Уравнение Шрёдингера

Описание квантовомеханической системы

Уравнение Шредингера, начертанное на надгробии Аннемари и Эрвина Шредингеров. ( Для производной по времени используется точечная запись Ньютона .)

Уравнение Шредингера — это линейное уравнение в частных производных , которое управляет волновой функцией квантовомеханической системы. ^{[1] : 1–2} Его открытие стало важной вехой в развитии квантовой механики . Оно названо в честь Эрвина Шредингера , который постулировал это уравнение в 1925 году и опубликовал его в 1926 году, что легло в основу работы, результатом которой стал его Нобелевская премия по физике в 1933 году. ^{[2] [3]}

Концептуально уравнение Шредингера является квантовым аналогом второго закона Ньютона в классической механике . Учитывая набор известных начальных условий, второй закон Ньютона делает математический прогноз относительно того, какой путь пойдет данная физическая система с течением времени. Уравнение Шредингера дает эволюцию во времени волновой функции , квантово-механической характеристики изолированной физической системы. Уравнение было сформулировано Шредингером на основе постулата Луи де Бройля о том, что вся материя имеет связанную с ней волну материи . Уравнение предсказывало связанные состояния атома в соответствии с экспериментальными наблюдениями. ^{[4] : II:268}

Уравнение Шрёдингера — не единственный способ изучать квантово-механические системы и делать предсказания. Другие формулировки квантовой механики включают матричную механику , введенную Вернером Гейзенбергом , и формулировку интеграла по траекториям , разработанную главным образом Ричардом Фейнманом . При сравнении этих подходов использование уравнения Шредингера иногда называют «волновой механикой». Поль Дирак объединил специальную теорию относительности и квантовую механику в единую формулировку , которая упрощается до уравнения Шредингера, когда релятивистские эффекты не существенны.

Определение

Предварительные сведения

Комплексный график волновой функции , удовлетворяющей нерелятивистскому уравнению Шредингера с V = 0 . Подробнее см. волновой пакет.

Вводные курсы по физике или химии обычно знакомят с уравнением Шрёдингера таким образом, чтобы его можно было понять, зная только концепции и обозначения базового исчисления , особенно производных по пространству и времени. Особым случаем уравнения Шредингера, допускающим формулировку в этих терминах, является уравнение Шредингера в позиционном пространстве для одной нерелятивистской частицы в одном измерении:

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t).}$$

комплексное число,^{[5] : 74}мнимая единица измеренияпостоянная Планкадействияэнергия,^{[5] : 10} ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(x,t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hbar }$

Выйдя за пределы этого простого случая, математическая формулировка квантовой механики , разработанная Полем Дираком , ^[6] Дэвидом Гильбертом , ^[7] Джоном фон Нейманом , ^[8] и Германом Вейлем ^[9], определяет состояние квантовомеханической системы как вектор , принадлежащий ( сепарабельному ) гильбертовому пространству . Постулируется, что этот вектор нормирован относительно внутреннего произведения гильбертова пространства, то есть в обозначениях Дирака он подчиняется . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы – например, для описания положения и импульса гильбертово пространство представляет собой пространство комплексных интегрируемых с квадратом функций , ^[10] в то время как гильбертово пространство для спина одного протона просто пространство двумерных комплексных векторов с обычным скалярным произведением. ^{[5] : 322} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Интересующие физические величины – положение, импульс, энергия, спин – представлены «наблюдаемыми», которые представляют собой эрмитовые (точнее, самосопряженные ) линейные операторы , действующие в гильбертовом пространстве. Волновая функция может быть собственным вектором наблюдаемой, и в этом случае она называется собственным состоянием , а связанное с ней собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии. В более общем смысле, квантовое состояние представляет собой линейную комбинацию собственных состояний, известную как квантовая суперпозиция . Когда измеряется наблюдаемая величина, результатом будет одно из ее собственных значений с вероятностью, определяемой правилом Борна : в простейшем случае собственное значение невырождено, а вероятность определяется как , где - связанный с ним собственный вектор. В более общем смысле, собственное значение вырождено, а вероятность определяется выражением , где – проектор на соответствующее ему собственное пространство. ^{[примечание 1]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$

Собственное состояние импульса будет совершенно монохроматической волной бесконечной протяженности, которая не интегрируется с квадратом. Аналогично, собственное состояние положения будет дельта-распределением Дирака , не интегрируемым с квадратом и технически вообще не являющимся функцией. Следовательно, ни один из них не может принадлежать гильбертовому пространству частицы. Физики иногда вводят фиктивные «основания» гильбертова пространства, состоящие из элементов вне этого пространства. Они изобретены для удобства вычислений и не представляют физические состояния. ^{[11] : 100–105} Таким образом, волновая функция в позиционном пространстве , использованная выше, может быть записана как внутренний продукт зависящего от времени вектора состояния с нефизическими, но удобными «собственными состояниями положения» : ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x|\Psi (t)\rangle .}$$

Уравнение, зависящее от времени

Вид уравнения Шрёдингера зависит от физической ситуации. Наиболее общей формой является нестационарное уравнение Шредингера, которое дает описание системы, развивающейся во времени: ^{[12] : 143}

Зависящее от времени уравнение Шрёдингера  (общее)

я ℏ d d т | Ψ ( т ) ⟩ знак равно ЧАС ^ | Ψ ( т ) ⟩ {\displaystyle я\hbar {\frac {d}{dt}} \vert \Psi (t)\rangle = {\hat {H}} \vert \Psi (t)\rangle}

где — время, — вектор состояния квантовой системы ( греческая буква «пси »), а — наблюдаемая величина, гамильтонов оператор . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \vert \Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Каждая из этих трех строк представляет собой волновую функцию, которая удовлетворяет зависящему от времени уравнению Шредингера для гармонического осциллятора . Слева: действительная часть (синий) и мнимая часть (красный) волновой функции. Справа: Распределение вероятности обнаружения частицы с этой волновой функцией в заданном положении. Две верхние строки представляют собой примеры стационарных состояний , соответствующих стоячим волнам . Нижний ряд представляет собой пример состояния, которое не является стационарным. Правый столбец иллюстрирует, почему стационарные состояния называются «стационарными».

