Дифференциальный оператор

Обычно линейный оператор определяется в терминах дифференцирования функций.

Гармоническая функция, определенная на кольце . Гармонические функции — это именно те функции, которые лежат в ядре оператора Лапласа , важного дифференциального оператора.

В математике дифференциальный оператор — это оператор , определяемый как функция оператора дифференцирования . В качестве обозначения полезно сначала рассматривать дифференцирование как абстрактную операцию, которая принимает функцию и возвращает другую функцию (в стиле функции высшего порядка в информатике ).

В данной статье рассматриваются в основном линейные дифференциальные операторы, которые являются наиболее распространенным типом. Однако существуют и нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца .

Определение

Учитывая неотрицательное целое число m , порядково- линейный дифференциальный оператор представляет собой отображение функционального пространства в другое функциональное пространство , которое можно записать как: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$

мультииндексчиселn ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle D^{\alpha }}$

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

Таким образом, для функции : ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

Обозначения оправданы (т. е. не зависят от порядка дифференцирования) ввиду симметрии вторых производных . ${\displaystyle D^{\alpha }}$

Полином p , полученный заменой D переменными из P , называется полным символом P ; т. е. общий символ P выше: ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$

${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

называется главным символом P . Хотя общий символ не определен внутренне, главный символ определен внутренне (т. е. он является функцией на кокасательном расслоении). ^[1]

В более общем смысле, пусть E и F — векторные расслоения над многообразием X . Тогда линейный оператор

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

является дифференциальным оператором порядка , если в локальных координатах на X имеем ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{lower-order terms}}}$

где для каждого мультииндекса α — отображение расслоения , симметричное относительно индексов α. ${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$

Коэффициенты k - ^{го порядка} P преобразуются как симметричный тензор

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

чья область определения является тензорным произведением k - ^й симметричной степени кокасательного расслоения X с E , и чья кодобласть равна F . Этот симметричный тензор известен как главный символ (или просто символ ) P.

Система координат x ⁱ допускает локальную тривиализацию кокасательного расслоения с помощью координатных дифференциалов d x ⁱ , которые определяют координаты слоя ξ _i . В терминах базиса шкал e _µ , f _ν систем E и F соответственно дифференциальный оператор P разлагается на компоненты

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

на каждом участке u E . Здесь P _νμ — скалярный дифференциальный оператор, определяемый формулой

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.}$

Благодаря этой тривиализации главный символ теперь можно записать

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.}$

В кокасательном пространстве над фиксированной точкой x из X символ определяет однородный многочлен степени k со значениями в . ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$

Интерпретация Фурье

Дифференциальный оператор P и его символ естественным образом появляются в связи с преобразованием Фурье следующим образом. Пусть ƒ — функция Шварца . Тогда с помощью обратного преобразования Фурье

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Это демонстрирует P как множитель Фурье . Более общий класс функций p ( x ,ξ), которые удовлетворяют не более чем полиномиальным условиям роста по ξ, при которых этот интеграл ведет себя хорошо, включает псевдодифференциальные операторы .

Примеры

• Дифференциальный оператор является эллиптическим , если его символ обратим; то есть для каждого ненулевого отображения расслоение обратимо. На компактном многообразии из эллиптической теории следует, что P — оператор Фредгольма : он имеет конечномерное ядро ​​и коядро. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$ ${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$
• При изучении гиперболических и параболических уравнений в частных производных нули главного символа соответствуют характеристикам уравнения в частных производных.
• В приложениях к физике такие операторы, как оператор Лапласа, играют важную роль в построении и решении уравнений в частных производных .
• В дифференциальной топологии операторы внешней производной и производной Ли имеют внутренний смысл.
• В абстрактной алгебре концепция вывода допускает обобщения дифференциальных операторов, которые не требуют использования исчисления. Часто такие обобщения применяются в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре . См. также Джет (математика) .
• При разработке голоморфных функций комплексной переменной z = x + i  y иногда комплексную функцию рассматривают как функцию двух вещественных переменных x и y . Используются производные Виртингера , которые являются операторами в частных производных:
  $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$
  Этот подход также используется для изучения функций нескольких комплексных переменных и функций двигательной переменной .
• Дифференциальный оператор del , также называемый набла , является важным векторным дифференциальным оператором. Оно часто появляется в физике в таких местах, как дифференциальная форма уравнений Максвелла . В трехмерных декартовых координатах del определяется как

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Del определяет градиент и используется для расчета изгиба , дивергенции и лапласиана различных объектов.

