Оператор в квантовой механике
В квантовой механике энергия определяется через оператор энергии , действующий на волновую функцию системы как следствие симметрии переноса времени .
Определение
Его дают: [1]
Он действует на волновую функцию ( амплитуду вероятности для разных конфигураций системы)
Приложение
Оператор энергии соответствует полной энергии системы. Уравнение Шредингера описывает пространственную и временную зависимость медленно меняющейся (нерелятивистской ) волновой функции квантовой системы. Решение уравнения Шредингера для связанной системы является дискретным (набор разрешенных состояний, каждое из которых характеризуется уровнем энергии ), что приводит к понятию квантов .
Уравнение Шрёдингера
Использование оператора энергии в уравнении Шрёдингера :
где i — мнимая единица , ħ — приведенная постоянная Планка , а — оператор Гамильтона , выражаемый как:
Из уравнения можно составить равенство: , где – математическое ожидание энергии.
Характеристики
Можно показать, что математическое ожидание энергии всегда будет больше или равно минимальному потенциалу системы.
Рассмотрим вычисление ожидаемого значения кинетической энергии:
Следовательно, математическое ожидание кинетической энергии всегда неотрицательно. Этот результат можно использовать с условием линейности для расчета математического ожидания полной энергии, которая дается для нормированной волновой функции как:
которые завершают доказательство. Точно так же то же самое условие можно обобщить на любые более высокие измерения.
Постоянная энергия
Исходя из определения, можно построить частное решение для волновой функции частицы с постоянной энергией. Если предполагается, что волновая функция сепарабельна, то зависимость от времени можно записать как , где E – постоянная энергия. Полностью, [2]
стационарное состояниенезависимого от времени уравнения Шредингера Eсобственное значениеУравнение Клейна – Гордона
Релятивистское соотношение массы и энергии :
Epимпульсmинвариантная массаcскорость светауравнению Клейна-Гордона импульсаВывод
Оператор энергии легко получить с помощью волновой функции свободных частиц ( решение уравнения Шредингера в виде плоских волн ). [3] Начиная с одного измерения, волновая функция равна
Производная по времени Ψ равна
По соотношению Де Бройля :
Перестановка уравнения приводит к
Eскалярнуюпроизводнаялинейным операторомявляетсяМожно сделать вывод, что скаляр E является собственным значением оператора, а – оператор. Подводя итог этим результатам:
Для трехмерной плоской волны
оператор линеенлинейной комбинациирелятивистской квантовой механикеуравнение Клейна-Гордона,Смотрите также
Рекомендации
- ^ Квантовая механика демистифицирована, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9
- ^ Янг, Хью Д. (2020). Университетская физика Сирса и Земанского с современной физикой. Роджер А. Фридман, А. Льюис Форд, Хью Д. Янг (15-е расширенное изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Pearson Education . ISBN 978-0-13-515955-2. ОСЛК 1057733965.
- ^ Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0