Оператор (физика)

Функция, действующая на пространство физических состояний в физике

В физике оператор — это функция из пространства физических состояний в другое пространство физических состояний. Простейшим примером полезности операторов является изучение симметрии (что делает понятие группы полезным в этом контексте). Благодаря этому они являются полезными инструментами в классической механике . Операторы еще более важны в квантовой механике , где они составляют неотъемлемую часть формулировки теории.

Операторы в классической механике

В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом или , что то же самое , гамильтонианом , функцией обобщенных координат q , обобщенных скоростей и сопряженных им импульсов : ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$ ${\displaystyle H(q,p,t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}$

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

Если L или H не зависят от обобщенной координаты q , то это означает, что L и H не меняются при изменении q , что, в свою очередь, означает, что динамика частицы остается той же самой, даже когда q изменяется, соответствующие импульсы сопряжены с теми, координаты сохранятся (это часть теоремы Нётер , а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.

Говоря более технически, когда H инвариантен относительно действия определенной группы преобразований G :

${\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)}$.

Элементами G являются физические операторы, которые отображают между собой физические состояния.

Таблица операторов классической механики

где – матрица вращения вокруг оси, определяемой единичным вектором и углом θ . ${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$

Генераторы

Если преобразование бесконечно мало , действие оператора должно иметь вид

${\displaystyle I+\epsilon A,}$

где — тождественный оператор, — это параметр с небольшим значением, который будет зависеть от текущего преобразования и называется генератором группы . Опять же, в качестве простого примера, мы выведем генератор пространственных сдвигов для 1D-функций. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$

Как было заявлено, . Если бесконечно мало, то можно написать ${\displaystyle T_{a}f(x)=f(x-a)}$ ${\displaystyle a=\epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).}$

Эту формулу можно переписать как

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)}$

где – генератор группы трансляции, которая в данном случае является оператором производной . Таким образом, говорят, что генератор переводов является производной. ${\displaystyle D}$

Экспоненциальная карта

Вся группа может быть восстановлена ​​при нормальных обстоятельствах из генераторов с помощью экспоненциального отображения . В случае с переводами идея работает следующим образом.

Перевод для конечного значения может быть получен повторным применением бесконечно малого перевода: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)}$

с указанием времени подачи заявления . Если велико, то каждый из факторов можно считать бесконечно малым: ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).}$

Но этот предел можно переписать в экспоненциальном виде:

${\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).}$

Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в степенной ряд :

${\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).}$

Правую часть можно переписать как

${\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots }$

это просто разложение Тейлора , которое было нашим первоначальным значением для . ${\displaystyle f(x-a)}$ ${\displaystyle T_{a}f(x)}$

Математические свойства физических операторов сами по себе представляют собой очень важную тему. Дополнительную информацию см. в C*-алгебре и теореме Гельфанда – Наймарка .

Операторы в квантовой механике

Математическая формулировка квантовой механики (КМ) построена на концепции оператора.

Физические чистые состояния в квантовой механике представляются в виде векторов единичной нормы (вероятности нормированы на единицу) в специальном комплексном гильбертовом пространстве . Эволюция времени в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции .

Любая наблюдаемая , т. е. любая величина, которую можно измерить в физическом эксперименте, должна быть сопоставлена ​​с самосопряженным линейным оператором . Операторы должны выдавать реальные собственные значения , поскольку это значения, которые могут возникнуть в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовыми . ^[1] Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. Ниже приведены математические подробности об эрмитовых операторах.

В формулировке КМ волновой механики волновая функция меняется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, импульса и времени ( подробности см. в пространстве положения и импульса ), поэтому наблюдаемые величины являются дифференциальными операторами .

В формулировке матричной механики норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным , а операторы могут быть представлены в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая одно физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.

Волновая функция

Волновая функция должна быть интегрируемой с квадратом (см. пространства Lp ) , что означает:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }$

и нормируемый, так что:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}$

Два случая собственных состояний (и собственных значений):

• для дискретных собственных состояний , образующих дискретный базис, поэтому любое состояние представляет собой сумму ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$
  $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }$$
  где c _i — комплексные числа такие, что | с _я | ² = c _i ^* c _i — вероятность измерения состояния , а соответствующий набор собственных значений a _i также дискретен — либо конечен , либо счетен . В этом случае внутренний продукт двух собственных состояний определяется как , где обозначает дельту Кронекера . Однако, ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{mn}}$
• для континуума собственных состояний , образующих непрерывный базис, любое состояние является целостным. ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$
  $${\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }$$
  где c ( φ ) — комплексная функция такая, что | с (φ)| ² = c (φ) ^* c (φ) — вероятность измерения состояния , причем существует несчетно бесконечное множество собственных значений a . В этом случае внутренний продукт двух собственных состояний определяется как , где здесь обозначается дельта Дирака . ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}$ ${\displaystyle \delta (x-y)}$

Линейные операторы в волновой механике

Пусть ψ — волновая функция квантовой системы и любой линейный оператор для некоторой наблюдаемой A (например, положения, импульса, энергии, углового момента и т. д.). Если ψ — собственная функция оператора , то ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}$

где a — собственное значение оператора, соответствующее измеренному значению наблюдаемой, т.е. наблюдаемая A имеет измеренное значение a .

