому что, если $ε < 1/2$ и $y = x 2 \neq 0$ , мы имеем $f (x, y) = 1/2$ , даже если $| х |$ очень мал. Хотя эта функция и не является непрерывной, она обладает еще одним свойством: все одномерные функции, полученные путем ее ограничения линией, проходящей через $(0, 0),$ также являются непрерывными. На самом деле, у нас есть

f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}

для $λ \neq 0$ .

Предел в точке действительной функции нескольких действительных переменных определяется следующим образом. $[$ ^1] Пусть $a = (a 1, a 2, \dots, an)$ — точка топологического замыкания $области$ X функции $f$ . Функция $f$ имеет предел $L$ , когда $x$ стремится к $a$ , обозначаемый

L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),

если выполнено следующее условие: для каждого положительного действительного числа $ε > 0$ существует положительное действительное число $δ > 0$ такое, что

|f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon

для всех $x$ в области определения таких, что

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .

Если предел существует, он уникален. Если $a$ находится внутри области, предел существует тогда и только тогда, когда функция непрерывна в точке $a$ . В этом случае мы имеем

f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).

Когда $a$ находится на границе области определения $f$ и если $f$ имеет предел в точке $a$ , последняя формула позволяет «расширить непрерывностью» область определения $f$ до $a$ .

Симметрия

Симметричная функция — это функция $f$ , которая не изменяется при замене двух переменных $x i$ и $x j :$

f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )

где $i$ и $j$ — каждый из $1, 2,\dots, n$ . Например:

f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

симметричен по $x, y, z,$ поскольку замена любой пары $x, y, z$ оставляет $f неизменной$ $,$ но не симметричен по всем $x, y, z, t$ , поскольку замена $t$ на $x ,$ $y$ или z дает другую функцию .

Функциональная композиция

Предположим, что функции

\xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

или , более компактно , $ξ = ξ (x)$ определены в области $X.$ Поскольку $n$ -кортеж $x = (x 1, x 2, \dots, x n)$ меняется в $X$ , подмножестве $R n$ , $m$ -кортеж $ξ = (ξ 1, ξ 2, \dots, ξ m)$ меняется в другом область $Ξ$ является подмножеством $R m$ . Чтобы повторить это:

{\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .

Тогда функция $ζ$ функций $ξ (x)$ , определенных на $Ξ$ ,

{\begin{aligned}&\zeta :\Xi \to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}),\end{aligned}}

представляет собой функциональную композицию , определенную на $X$ , ^[2] другими словами, отображение

{\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

Обратите внимание, что числа $m$ и $n$ не обязательно должны быть равны.

Например, функция

f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]

определенное всюду на $R2,$ можно переписать, введя

(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,x-y,x+y)

которое также всюду определено в $R3,$ чтобы получить

f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.

Композиция функций может использоваться для упрощения функций, что полезно для выполнения множественных интегралов и решения уравнений в частных производных .

Исчисление

Элементарное исчисление — это исчисление вещественных функций одной действительной переменной, и основные идеи дифференцирования и интегрирования таких функций могут быть распространены на функции более чем одной действительной переменной; это расширение представляет собой исчисление с несколькими переменными .

Частные производные

Частные производные могут быть определены по отношению к каждой переменной:

{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Частные производные сами по себе являются функциями, каждая из которых представляет скорость изменения $f$ параллельно одной из осей $x 1, x 2, \dots, x n$ во всех точках области (если производные существуют и непрерывны - см. также ниже ). Первая производная является положительной, если функция увеличивается в направлении соответствующей оси, отрицательной, если она уменьшается, и нулевой, если нет увеличения или уменьшения. Оценка частной производной в определенной точке области дает скорость изменения функции в этой точке в направлении, параллельном определенной оси, — действительное число.

Для действительных функций действительной переменной $y = f (x)$ ее обычная производная $dy / dx$ геометрически представляет собой градиент касательной к кривой $y = f (x)$ во всех точках области. Частные производные распространяют эту идею на касательные гиперплоскости к кривой.

Частные производные второго порядка можно рассчитать для каждой пары переменных:

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Геометрически они связаны с локальной кривизной изображения функции во всех точках области. В любой точке, где функция четко определена, функция может возрастать по некоторым осям и/или уменьшаться по другим осям, и/или вообще не увеличиваться или не уменьшаться по другим осям.

Это приводит к множеству возможных стационарных точек : глобальных или локальных максимумов , глобальных или локальных минимумов и седловых точек — многомерного аналога точек перегиба для действительных функций одной действительной переменной. Матрица Гессе — это матрица всех частных производных второго порядка, которые используются для исследования стационарных точек функции, важных для математической оптимизации .