Термин «уравнение Шредингера» может относиться как к общему уравнению, так и к конкретной нерелятивистской версии. Общее уравнение действительно является довольно общим и используется во всей квантовой механике для всего, от уравнения Дирака до квантовой теории поля , путем включения различных выражений для гамильтониана. Конкретная нерелятивистская версия — это приближение, которое дает точные результаты во многих ситуациях, но только до определенной степени (см. релятивистскую квантовую механику и релятивистскую квантовую теорию поля ).

Чтобы применить уравнение Шредингера, запишите гамильтониан системы с учетом кинетической и потенциальной энергии частиц, составляющих систему, а затем подставьте его в уравнение Шредингера. Полученное уравнение в частных производных решается относительно волновой функции, содержащей информацию о системе. На практике квадрат абсолютного значения волновой функции в каждой точке принимается для определения функции плотности вероятности . ^{[5] : 78} Например, для волновой функции в позиционном пространстве, как указано выше, мы имеем ${\displaystyle \Psi (x,t)}$

$${\displaystyle \Pr(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.}$$

Нестационарное уравнение

Описанное выше уравнение Шредингера, зависящее от времени, предсказывает, что волновые функции могут образовывать стоячие волны , называемые стационарными состояниями . Эти состояния особенно важны, поскольку их индивидуальное изучение впоследствии упрощает задачу решения нестационарного уравнения Шредингера для любого состояния. Стационарные состояния также можно описать более простой формой уравнения Шредингера - не зависящим от времени уравнением Шредингера.

Независимое от времени уравнение Шрёдингера ( общее )

${\displaystyle \operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle }$

где - энергия системы. ^{[5] : 134} Это используется только тогда, когда сам гамильтониан не зависит явно от времени. Однако даже в этом случае полная волновая функция зависит от времени, как объяснено в разделе о линейности ниже. На языке линейной алгебры это уравнение является уравнением на собственные значения . Следовательно, волновая функция является собственной функцией оператора Гамильтона с соответствующими собственными значениями . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Характеристики

Линейность

Уравнение Шрёдингера — это линейное дифференциальное уравнение , означающее, что если два вектора состояния и являются решениями, то такой же является и любая линейная комбинация. ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =a|\psi _{1}\rangle +b|\psi _{2}\rangle }$$

ab^{[13] : 25}суперпозициям квантовых состоянийэнергии ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/\hbar }|\psi _{E_{n}}\rangle ,}$$

${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle |\psi _{E_{n}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{E_{n}}\rangle =E_{n}|\psi _{E_{n}}\rangle }$

Унитарность

С учетом постоянной гамильтониана уравнение Шрёдингера имеет решение ^[12] ${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$$

унитарен^[13] ${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$ ${\displaystyle |\Psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi (0)\rangle }$$

Без ограничения общности ^[14] ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t/N)^{N}={\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {G}}t}}$$

генераторомГамильтониан является именно таким генератором (с точностью до коэффициента постоянной Планка, который в натуральных единицах ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)\approx {\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t}$

$${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)^{\dagger }{\hat {U}}(\delta t)\approx ({\hat {U}}(0)^{\dagger }+i{\hat {G}}^{\dagger }\delta t)({\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t)=I+i\delta t({\hat {G}}^{\dagger }-{\hat {G}})+O(\delta t^{2}),}$$

^[15] ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

Изменения базы

Уравнение Шредингера часто представляется с использованием величин, изменяющихся в зависимости от положения, но как векторно-операторное уравнение оно имеет допустимое представление в любом произвольном полном базисе кетов в гильбертовом пространстве . Как упоминалось выше, для вычислительных целей используются также «базисы», лежащие вне физического гильбертова пространства. Это иллюстрируется уравнениями Шредингера в позиционном пространстве и импульсном пространстве для нерелятивистской бесспиновой частицы. ^{[11] : 182} Гильбертово пространство для такой частицы представляет собой пространство комплексных интегрируемых с квадратом функций в трехмерном евклидовом пространстве, а его гамильтониан представляет собой сумму члена кинетической энергии, квадратичного относительно оператора импульса, и потенциала -энергетический термин:

$${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+{\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle .}$$

${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

преобразования Фурье

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} '\,{\tilde {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ',t).}$$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle ,}$$

$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle ,}$$

${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$

При ограничении трех измерений одним измерением уравнение позиционного пространства представляет собой лишь первую форму уравнения Шредингера, приведенного выше. Связь между положением и импульсом в квантовой механике можно оценить в одном измерении. При каноническом квантовании классические переменные и преобразуются в самосопряженные операторы , удовлетворяющие каноническому соотношению коммутации. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

^{[11] : 190}

$${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x),}$$

второй производнойлапласианом ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Каноническое коммутационное соотношение также подразумевает, что операторы положения и импульса являются Фурье-сопряженными друг с другом. Следовательно, функции, первоначально определенные в терминах зависимости от положения, можно преобразовать в функции импульса с помощью преобразования Фурье. В физике твердого тела уравнение Шредингера часто записывается для функций импульса, поскольку теорема Блоха обеспечивает периодические потенциальные пары кристаллической решетки только для дискретных векторов обратной решетки . Это делает удобным решение уравнения Шредингера в импульсном пространстве в каждой точке зоны Бриллюэна независимо от других точек зоны Бриллюэна. ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p+K)}$ ${\displaystyle K}$