Если ψ — собственная функция данного оператора , то определенная величина (собственное значение a ) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой A производится в состоянии ψ . И наоборот, если ψ не является собственной функцией , то у нее нет собственного значения для , и в этом случае наблюдаемая не имеет ни одного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемой A дадут каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса ). ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

В обозначениях бра-кет можно записать вышеизложенное;

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}$

которые равны, если - собственный вектор или собственный вектор наблюдаемой A . ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$

Благодаря линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del , который сам по себе является вектором (полезен в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).

Оператор в n -мерном пространстве можно записать:

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}$

где e _j — базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору A _j . Каждый компонент будет давать соответствующее собственное значение . Действуя таким образом на волновую функцию ψ : ${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}$

в котором мы использовали ${\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}$

В обозначениях бра-кет:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}$

Коммутация операторов на Ψ

Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы и коммутатор определяется формулой: ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Воздействие коммутатора на ψ дает:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}$

Если ψ — собственная функция с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}$

тогда наблюдаемые A и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, т. е. неопределенности одновременно . Тогда говорят, что ψ является одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это: ${\displaystyle \Delta A=0}$ ${\displaystyle \Delta B=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}$

Это показывает, что измерение A и B не вызывает какого-либо сдвига состояния, т. е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет возмущений из-за измерения). Предположим, мы измеряем А, чтобы получить значение а. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Измеряем А еще раз. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.

Если операторы не ездят на работу:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}$

они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и между наблюдаемыми существует соотношение неопределенности

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}$

даже если ψ является собственной функцией, приведенное выше соотношение выполняется. Примечательными парами являются соотношения неопределенностей положения и импульса, энергии и времени, а также угловые моменты (спиновые, орбитальные и полные) вокруг любых двух ортогональных осей (таких как L _x и L _y или s _y и s _z и т. д.). .). ^[2]

Ожидаемые значения операторов на Ψ

Ожидаемое значение (эквивалентно среднему или среднему значению) — это среднее измерение наблюдаемой частицы в области R. Ожидаемое значение оператора рассчитывается по формуле: ^[3] ${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}$

Это можно обобщить на любую функцию F оператора:

${\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}$

Примером F является двукратное действие A на ψ , т.е. возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}$

Эрмитовы операторы

Определение эрмитова оператора : ^[1]

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}$

Отсюда в обозначениях брекета:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}$

Важные свойства эрмитовых операторов включают в себя:

• действительные собственные значения,
• собственные векторы с разными собственными значениями ортогональны ,
• собственные векторы могут быть выбраны как полный ортонормированный базис ,

Операторы в матричной механике

Оператор можно записать в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент может быть связан с другим ^[3] выражением: ${\displaystyle \phi _{j}}$

${\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}$

который является матричным элементом:

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Еще одним свойством эрмитова оператора является то, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. ^[1] В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет подходящему базисному набору векторов представлять состояние квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}$

где I — единичная матрица размера n × n , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретной основы:

${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$

а на постоянной основе:

${\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }$

Обратный оператор

Несингулярный оператор имеет обратный, определяемый следующим образом: ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$

Если оператор не имеет обратного, то это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}$

и, следовательно, определитель сингулярного оператора равен нулю.

Таблица операторов QM

Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., например, ^{[1] [4]} ). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами , это 3-векторные операторы; все три пространственных компонента вместе взятые.

Примеры применения квантовых операторов

Процедура извлечения информации из волновой функции заключается в следующем. В качестве примера рассмотрим импульс частицы p . Оператор импульса в позиционном базисе в одном измерении:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

Действуя на ψ, мы получаем:

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}$

если ψ — собственная функция , то собственное значение импульса p — это значение импульса частицы, найденное по формуле: ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}$

Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла , чтобы стать:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}$

Это можно записать в декартовых координатах (с использованием стандартных декартовых базисных векторов e _x , e _y , e _{z );}

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

то есть:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}$

Процесс нахождения собственных значений тот же. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ является собственной функцией, то каждый компонент оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этому компоненту импульса. Действуя на ψ , получаем: ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}$

Смотрите также

• Ограниченный линейный оператор
• Теория представлений

Рекомендации

1. Молекулярная квантовая механика, части I и II: Введение в квантовую химию (том 1), П. В. Аткинс, Oxford University Press, 1977, ISBN  0-19-855129-0
2. Баллентайн, Л.Е. (1970), «Статистическая интерпретация квантовой механики», Обзоры современной физики , 42 (4): 358–381, Бибкод : 1970RvMP...42..358B, doi : 10.1103/RevModPhys.42.358
3. Квантовая механика демистифицирована, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9 
4. Операторы - Фейнмановские лекции по физике