История

Концептуальный шаг по написанию дифференциального оператора как чего-то отдельного приписывается Луи Франсуа Антуану Арбогасту в 1800 году. ^[2]

Обозначения

Наиболее распространенным дифференциальным оператором является действие взятия производной . Общие обозначения для получения первой производной по переменной x включают:

${\displaystyle {d \over dx}}$, , и . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{x},}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$

При выборе производных более высокого порядка n оператор можно записать:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$, , , или . ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle D_{x}^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$

Производная функции f аргумента x иногда выражается одним из следующих значений :

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

Использование и создание обозначения D приписывается Оливеру Хевисайду , который рассматривал дифференциальные операторы вида

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

в своем исследовании дифференциальных уравнений .

Одним из наиболее часто встречающихся дифференциальных операторов является оператор Лапласа , определяемый формулой

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

Другим дифференциальным оператором является оператор Θ или тета-оператор , определенный в ^[3]

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

Иногда его также называют оператором однородности , поскольку его собственные функции являются мономами от z :

$${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

В n переменных оператор однородности имеет вид

$${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

Как и в случае с одной переменной, собственные пространства Θ являются пространствами однородных функций . ( Теорема Эйлера об однородной функции )

В письменной форме, следуя общепринятому математическому соглашению, аргумент дифференциального оператора обычно помещается справа от самого оператора. Иногда используют альтернативные обозначения: результат применения оператора к функции в левой части оператора и в правой части оператора, а также разность, полученная при применении дифференциального оператора к функциям в обеих частях, обозначаются стрелками следующим образом:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

Такое обозначение двунаправленной стрелки часто используется для описания вероятностного потока квантовой механики.

Сопряженный с оператором

Дан линейный дифференциальный оператор ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$

что ${\displaystyle T^{*}}$

$${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$

скалярного произведениявнутреннего произведения ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Формальный сопряженный по одной переменной

В функциональном пространстве суммируемых с квадратом функций на вещественном интервале ( a , b ) скалярное произведение определяется формулой

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$$

где линия над f ( x ) обозначает комплексно-сопряженное число f ( x ) . Если, кроме того, добавить условие, что f или g обращается в нуль при и , можно также определить сопряженный T по формуле ${\displaystyle x\to a}$ ${\displaystyle x\to b}$

$${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}$$

Эта формула не зависит явно от определения скалярного произведения. Поэтому его иногда выбирают в качестве определения сопряженного оператора. Когда определяется по этой формуле, оно называется формальным сопряженным T . ${\displaystyle T^{*}}$

(Формально) самосопряженный оператор — это оператор, равный своему (формальному) сопряженному.

Несколько переменных

Если Ω — область в Rn , а P — дифференциальный оператор на Ω, то сопряженный к P определяется в L 2 (Ω) ^по двойственности аналогичным образом:

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}$

для всех гладких функций L ² f , g . Поскольку гладкие функции плотны в ^L2 , это определяет сопряженный оператор на плотном подмножестве L2 : P ^* — плотно определенный ^{оператор} .

Пример

Оператор Штурма –Лиувилля является хорошо известным примером формального самосопряженного оператора. Этот линейный дифференциальный оператор второго порядка L можно записать в виде

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$

Это свойство можно доказать, используя приведенное выше формальное сопряженное определение. ^[4]

Этот оператор занимает центральное место в теории Штурма–Лиувилля , где рассматриваются собственные функции (аналоги собственных векторов ) этого оператора.

Свойства дифференциальных операторов

Дифференцирование линейное , т.е.

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

где f и g — функции, а a — константа.

Любой многочлен из D с функциональными коэффициентами также является дифференциальным оператором. Мы также можем составить дифференциальные операторы по правилу

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

Тогда требуется некоторая осторожность: во-первых, любые функциональные коэффициенты в операторе D ₂ должны быть дифференцируемы столько раз, сколько требует применение D ₁ . Чтобы получить кольцо таких операторов, необходимо принять производные всех порядков используемых коэффициентов. Во-вторых, это кольцо не будет коммутативным : оператор gD в общем случае не то же самое, что Dg . Например, у нас есть основное соотношение в квантовой механике :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

Подкольцо операторов, являющихся полиномами от D с постоянными коэффициентами , напротив, коммутативно. Его можно охарактеризовать иначе: он состоит из трансляционно-инвариантных операторов.

Дифференциальные операторы также подчиняются теореме о сдвиге .