Вероятностный ток

Уравнение Шредингера согласуется с локальным сохранением вероятности . ^{[11] : 238} Это также гарантирует, что нормированная волновая функция останется нормированной после эволюции во времени. В матричной механике это означает, что оператор эволюции во времени является унитарным оператором . ^[16] В отличие, например, от уравнения Клейна Гордона, хотя переопределенный внутренний продукт волновой функции может быть независимым от времени, общий объемный интеграл квадрата модуля волновой функции не обязательно должен быть независимым от времени. ^[17]

Уравнение непрерывности вероятности в нерелятивистской квантовой механике формулируется как:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$

ток вероятности

Если волновая функция представлена ​​как где – действительная функция, которая представляет комплексную фазу волновой функции, то поток вероятности рассчитывается как: ${\textstyle \psi ({\bf {x}},t)={\sqrt {\rho ({\bf {x}},t)}}\exp \left({\frac {iS({\bf {x}},t)}{\hbar }}\right),}$ ${\displaystyle S(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$

принцип неопределенности^[16] ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$

Разделение переменных

Если гамильтониан не является явной функцией времени, уравнение Шрёдингера выглядит следующим образом:

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

разделения переменных^[18]

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),}$$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \tau (t)}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau (t)}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.}$$

стационарным,^{[12] : 143 и далее}

Пространственная часть полной волновой функции решает: ^[19]

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=0.}$$

${\displaystyle E}$

Это распространяется на любое количество частиц в любом количестве измерений (в независимом от времени потенциале): решениями стоячей волны нестационарного уравнения являются состояния с определенной энергией, а не распределение вероятностей различных энергий. В физике эти стоячие волны называются « стационарными состояниями » или « собственными состояниями энергии »; в химии их называют « атомными орбиталями » или « молекулярными орбиталями ». Суперпозиции собственных состояний энергии изменяют свои свойства в зависимости от относительных фаз между уровнями энергии. Собственные состояния энергии составляют основу: любая волновая функция может быть записана как сумма по дискретным энергетическим состояниям или как интеграл по непрерывным энергетическим состояниям, или, в более общем плане, как интеграл по мере. Это спектральная теорема в математике, и в конечномерном пространстве состояний это просто утверждение полноты собственных векторов эрмитовой матрицы .

Разделение переменных также может быть полезным методом для независимого от времени уравнения Шредингера. Например, в зависимости от симметрии задачи декартовы оси могут быть разделены:

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z),}$$

радиальные и угловые координаты

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi ).}$$

Примеры

Частица в коробке

Одномерный ящик потенциальной энергии (или бесконечная потенциальная яма)

Частица в одномерном ящике потенциальной энергии является наиболее математически простым примером, когда ограничения приводят к квантованию уровней энергии. Ящик определяется как имеющий нулевую потенциальную энергию внутри определенной области и бесконечную потенциальную энергию снаружи . ^{[11] : 77–78} Для одномерного по направлению независимого от времени уравнения Шредингера можно записать ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

С дифференциальным оператором, определенным формулой

$${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$

классический аналог кинетической энергии

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$

${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

Общие решения уравнения Шредингера для частицы в ящике:

$${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$

формуле Эйлера

$${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).}$$

Бесконечные потенциальные стенки ящика определяют значения и при и где должны быть равны нулю. Таким образом, при , ${\displaystyle C,D,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$

${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle x=L}$

$${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sin(kL)=0}$ ${\displaystyle kL}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

Это ограничение на подразумевает ограничение на уровни энергии, что дает ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

Конечная потенциальная яма — это обобщение проблемы бесконечной потенциальной ямы на потенциальные ямы конечной глубины. Задача о конечной потенциальной яме математически более сложна, чем задача о бесконечной частице в ящике, поскольку волновая функция не привязана к нулю на стенках ямы. Вместо этого волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, поскольку она отлична от нуля в областях вне ямы. Другой связанной с этим проблемой является проблема прямоугольного потенциального барьера , который обеспечивает модель эффекта квантового туннелирования , который играет важную роль в работе современных технологий, таких как флэш-память и сканирующая туннельная микроскопия .

Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор в классической механике (A–B) и квантовой механике (C–H). В (А–В) шарик, прикрепленный к пружине , колеблется вперед и назад. (C – H) – шесть решений уравнения Шредингера для этой ситуации. Горизонтальная ось — это положение, вертикальная ось — действительная (синяя) или мнимая часть (красная) волновой функции . Стационарные состояния или собственные состояния энергии, которые являются решениями независимого от времени уравнения Шредингера, показаны в C, D, E, F, но не G или H.

Уравнение Шредингера для этой ситуации имеет вид

$${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,}$$

колеблющиеся атомы, молекулы^20][21]основа методов возмущений ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$

Решения в позиционном пространстве:

$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\ \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\ e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\ {\mathcal {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$$

полиномы Эрмита ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\right)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.}$$

Собственные значения

$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

Случай называется основным состоянием , его энергия называется энергией нулевой точки , а волновая функция является гауссовой . ^[22] ${\displaystyle n=0}$

Гармонический осциллятор, подобно частице в ящике, иллюстрирует общую особенность уравнения Шрёдингера, состоящую в том, что энергии связанных собственных состояний дискретизированы. ^{[11] : 352}

Атом водорода

Уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода (или водородоподобном атоме) имеет вид

$${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi }$$

кулоновским взаимодействиемпроницаемость свободного пространства ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

$${\displaystyle \mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$$

- это приведенная масса: ядрапротона ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle m_{q}}$

Уравнение Шрёдингера для атома водорода можно решить методом разделения переменных. ^[23] В этом случае наиболее удобными являются сферические полярные координаты . Таким образом,

$${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi ),}$$

Rсферические гармоники^[24] ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$– радиус Бора ,
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$– обобщенные полиномы Лагерра степени , ${\displaystyle n-\ell -1}$
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$— главное , азимутальное и магнитное квантовые числа соответственно, которые принимают значения ${\displaystyle n=1,2,3,\dots ,}$ ${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1,}$ ${\displaystyle m=-\ell ,\dots ,\ell .}$

Примерные решения

Обычно невозможно точно решить уравнение Шредингера для ситуаций, представляющих физический интерес. Соответственно, приближенные решения получаются с использованием таких методов, как вариационные методы и аппроксимация ВКБ . Также принято рассматривать интересующую проблему как небольшую модификацию проблемы, которая может быть решена точно, с помощью метода, известного как теория возмущений .