В общем случае частные производные более высокого порядка $p$ имеют вид:

{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

где $p 1, p 2, \dots, p n$ — целые числа от $0$ до $p$ такие, что $p 1 + p 2 + \dots + p n = p$ , используя определения нулевых частных производных в качестве тождественных операторов :

{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.

Число возможных частных производных увеличивается с увеличением $p$ , хотя некоторые смешанные частные производные (относительно более чем одной переменной) являются излишними из-за симметрии частных производных второго порядка . Это уменьшает количество частных производных, которые нужно вычислить для некоторого $p$ .

Многомерная дифференцируемость

Функция $f (x)$ дифференцируема в окрестности точки $a$ $,$ если существует $n$ -кортеж чисел, зависящих от $a$ $вообще$ , $A$ $($ $a$ $) = ($ $A1$ $($ $a$ $),$ $A2$ $($ $a$ ) $, \dots,$ $An$ $($ $a$ $))$ , так что: $[$ ^3]

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

тогда как . Это означает, что если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то $f$ непрерывна в точке $x$ $=$ $a$ , хотя обратное неверно — непрерывность в области не влечет за собой дифференцируемость в области. Если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то частные производные первого порядка существуют в точке $a$ и: $\alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0$ $|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0$

\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})

для $i = 1, 2, \dots, n$ , которые можно найти из определений отдельных частных производных, поэтому частные производные $f$ существуют.

Предполагая $n$ -мерный аналог прямоугольной декартовой системы координат , эти частные производные можно использовать для формирования векторного линейного дифференциального оператора , называемого градиентом (также известного как « набла » или « дель ») в этой системе координат:

\nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})

широко используется в векторном исчислении , поскольку он полезен для построения других дифференциальных операторов и компактной формулировки теорем векторного исчисления.

Тогда замена градиента $\nabla f$ (оцененного при $x = a)$ с небольшой перестановкой дает:

f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение . Это уравнение представляет собой наилучшее линейное приближение функции $f$ во всех точках $x$ в окрестности $a$ . Для $бесконечно$ малых изменений f и $x$ при $x$ $\to$ $a$ :

df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}

который определяется как полный дифференциал или просто дифференциал f в $точке$ $a$ . Это выражение соответствует общему бесконечно малому изменению $f$ путем сложения всех бесконечно малых изменений $f$ во всех $направлениях$ $xi$ . Кроме того, $df$ можно рассматривать как ковектор с базисными векторами в качестве бесконечно малых $dx$ $i$ в каждом направлении и частными производными $f$ в качестве компонентов.

Геометрически $\nabla f$ перпендикулярен множествам уровня $f$ , заданным формулой $f (x) = c$ , которое для некоторой константы $c$ описывает $(n - 1)$ -мерную гиперповерхность. Дифференциал константы равен нулю:

df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0

в котором $d x$ — бесконечно малое изменение $x$ на гиперповерхности $f (x) = c$ , и поскольку скалярное произведение $\nabla f$ и $d x$ равно нулю, это означает, что $\nabla f$ перпендикулярно $d x$ .

В произвольных криволинейных системах координат в $n$ измерениях явное выражение градиента не будет таким простым — для этой системы координат будут использоваться масштабные коэффициенты в терминах метрического тензора . В приведенном выше случае, используемом в этой статье, метрикой является просто дельта Кронекера , а все масштабные коэффициенты равны 1.

Классы дифференцируемости

Если все частные производные первого порядка оцениваются в точке $a$ в области:

\left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

существуют и непрерывны для всех $a$ в области, $f$ имеет класс дифференцируемости $C 1$ . В общем, если все частные производные порядка $p$ оцениваются в точке $a$ :

\left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

существуют и непрерывны, где $p 1, p 2, \dots, p n$ и $p$ такие же, как указано выше, для всех $a$ в области, тогда $f$ дифференцируемо по порядку $p$ во всей области и имеет класс дифференцируемости $C p$ .

Если $f$ принадлежит классу дифференцируемости $C\infty$ , $f имеет непрерывные частные производные всех$ $порядков$ и называется гладкой . Если $f$ — аналитическая функция и равна своему ряду Тейлора относительно любой точки области, обозначение $C ω$ обозначает этот класс дифференцируемости.