Кольцо полиномиальных дифференциальных операторов

Кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов

Если R — кольцо, пусть — кольцо некоммутативных многочленов над R в переменных D и X , а I — двусторонний идеал , порожденный DX − XD — 1. Тогда кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов над R — это факторкольцо . Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент можно единственным образом записать как R -линейную комбинацию мономов вида . Он поддерживает аналог евклидова деления полиномов . ${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$ ${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}$

Дифференциальные модули ^{[ необходимы пояснения ]} over (для стандартного вывода) можно идентифицировать с модулями over . ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

Кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов

Если R — кольцо, пусть — кольцо некоммутативных полиномов над R от переменных , а I — двусторонний идеал, порожденный элементами ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$ ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

для всех , где находится дельта Кронекера . Тогда кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов над R является фактор-кольцом . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент можно единственным образом записать как R -линейную комбинацию мономов вида . ${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}$

Координатно-независимое описание

В дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто бывает удобно иметь независимое от координат описание дифференциальных операторов между двумя векторными расслоениями . Пусть E и F — два векторных расслоения над дифференцируемым многообразием M. R - линейное отображение сечений P  : Γ( E ) → Γ( F ) называется линейным дифференциальным оператором k -го порядка , если ^оно факторизуется через расслоение струй Jk ( E ). Другими словами, существует линейное отображение векторных расслоений

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

такой, что

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

где jk : Γ( E ) → Γ( ^Jk ( E ) ) — продолжение, которое сопоставляет любому сечению ^E его k - струю .

Это просто означает, что для данного сечения s из E значение P ( s ) в точке x  ∈  M полностью определяется бесконечно малым поведением s в x в k -м порядке . В частности, это означает, что P ( s )( x ) определяется ростком s в x , что выражается в том, что дифференциальные операторы локальны. Основополагающим результатом является теорема Питре, показывающая, что обратное также верно: любой (линейный) локальный оператор является дифференциальным.

Связь с коммутативной алгеброй

Эквивалентное, но чисто алгебраическое описание линейных дифференциальных операторов таково: R -линейное отображение P является линейным дифференциальным оператором k -го порядка, если для любых k  + 1 гладких функций имеем ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

Здесь скобка определяется как коммутатор ${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).}$

Эта характеристика линейных дифференциальных операторов показывает, что они являются особыми отображениями между модулями над коммутативной алгеброй , что позволяет рассматривать эту концепцию как часть коммутативной алгебры .

Варианты

Дифференциальный оператор бесконечного порядка

Дифференциальный оператор бесконечного порядка — это (примерно) дифференциальный оператор, общий символ которого представляет собой степенной ряд , а не многочлен.

Бидифференциальный оператор

Дифференциальный оператор, действующий на две функции, называется бидифференциальным оператором . Это понятие появляется, например, в структуре ассоциативной алгебры при деформационном квантовании алгебры Пуассона. ^[5] ${\displaystyle D(g,f)}$

Микродифференциальный оператор

Микродифференциальный оператор — это тип оператора на открытом подмножестве кокасательного расслоения, в отличие от открытого подмножества многообразия. Оно получается путем распространения понятия дифференциального оператора на кокасательное расслоение. ^[6]

Смотрите также

• Разностный оператор
• Оператор Дельта
• Эллиптический оператор
• Керл (математика)
• Дробное исчисление
• Инвариантный дифференциальный оператор
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
• Лагранжева система
• Спектральная теория
• Энергетический оператор
• Оператор импульса
• оператор ДБАР
• Псевдодифференциальный оператор
• Фундаментальное решение
• Теорема Атьи – Зингера об индексе (раздел о символе оператора)

Рекомендации

1. Шапира 1985, 1.1.7
2. Джеймс Гассер (редактор), Антология Буля: недавние и классические исследования логики Джорджа Буля (2000), стр. 169; Гугл Книги.
3. Э. В. Вайсштейн. «Тета-оператор» . Проверено 12 июня 2009 г.

4. ${\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}$

5. Омори, Хидеки; Маэда, Ю.; Ёсиока, А. (1992). «Деформационное квантование алгебр Пуассона». Труды Японской академии, серия A, Математические науки . 68 (5). дои : 10.3792/PJAA.68.97 . S2CID  119540529.
6. Шапира 1985, § 1.2. § 1.3.

• Фрид, Дэниел С. (1987), Геометрия операторов Дирака , с. 8, CiteSeerX  10.1.1.186.8445
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN. 3-540-12104-8, МР  0717035.
• Шапира, Пьер (1985). Микродифференциальные системы в сложной области. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 269. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-61665-5. ISBN 978-3-642-64904-2.
• Уэллс, Р.О. (1973), Дифференциальный анализ комплексных многообразий , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0.

дальнейшее чтение

• Федосов Борис; Шульце, Берт-Вольфганг; Тарханов, Николай (2002). «Аналитические формулы индексов для эллиптических угловых операторов». Анналы Института Фурье . 52 (3): 899–982. дои : 10.5802/aif.1906 . ISSN  1777-5310.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с дифференциальными операторами, на Викискладе?
• «Дифференциальный оператор», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]