Полуклассический предел

Один простой способ сравнить классическую механику с квантовой — это рассмотреть эволюцию во времени ожидаемого положения и ожидаемого импульса, которую затем можно сравнить с эволюцией во времени обычного положения и импульса в классической механике. ^{[25] : 302} Значения квантового ожидания удовлетворяют теореме Эренфеста . Для одномерной квантовой частицы, движущейся в потенциале , теорема Эренфеста гласит: ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}$$

${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$

$${\displaystyle -V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$$

${\displaystyle -\left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'}$

Для общих систем лучшее, на что мы можем надеяться, — это то, что ожидаемое положение и импульс будут примерно следовать классическим траекториям. Если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки , то и будут почти одинаковыми, так как обе будут примерно равны . В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс останутся очень близкими к классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается сильно локализованной по положению. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

Уравнение Шрёдингера в общем виде

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}$$

уравнением Гамильтона – Якоби

$${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)}$$

действиефункция Гамильтона^{[25] : 308}обобщенные координаты ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$

Замена

$${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }}$$

уравнение Гамильтона – Якоби ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

Матрицы плотности

Волновые функции не всегда являются наиболее удобным способом описания квантовых систем и их поведения. Когда приготовление системы известно лишь частично или когда исследуемая система является частью более крупного целого, вместо этого можно использовать матрицы плотности . ^{[25] : 74} Матрица плотности — это положительный полуопределенный оператор , след которого равен 1. (Также используется термин «оператор плотности», особенно когда лежащее в его основе гильбертово пространство бесконечномерно.) Множество всех плотностей матрицы выпуклы , а крайние точки — это операторы, проектирующиеся на векторы в гильбертовом пространстве. Это представления волновых функций в матрице плотности; в обозначениях Дирака они записываются

$${\displaystyle {\hat {\rho }}=|\Psi \rangle \langle \Psi |.}$$

Аналогом матрицы плотности уравнения Шрёдингера для волновых функций является ^{[26] [27]}

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],}$$

коммутатор^{[25] : 312}

$${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {\rho }}(0)e^{i{\hat {H}}t/\hbar }.}$$

В более общем смысле, если унитарный оператор описывает эволюцию волновой функции на некотором интервале времени, то временная эволюция матрицы плотности на этом же интервале определяется выражением ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

$${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)^{\dagger }.}$$

Унитарная эволюция матрицы плотности сохраняет ее энтропию фон Неймана . ^{[25] : 267}

Релятивистская квантовая физика и квантовая теория поля

Описанное выше одночастичное уравнение Шредингера справедливо по существу в нерелятивистской области. По одной из причин, он по существу инвариантен относительно преобразований Галилея , которые составляют группу симметрии ньютоновской динамики . ^{[примечание 2]} Более того, процессы, которые изменяют количество частиц, естественны в теории относительности, и поэтому уравнение для одной частицы (или любого фиксированного их числа) может иметь лишь ограниченное применение. ^[29] Более общая форма уравнения Шредингера, которая также применима в релятивистских ситуациях, может быть сформулирована в рамках квантовой теории поля (КТП), структуры, которая позволяет сочетать квантовую механику со специальной теорией относительности. Область, в которой оба одновременно применимы, может быть описана релятивистской квантовой механикой . В таких описаниях может использоваться временная эволюция, генерируемая гамильтоновым оператором, как в функциональном методе Шредингера. ^{[30] [31] [32] [33]}

Уравнения Клейна–Гордона и Дирака.

Попытки объединить квантовую физику со специальной теорией относительности начались с построения релятивистских волновых уравнений на основе релятивистского соотношения энергии и импульса.

$${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2},}$$

-Гордонауравнение Дирака

$${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi +\nabla ^{2}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,}$$

${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta }$

$${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

Это снова имеет форму уравнения Шредингера, где производная по времени волновой функции задается гамильтоновым оператором, действующим на волновую функцию. Учет влияния на частицу требует модификации оператора Гамильтона. Например, гамильтониан Дирака для частицы массы m и электрического заряда q в электромагнитном поле (описываемом электромагнитными потенциалами φ и A ):

$${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right],}$$

γ = ( γ ¹ , γ ² , γ ³ )γ ⁰ представляют собой гамма-матрицысо спином 1/24-компонентные спинорные поляантичастице

Для уравнения Клейна–Гордона общая форма уравнения Шредингера неудобна в использовании, и на практике гамильтониан не выражается аналогично гамильтониану Дирака. Уравнения для релятивистских квантовых полей, двумя примерами которых являются уравнения Клейна-Гордона и Дирака, можно получить другими способами, например, исходя из лагранжевой плотности и используя уравнения Эйлера-Лагранжа для полей или используя теорию представлений группа Лоренца , в которой определенные представления можно использовать для фиксации уравнения для свободной частицы заданного спина (и массы).

В общем, гамильтониан, который нужно подставить в общее уравнение Шредингера, является не только функцией операторов положения и импульса (и, возможно, времени), но также и спиновых матриц. Кроме того, решения релятивистского волнового уравнения для массивной частицы со спином s представляют собой комплексные 2(2 s + 1) -компонентные спинорные поля .