Множественная интеграция

Определенное интегрирование может быть расширено до множественного интегрирования по нескольким действительным переменным с использованием обозначений;

\int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}

где каждая область $R 1, R 2, \dots, R n$ представляет собой подмножество или всю реальную линию:

R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,

и их декартово произведение дает регион, который можно интегрировать как единое множество:

R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,

n $-$ мерный гиперобъем . При вычислении определенный интеграл является действительным числом, если он сходится в области интегрирования $R$ (результат определенного интеграла может расходиться до бесконечности для данной области, в таких случаях интеграл остается неопределенным). Переменные рассматриваются как «фиктивные» или «связанные» переменные , которые заменяются числами в процессе интегрирования.

Интеграл от действительной функции действительной переменной $y = f (x)$ по $x$ имеет геометрическую интерпретацию как площадь, ограниченная кривой $y = f (x)$ и осью $x$ . Множественные интегралы расширяют размерность этой концепции: предполагая $n$ $-$ $мерный$ аналог прямоугольной декартовой системы координат , указанный выше определенный интеграл имеет геометрическую интерпретацию как $n$ -мерный гиперобъем, ограниченный $f (x)$ и $x1, x2, \dots, x n$ осей, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, в зависимости от интегрируемой функции (если интеграл сходится).

Хотя ограниченный гиперобъем является полезной идеей, более важная идея определенных интегралов заключается в том, что они представляют полные величины в пространстве. Это имеет значение в прикладной математике и физике: если $f$ — некоторое поле скалярной плотности , а $x$ — координаты вектора положения , то есть некоторая скалярная величина на единицу n -мерного гиперобъема, то интегрирование по области $R$ дает общее количество количества в $R.$ Более формальные понятия гиперобъема являются предметом теории меры . Выше мы использовали меру Лебега , подробнее по этой теме см. Интегрирование Лебега .

Теоремы

С помощью определений множественного интегрирования и частных производных можно сформулировать ключевые теоремы, включая фундаментальную теорему исчисления с несколькими действительными переменными (а именно, теорему Стокса ), интегрирование по частям с несколькими действительными переменными, симметрию высших частных производных и теорему Тейлора. для функций многих переменных . Оценку смеси интегралов и частных производных можно выполнить, используя теорему дифференцирования под знаком интеграла .

Векторное исчисление

Можно собрать ряд функций, каждая из нескольких действительных переменных, скажем

y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})

в $m$ -кортеж или иногда в вектор-столбец или вектор-строку соответственно:

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}

все они рассматриваются на том же основании, что и $m$ -компонентное векторное поле , и используют любую удобную форму. Все приведенные выше обозначения имеют общее компактное обозначение $y = f (x)$ . Исчисление таких векторных полей является векторным исчислением . Дополнительные сведения об обработке векторов-строок и векторов-столбцов функций многих переменных см. в разделе матричное исчисление .

Неявные функции

Вещественнозначная неявная функция нескольких вещественных переменных не записывается в виде « $y = f (\dots)$ ». Вместо этого происходит отображение пространства $R n + 1$ на нулевой элемент в $R$ (просто обычный нуль 0):

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\&\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=0\end{aligned}}

представляет собой уравнение со всеми переменными. Неявные функции — это более общий способ представления функций, поскольку если:

y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

тогда мы всегда можем определить:

\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0

но обратное не всегда возможно, т. е. не все неявные функции имеют явный вид.

Например, используя интервальное обозначение , пусть

{\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}

Выбирая трехмерную (3D) декартову систему координат, эта функция описывает поверхность трехмерного эллипсоида с центром в начале координат $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ с постоянными большими полуосями $a, b, c$ вдоль положительных осей x , y и z соответственно. В случае $a = b = c = r$ мы имеем сферу радиуса $r$ с центром в начале координат. Другие примеры конического сечения , которые можно описать аналогичным образом, включают гиперболоид и параболоид , а в более общем плане - любую двумерную поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Приведенный выше пример можно решить для $x$ , $y$ или $z$ ; однако гораздо удобнее записать его в неявной форме.

Более сложный пример:

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{4}\to \{0\}\\&\phi (t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz}+A\sin(3\omega t)\left(x^{2}z-By^{6}\right)=0\end{aligned}}

для ненулевых действительных констант $A, B, C, ω$ эта функция четко определена для всех $(t, x, y, z)$ , но ее нельзя решить явно для этих переменных и записать как « $t =$ », « $х =$ "и т. д.

Теорема о неявной функции более чем двух действительных переменных касается непрерывности и дифференцируемости функции следующим образом. ^[4] Пусть $φ (x 1, x 2, \dots, x n)$ — непрерывная функция с непрерывными частными производными первого порядка, и пусть φ оценивается в точке $(a, b) = (a 1, a 2, \dots, a n, b)$ быть нулевым:

\phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;

и пусть первая частная производная $φ$ по $y$ , оцененная в $(a, b)$ , не равна нулю:

\left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=({\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.