Фокское пространство

В первоначальной формулировке уравнение Дирака представляет собой уравнение для одной квантовой частицы, точно так же, как одночастичное уравнение Шрёдингера с волновой функцией . Это имеет ограниченное применение в релятивистской квантовой механике, где число частиц не фиксировано. Эвристически это усложнение можно мотивировать, отметив, что эквивалентность массы и энергии подразумевает, что материальные частицы могут быть созданы из энергии. Распространенный способ решить эту проблему в КТП — ввести гильбертово пространство, в котором базисные состояния помечены номером частицы, так называемое пространство Фока . Затем можно сформулировать уравнение Шрёдингера для квантовых состояний в этом гильбертовом пространстве. ^[29] Однако, поскольку уравнение Шрёдингера выбирает предпочтительную ось времени, лоренц-инвариантность теории больше не проявляется, и, соответственно, теория часто формулируется другими способами. ^[34] ${\displaystyle \Psi (x,t)}$

История

Эрвин Шредингер

Следуя квантованию света Макса Планка (см. «Излучение черного тела »), Альберт Эйнштейн интерпретировал кванты Планка как фотоны , частицы света , и предположил, что энергия фотона пропорциональна его частоте , что является одним из первых признаков волны. – двойственность частиц . Поскольку энергия и импульс связаны таким же образом, как частота и волновое число в специальной теории относительности , отсюда следует, что импульс фотона обратно пропорционален его длине волны или пропорционален его волновому числу : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k,}$$

постоянная ПланкаЛуи де Бройльволны материистоячие волны^[35]уровням энергиимодели Бора ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \hbar ={h}/{2\pi }}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar .}$$

$${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$$

Этот подход по существу ограничивал электронную волну в одном измерении, вдоль круговой орбиты радиуса . ${\displaystyle r}$

В 1921 году, до де Бройля, Артур К. Ланн из Чикагского университета использовал тот же аргумент, основанный на пополнении релятивистского 4-вектора энергии-импульса , чтобы вывести то, что мы теперь называем соотношением де Бройля. ^{[36] [37]} В отличие от де Бройля, Ланн сформулировал дифференциальное уравнение, теперь известное как уравнение Шредингера, и нашел его собственные значения энергии для атома водорода; По словам Кеймена, статья была отклонена журналом Physical Review . ^[38]

Развивая идеи де Бройля, физик Питер Дебай сделал небрежное замечание, что, если частицы ведут себя как волны, они должны удовлетворять некоторому волновому уравнению. Вдохновленный замечанием Дебая, Шредингер решил найти правильное трехмерное волновое уравнение для электрона. Он руководствовался аналогией Уильяма Роуэна Гамильтона между механикой и оптикой , закодированной в наблюдении, что предел нулевой длины волны оптики напоминает механическую систему — траектории световых лучей становятся острыми дорожками, подчиняющимися принципу Ферма , аналогу принципа наименьшего действия . ^[39]

Он нашел уравнение ^[40]

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

К этому времени Арнольд Зоммерфельд уточнил модель Бора с помощью релятивистских поправок . ^{[41] [42]} Шрёдингер использовал релятивистское соотношение энергии-импульса, чтобы найти то, что сейчас известно как уравнение Клейна-Гордона в кулоновском потенциале (в натуральных единицах ):

$${\displaystyle \left(E+{\frac {e^{2}}{r}}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x).}$$

Он нашел стоячие волны этого релятивистского уравнения, но релятивистские поправки не согласовывались с формулой Зоммерфельда. Обескураженный, он отложил свои расчеты и в декабре 1925 года уединился с любовницей в горной хижине. ^[43]

Находясь в хижине, Шредингер решил, что его ранние нерелятивистские расчеты достаточно новы, чтобы их можно было опубликовать, и решил оставить проблему релятивистских поправок на будущее. Несмотря на трудности с решением дифференциального уравнения для водорода (он обратился за помощью к своему другу, математику Герману Вейлю ^{[44] :3} ), Шредингер показал, что его нерелятивистская версия волнового уравнения дает правильные спектральные энергии водорода в статье, опубликованной в 1926. ^{[44] :1  [45]} Шредингер вычислил спектральную серию водорода , рассматривая электрон атома водорода как волну , движущуюся в потенциальной яме , созданной протоном . Это вычисление точно воспроизвело уровни энергии модели Бора . ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle V}$

Уравнение Шрёдингера детализирует поведение, но ничего не говорит о его природе . Шредингер попытался интерпретировать действительную часть как плотность заряда, а затем пересмотрел это предложение, заявив в своей следующей статье, что квадрат модуля является плотностью заряда. Однако этот подход не увенчался успехом. ^{[примечание 3]} В 1926 году, всего через несколько дней после публикации этой статьи, Макс Борн успешно интерпретировал ее как амплитуду вероятности , квадрат модуля которой равен плотности вероятности . ^{[46] : 220} Позднее сам Шредингер объяснил эту интерпретацию следующим образом: ^[49] ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Уже упомянутая пси-функция.... теперь является средством прогнозирования вероятности результатов измерений. В нем воплощена мгновенно достигнутая сумма теоретически обоснованных будущих ожиданий, что-то вроде изложенной в каталоге.

-  Эрвин Шредингер

Интерпретация

Уравнение Шрёдингера позволяет рассчитать волновую функцию системы и понять, как она динамически изменяется во времени. Однако уравнение Шредингера прямо не говорит , что такое волновая функция. Смысл уравнения Шредингера и то, как математические объекты в нем связаны с физической реальностью, зависят от принятой интерпретации квантовой механики .

Согласно взглядам, которые часто объединяются в Копенгагенскую интерпретацию , волновая функция системы представляет собой набор статистической информации об этой системе. Уравнение Шрёдингера связывает информацию о системе в один момент времени с информацией о ней в другой момент. Хотя процесс эволюции во времени, представленный уравнением Шредингера, является непрерывным и детерминированным, поскольку знание волновой функции в один момент в принципе достаточно для расчета ее для всех будущих моментов времени, волновые функции также могут изменяться прерывисто и стохастически во время измерения . Согласно этой школе мысли, волновая функция меняется, потому что доступна новая информация. Волновая функция после измерения, как правило, не может быть известна до измерения, но вероятности для различных возможностей можно рассчитать с использованием правила Борна . ^{[25] [50] [примечание 4]} Другие, более поздние интерпретации квантовой механики, такие как реляционная квантовая механика и кбизм , также придают уравнению Шрёдингера статус такого рода. ^{[53] [54]}

Сам Шредингер предположил в 1952 году, что различные члены суперпозиции, развивающейся в соответствии с уравнением Шредингера, «не являются альтернативами, но все они действительно происходят одновременно». Это было интерпретировано как ранняя версия многомировой интерпретации Эверетта . ^{[55] [56] [примечание 5]} Эта интерпретация, сформулированная независимо в 1956 году, утверждает, что все возможности, описанные квантовой теорией, одновременно возникают в мультивселенной, состоящей в основном из независимых параллельных вселенных. ^[58] Эта интерпретация устраняет аксиому коллапса волновой функции, оставляя только непрерывную эволюцию согласно уравнению Шрёдингера, и поэтому все возможные состояния измеряемой системы и измерительного прибора вместе с наблюдателем присутствуют в реальной физической квантовой суперпозиции . Хотя мультивселенная детерминирована, мы воспринимаем недетерминированное поведение, управляемое вероятностями, потому что мы наблюдаем не мультивселенную в целом, а только одну параллельную вселенную в каждый момент времени. То, как именно это должно работать, было предметом многочисленных споров. Почему мы вообще должны присваивать вероятности результатам, которые наверняка произойдут в некоторых мирах, и почему вероятности должны определяться правилом Борна? ^[59] Было предложено несколько способов ответа на эти вопросы в рамках многомировой структуры, но нет единого мнения относительно того, успешны ли они. ^{[60] [61] [62]}

Механика Бома переформулирует квантовую механику, чтобы сделать ее детерминированной, ценой того, что она станет явно нелокальной (цена, требуемая теоремой Белла ). Он приписывает каждой физической системе не только волновую функцию, но и реальное положение, которое детерминировано развивается под действием нелокального ведущего уравнения. Эволюция физической системы всегда задается уравнением Шредингера вместе с ведущим уравнением. ^[63]

Смотрите также

• Уравнение Экхауза
• уравнение Паули
• Уравнение Фоккера – Планка
• Интерпретации квантовой механики
• Список вещей, названных в честь Эрвина Шредингера
• Логарифмическое уравнение Шрёдингера
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Квантовый канал
• Связь между уравнением Шредингера и формулировкой квантовой механики, основанной на интеграле по путям.
• Картина Шрёдингера
• Распределение квазивероятностей Вигнера

Примечания

1. Это правило получения вероятностей из вектора состояния подразумевает, что векторы, которые отличаются только общей фазой, физически эквивалентны; и представляют одни и те же квантовые состояния. Другими словами, возможные состояния — это точки в проективном пространстве гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }|\psi \rangle }$
2. Точнее, влияние преобразования Галилея на уравнение Шредингера можно устранить с помощью фазового преобразования волновой функции, которое оставляет вероятности, рассчитанные по правилу Борна, неизменными. ^[28]
3. Подробности см. Мур, ^{[46] : 219} Джаммер, ^{[47] : 24–25} и Карам. ^[48]
4. Одна из трудностей при обсуждении философской позиции «Копенгагенской интерпретации» заключается в том, что не существует единого авторитетного источника, устанавливающего, что представляет собой эта интерпретация. Другая сложность заключается в том, что философская основа, знакомая Эйнштейну, Бору, Гейзенбергу и современникам, гораздо менее знакома физикам и даже философам физики в более поздние времена. ^{[51] [52]}
5. Более поздние сочинения Шрёдингера также содержат элементы, напоминающие модальную интерпретацию, предложенную Басом ван Фраассеном . Поскольку Шредингер придерживался своего рода постмахистского нейтрального монизма , в котором «материя» и «разум» являются лишь различными аспектами или расположением одних и тех же общих элементов, трактовка волновой функции как физической и трактовка ее как информации стали взаимозаменяемыми. ^[57]