Тогда существует интервал $[y1, y2] ,$ содержащий $b$ , и область $R$ , содержащая $(a, b)$ $,$ такие, что для каждого $x$ в $R$ существует ровно одно $значение$ $y$ в $[y1, y2],$ удовлетворяющее $φ (x, y) = 0$ , а $y$ — непрерывная функция от $x$ , так что $φ (x, y (x)) = 0$ . Полные дифференциалы функций равны:

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};

d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.

Подстановка $dy$ в последний дифференциал и приравнивание коэффициентов дифференциалов дает частные производные первого порядка от $y$ по $x i$ через производные исходной функции, каждая из которых является решением линейного уравнения

{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=0

для $i = 1, 2, \dots, n$ .

Комплексная функция нескольких действительных переменных

Комплексная функция нескольких действительных переменных может быть определена путем ослабления при определении действительнозначных функций ограничения кодомена действительными числами и разрешения комплексных значений.

Если $f (x 1, \dots, x n)$ такая комплексная функция, ее можно разложить как

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}),

где $g$ и $h$ — вещественные функции. Другими словами, изучение комплекснозначных функций легко сводится к изучению пар вещественнозначных функций.

Это сокращение работает для общих свойств. Однако для явно заданной функции, например:

z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right)-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]

вычисление действительной и мнимой частей может быть затруднено.

Приложения

Многомерные функции реальных переменных неизбежно возникают в технике и физике , поскольку наблюдаемые физические величины представляют собой действительные числа (с соответствующими единицами измерения и размерностями ), а любая одна физическая величина, как правило, будет зависеть от ряда других величин.

Примеры вещественных функций нескольких действительных переменных

Примеры в механике сплошной среды включают локальную массовую плотность $ρ$ распределения массы, скалярное поле , которое зависит от координат пространственного положения (здесь декартовых для примера), $r = (x, y, z)$ и времени $t$ :

\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)

То же самое касается плотности электрического заряда электрически заряженных объектов и многих других скалярных потенциальных полей.

Другим примером является поле скоростей , векторное поле , которое имеет компоненты скорости $v = (v x, v y, v z)$ , каждая из которых аналогично является функцией многих переменных пространственных координат и времени:

\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]

Аналогично и для других физических векторных полей, таких как электрические поля и магнитные поля , а также векторные потенциальные поля.

Еще одним важным примером является уравнение состояния в термодинамике , уравнение, связывающее давление $P$ , температуру $T$ и объем $V$ жидкости, в общем случае оно имеет неявный вид:

f(P,V,T)=0

Простейшим примером является закон идеального газа :

f(P,V,T)=PV-nRT=0

где $n$ — число молей , постоянное для фиксированного количества вещества , а $R —$ газовая постоянная . Эмпирически были выведены гораздо более сложные уравнения состояния, но все они имеют указанную выше неявную форму.

Вещественнозначные функции нескольких реальных переменных широко распространены в экономической науке . В основе теории потребления полезность выражается как функция количества различных потребляемых товаров, причем каждое количество является аргументом функции полезности. Результатом максимизации полезности является набор функций спроса , каждая из которых выражает величину спроса на конкретный товар как функцию цен на различные товары, а также дохода или богатства. В теории производителей обычно предполагается, что фирма максимизирует прибыль в зависимости от количества различных произведенных товаров и количества различных используемых факторов производства. Результатом оптимизации является набор функций спроса для различных факторов производства и набор функций предложения для различных продуктов; аргументами каждой из этих функций являются цены товаров и факторов производства.

Примеры комплексных функций нескольких действительных переменных

Некоторые «физические величины» на самом деле могут иметь комплексные значения, такие как комплексный импеданс , комплексная диэлектрическая проницаемость , комплексная проницаемость и комплексный показатель преломления . Это также функции реальных переменных, таких как частота или время, а также температуры.

В двумерной механике жидкости , особенно в теории потенциальных потоков , используемых для описания движения жидкости в 2d, комплексный потенциал

F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )

представляет собой комплексную функцию двух пространственных координат $x$ и $y$ и других действительных переменных, связанных с системой. Действительная часть — это потенциал скорости , а мнимая часть — функция тока .

Сферические гармоники встречаются в физике и технике как решение уравнения Лапласа , а также как собственные функции z -компонентного оператора углового момента , которые являются комплексными функциями вещественных сферических полярных углов :

Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

В квантовой механике волновая функция обязательно является комплексной, но является функцией реальных пространственных координат (или компонентов импульса ), а также времени $t$ :

\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)

где каждый связан преобразованием Фурье .