Рекомендации

1. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-111892-8.
2. «Дудл физика Эрвина Шредингера в Google отмечает работу квантовой механики» . Хранитель . 13 августа 2013 года . Проверено 25 августа 2013 г.
3. Шредингер, Э. (1926). «Волновая теория механики атомов и молекул» (PDF) . Физический обзор . 28 (6): 1049–70. Бибкод : 1926PhRv...28.1049S. дои : 10.1103/PhysRev.28.1049. Архивировано из оригинала (PDF) 17 декабря 2008 года.
4. Уиттакер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 2: Современные теории, 1900–1926 (переиздание). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
5. Zwiebach, Бартон (2022). Освоение квантовой механики: основы, теория и приложения . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-04613-8. OCLC  1347739457.
6. Дирак, Поль Адриен Морис (1930). Принципы квантовой механики . Оксфорд: Кларендон Пресс.
7. Гильберт, Дэвид (2009). Зауэр, Тилман; Майер, Ульрих (ред.). Лекции по основам физики 1915–1927: теория относительности, квантовая теория и эпистемология . Спрингер. дои : 10.1007/b12915. ISBN 978-3-540-20606-4. ОКЛК  463777694.
8. фон Нейман, Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Берлин: Шпрингер.Английский перевод: Математические основы квантовой механики . Перевод Бейера, Издательство Роберта Т. Принстонского университета. 1955.
9. Вейль, Герман (1950) [1931]. Теория групп и квантовая механика . Перевод Робертсона, HP Dover. ISBN 978-0-486-60269-1.Перевод с немецкого Gruppentheorie und Quantenmechanik (2-е изд.). С. Хирзель Верлаг  [ де ] . 1931 год.
10. Сэмюэл С. Холланд (2012). Прикладной анализ с помощью метода гильбертового пространства: введение с приложениями к уравнениям волны, тепла и Шредингера (под ред. Herdruk). Курьерская корпорация. п. 190. ИСБН 978-0-486-13929-6.Выдержка со страницы 190
11. Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2005). Квантовая механика . Перевод Хемли, Сьюзен Рид; Островский, Николь; Островский, Дэн. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-16433-Х.
12. Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Издательство Kluwer Academic/Plenum. ISBN 978-0-306-44790-7.
13. Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (4 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: краткое введение . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-01506-6.
14. Яффе, Лоуренс Г. (2015). «Глава 6: Симметрии» (PDF) . Физика 226: Частицы и симметрии . Проверено 1 января 2021 г.
15. Сакурай, Джей Джей ; Наполитано, Дж. (2017). Современная квантовая механика (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 68. ИСБН 978-1-108-49999-6. ОСЛК  1105708539.
16. Сакурай, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-47322-4.
17. Мостафазаде, Али (7 января 2003 г.). «Структуры гильбертова пространства в пространстве решений эволюционных уравнений типа Клейна-Гордона». Классическая и квантовая гравитация . 20 (1): 155–171. arXiv : math-ph/0209014 . дои : 10.1088/0264-9381/20/1/312. ISSN  0264-9381.
18. Сингх, Чандралеха (март 2008 г.). «Понимание студентами квантовой механики в начале обучения в аспирантуре». Американский журнал физики . 76 (3): 277–287. arXiv : 1602.06660 . Бибкод : 2008AmJPh..76..277S. дои : 10.1119/1.2825387. ISSN  0002-9505. S2CID  118493003.
19. Адамс, CS; Сигел, М; Млынек, Дж (1994). «Атомная оптика». Отчеты по физике . Эльзевир Б.В. 240 (3): 143–210. Бибкод : 1994PhR...240..143A. дои : 10.1016/0370-1573(94)90066-3 . ISSN  0370-1573.
20. Аткинс, PW (1978). Физическая химия . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-855148-7.
21. Крюк, младший; Холл, HE (2010). Физика твердого тела . Манчестерская серия по физике (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92804-1.
22. Таунсенд, Джон С. (2012). «Глава 7: Одномерный гармонический осциллятор». Современный подход к квантовой механике . Университетские научные книги. стр. 247–250, 254–5, 257, 272. ISBN. 978-1-891389-78-8.
23. Типлер, Пенсильвания; Моска, Г. (2008). Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.). Фримен. ISBN 978-0-7167-8964-2.
24. Гриффитс, Дэвид Дж. (2008). Введение в элементарные частицы. Вайли-ВЧ. стр. 162–. ISBN 978-3-527-40601-2. Проверено 27 июня 2011 г.
25. Перес, Ашер (1993). Квантовая теория: концепции и методы . Клювер . ISBN 0-7923-2549-4. ОСЛК  28854083.
26. Брейер, Хайнц; Петруччионе, Франческо (2002). Теория открытых квантовых систем. Издательство Оксфордского университета. п. 110. ИСБН 978-0-19-852063-4.
27. Швабль, Франц (2002). Статистическая механика. Спрингер. п. 16. ISBN 978-3-540-43163-3.
28. Дом, Дипанкар (2013). Концептуальные основы квантовой физики . Спрингер США. стр. 4–5. ISBN 9781475798081. ОСЛК  1157340444.
29. Коулман, Сидни (8 ноября 2018 г.). Дербес, Дэвид; Тин, Юань-сен; Чен, Брайан Джин-ге; Сон, Ричард; Гриффитс, Дэвид; Хилл, Брайан (ред.). Лекции Сидни Коулмана по квантовой теории поля . Мировое научное издательство. ISBN 978-9-814-63253-9. ОКЛК  1057736838.
30. Симанзик, К. (6 июля 1981 г.). «Представление Шредингера и эффект Казимира в перенормируемой квантовой теории поля». Ядерная физика Б . 190 (1): 1–44. Бибкод : 1981NuPhB.190....1S. дои : 10.1016/0550-3213(81)90482-X. ISSN  0550-3213.
31. Кифер, Клаус (15 марта 1992 г.). «Функциональное уравнение Шрёдингера для скалярной КЭД». Физический обзор D . 45 (6): 2044–2056. Бибкод : 1992PhRvD..45.2044K. doi :10.1103/PhysRevD.45.2044. ISSN  0556-2821. ПМИД  10014577.
32. Хэтфилд, Брайан (1992). Квантовая теория поля точечных частиц и струн. Кембридж, Массачусетс: Книги Персея. ISBN 978-1-4294-8516-6. ОСЛК  170230278.
33. Ислам, Джамал Назрул (май 1994 г.). «Уравнение Шрёдингера в квантовой теории поля». Основы физики . 24 (5): 593–630. Бибкод : 1994FoPh...24..593I. дои : 10.1007/BF02054667. ISSN  0015-9018. S2CID  120883802.
34. Средницки, Марк Аллен (2012). Квантовая теория поля. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86449-7. ОСЛК  71808151.
35. де Бройль, Л. (1925). «Recherches sur la theorie des quanta» [К теории квантов] (PDF) . Annales de Physique (на французском языке). 10 (3): 22–128. Бибкод : 1925АнФ...10...22Д. дои : 10.1051/anphys/192510030022. Архивировано из оригинала (PDF) 9 мая 2009 года.
36. Вайсман, МБ; В.В. Илиев; И. Гутман (2008). «Пионер вспомнил: биографические заметки об Артуре Константе Ланне» (PDF) . Связь в математической и компьютерной химии . 59 (3): 687–708.
37. Сэмюэл И. Вайсман; Майкл Вайсман (1997). «Мистификация Алана Сокала и теория квантовой механики А. Ланна». Физика сегодня . 50 (6): 15. Бибкод : 1997PhT....50f..15W. дои : 10.1063/1.881789.
38. Камен, Мартин Д. (1985). Сияющая наука, темная политика. Беркли и Лос-Анджелес, Калифорния: Издательство Калифорнийского университета. стр. 29–32. ISBN 978-0-520-04929-1.
39. Шредингер, Э. (1984). Собранные бумаги . Фридрих Видег и Зон. ISBN 978-3-7001-0573-2.См. введение к первой статье 1926 года.
40. Лернер, Р.Г .; Тригг, Г.Л. (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN 0-89573-752-3.
41. Зоммерфельд, А. (1919). Atombau und Spektrallinien (на немецком языке). Брауншвейг: Фридрих Видег и Зон. ISBN 978-3-87144-484-5.
42. Источник на английском языке см. Haar, T. (1967). Старая квантовая теория . Оксфорд, Нью-Йорк: Пергамон Пресс.
43. Терези, Дик (7 января 1990 г.). «Одинокий рейнджер квантовой механики». Нью-Йорк Таймс . ISSN  0362-4331 . Проверено 13 октября 2020 г.
44. Шредингер, Эрвин (1982). Сборник статей по волновой механике (3-е изд.). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3524-1.
45. Шредингер, Э. (1926). «Quantisierung als Eigenwertproblem; фон Эрвин Шредингер». Аннален дер Физик (на немецком языке). 384 (4): 361–377. Бибкод : 1926АнП...384..361С. дои : 10.1002/andp.19263840404 .
46. Мур, WJ (1992). Шрёдингер: Жизнь и мысль . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-43767-7.
47. Джаммер, Макс (1974). Философия квантовой механики: интерпретации квантовой механики в исторической перспективе . Уайли-Интерсайенс. ISBN 9780471439585.
48. Карам, Рикардо (июнь 2020 г.). «Оригинальная борьба Шрёдингера со сложной волновой функцией». Американский журнал физики . 88 (6): 433–438. Бибкод : 2020AmJPh..88..433K. дои : 10.1119/10.0000852. ISSN  0002-9505. S2CID  219513834.
49. Эрвин Шрёдингер, «Современная ситуация в квантовой механике», с. 9 из 22. Английскую версию перевел Джон Д. Триммер. Перевод впервые появился в Proceedings of the American Philosophical Society , 124, 323–338. Позже он появился как раздел I.11 части I книги « Квантовая теория и измерения» Дж. А. Уиллера и В. Х. Зурека, ред., Princeton University Press, Нью-Джерси, 1983, ISBN 0691083169 . 
50. Омнес, Р. (1994). Интерпретация квантовой механики . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-03669-4. ОКЛК  439453957.
51. Фэй, Январь (2019). «Копенгагенская интерпретация квантовой механики». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
52. Шевалле, Кэтрин (1999). «Почему мы считаем Бора неясным?». В Гринбергере, Дэниел; Райтер, Вольфганг Л.; Цайлингер, Антон (ред.). Эпистемологические и экспериментальные перспективы квантовой физики . Springer Science+Business Media. стр. 59–74. дои : 10.1007/978-94-017-1454-9. ISBN 978-9-04815-354-1.
53. ван Фраассен, Бас К. (апрель 2010 г.). «Мир Ровелли». Основы физики . 40 (4): 390–417. Бибкод : 2010FoPh...40..390В. doi : 10.1007/s10701-009-9326-5. ISSN  0015-9018. S2CID  17217776.
54. Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовский и прагматический взгляд на квантовую теорию». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
55. Дойч, Дэвид (2010). «Помимо вселенных». В С. Сондерсе; Дж. Барретт; А. Кент; Д. Уоллес (ред.). Много миров? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Издательство Оксфордского университета.
56. Шрёдингер, Эрвин (1996). Битбол, Мишель (ред.). Интерпретация квантовой механики: Дублинские семинары (1949–1955) и другие неопубликованные эссе . ОксБоу Пресс.
57. Битбол, Мишель (1996). Философия квантовой механики Шрёдингера. Дордрехт: Springer Нидерланды. ISBN 978-94-009-1772-9. ОСЛК  851376153.
58. Барретт, Джеффри (2018). «Формулировка квантовой механики Эверетта в относительном состоянии». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
59. Уоллес, Дэвид (2003). «Эвереттовская рациональность: защита подхода Дойча к вероятности в интерпретации Эверетта». Стад. Хист. Фил. Мод. Физ . 34 (3): 415–438. arXiv : Quant-ph/0303050 . Бибкод : 2003SHPMP..34..415W. дои : 10.1016/S1355-2198(03)00036-4. S2CID  1921913.
60. Баллентайн, Ле (1973). «Можно ли вывести статистический постулат квантовой теории? Критика интерпретации многих вселенных». Основы физики . 3 (2): 229–240. Бибкод : 1973FoPh....3..229B. дои : 10.1007/BF00708440. S2CID  121747282.
61. Ландсман, НП (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . В Вайнерт, Ф.; Хентшель, К.; Гринбергер, Д.; Фалькенбург, Б. (ред.). Сборник квантовой физики . Спрингер. ISBN 978-3-540-70622-9. Вывод, по-видимому, состоит в том, что общепринятого вывода правила Борна до сих пор не дано, но это не означает, что такой вывод в принципе невозможен.
62. Кент, Адриан (2010). «Один мир против многих: неадекватность эвереттовских объяснений эволюции, вероятности и научного подтверждения». В С. Сондерсе; Дж. Барретт; А. Кент; Д. Уоллес (ред.). Много миров? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Издательство Оксфордского университета. arXiv : 0905.0624 . Бибкод : 2009arXiv0905.0624K.
63. Гольдштейн, Шелдон (2017). «Бомовская механика». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.

Внешние ссылки

• «Уравнение Шрёдингера». Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Квантовая кулинарная книга (PDF) и PHYS 201: Основы физики II Рамамурти Шанкара , Йельский университет OpenCourseware
• Современная революция в физике - онлайн-учебник.
• Квантовая физика I в MIT OpenCourseWare