Силовая серия

Бесконечная сумма мономов

В математике степенной ряд (от одной переменной ) — это бесконечный ряд вида

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots }$$

nкоэффициент- го члена _,cматематическом анализеТейлора бесконечно дифференцируемых функцийтеоремы Бореля

Во многих ситуациях c ( центр ряда) равен нулю, например, при рассмотрении ряда Маклорена . В таких случаях степенной ряд принимает более простой вид

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .}$$

Помимо своей роли в математическом анализе, степенные ряды также встречаются в комбинаторике как производящие функции (разновидность формальных степенных рядов ) и в электронной технике (под названием Z-преобразование ). Знакомое десятичное обозначение действительных чисел также можно рассматривать как пример степенного ряда с целыми коэффициентами, но с фиксированным аргументом x , равным 1 ⁄ 10 . В теории чисел понятие p -адических чисел также тесно связано с понятием степенного ряда.

Примеры

Полиномиальный

Показательная функция (синим цветом) и ее улучшающее приближение суммой первых n  + 1 членов ее степенного ряда Маклорена (красным цветом). Таким образом ,
n=0 дает n=1 , n=2 , n=3 и так далее. ${\displaystyle f(x)=1}$
${\displaystyle f(x)=1+x}$
${\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}/2}$
${\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6}$

Любой полином можно легко выразить в виде степенного ряда вокруг любого центра c , хотя все коэффициенты, кроме конечного числа, будут равны нулю, поскольку степенной ряд по определению имеет бесконечно много членов. Например, полином можно записать в виде степенного ряда вокруг центра как ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ ${\textstyle c=0}$

$${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }$$

${\textstyle c=1}$

$${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots }$$

Это связано с тем, что разложение f(x) в ряд Тейлора составляет ${\textstyle x=1}$

$${\displaystyle f(x)=f(1)+{\frac {f'(1)}{1!}}(x-1)+{\frac {f''(1)}{2!}}(x-1)^{2}+{\frac {f'''(1)}{3!}}(x-1)^{3}+\cdots ,}$$

as и ненулевые производные являются , so и , константой. ${\textstyle f(x=1)=1+2+3=6}$ ${\textstyle f'(x)=2x+2}$ ${\textstyle f'(1)=4}$ ${\textstyle f''(x)=2}$

Или действительно, расширение возможно вокруг любого другого центра c . ^[1] Можно рассматривать степенные ряды как «многочлены бесконечной степени», хотя степенные ряды не являются полиномами.

Геометрический ряд, показательная функция и синус

Формула геометрической прогрессии

$${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$$

${\textstyle |x|<1}$

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$$

$${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$

справедливо для всех действительных x .

Эти степенные ряды также являются примерами рядов Тейлора .

О множестве показателей

Отрицательные степени не допускаются в степенных рядах; например, не считается степенным рядом (хотя это ряд Лорана ). Точно так же не допускаются дробные степени, такие как (но см. ряд Пюизо ). Коэффициенты не могут зависеть от , например: ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots }$$

Радиус схождения

Степенной ряд сходится для некоторых значений переменной x , которая всегда будет включать x = c (как обычно, оценивается как ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ ${\displaystyle (x-c)^{0}}$1 , и сумма ряда, таким образом, равна x = c ). Ряд может расходиться при других значениях x . Если c не единственная точка сходимости, то всегда существует число r с 0 < r ≤ ∞ такое, что ряд сходится всякий раз, когда | х – с | < r и расходится всякий раз, когда | х – с | > р . Число г называется радиусом сходимости степенного ряда; в общем это дается как ${\displaystyle a_{0}}$

$${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$$

$${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$$

теорема Коши-Адамара«Предел верхний» и «нижний предел

$${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$$

Набор комплексных чисел таких, что | х – с | < r называется кругом сходимости ряда. Ряд сходится абсолютно внутри своего круга сходимости и сходится равномерно на каждом компактном подмножестве круга сходимости.

Для | х – с | = r , общего утверждения о сходимости ряда не существует. Однако теорема Абеля утверждает, что если ряд сходится для некоторого значения z такого, что | г – с | = r , то сумма ряда для x = z является пределом суммы ряда для x = c + t ( z – c ) , где t — действительная переменная, меньшая, чем1 , который имеет тенденцию1 .

Действия над степенным рядом

Сложение и вычитание

Когда две функции f и g разлагаются в степенные ряды вокруг одного и того же центра c , степенной ряд суммы или разности функций можно получить путем почленного сложения и вычитания. То есть, если

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$$

$${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$$

$${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}$$

Неверно, что если два степенных ряда имеют одинаковый радиус сходимости, то и они имеют этот радиус сходимости. Если и , то оба ряда имеют одинаковый радиус сходимости 1, но ряд имеет радиус сходимости 3. ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$

Сумма двух степенных рядов будет иметь, как минимум, радиус сходимости меньшего из двух радиусов сходимости двух рядов (и он может быть больше, чем любой из них, как показано в примере выше). ^[2]

Умножение и деление

При тех же определениях и степенной ряд произведения и частного функции можно получить следующим образом: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}}$$

Последовательность известна как свертка последовательностей и . ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Для деления, если определить последовательность ${\displaystyle d_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$$

$${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$$

${\displaystyle d_{n}}$

Решение соответствующих уравнений дает формулы, основанные на определителях некоторых матриц коэффициентов и ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

$${\displaystyle d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}$$

$${\displaystyle d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}$$

Дифференциация и интеграция

Если функция задана в виде степенного ряда, как указано выше, она дифференцируема внутри области сходимости. Его можно довольно легко дифференцировать и интегрировать , рассматривая каждый термин отдельно: ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}}$$

Обе эти серии имеют тот же радиус сходимости, что и исходная.

Аналитические функции

Функция f , определенная на некотором открытом подмножестве U в R или C , называется аналитической, если она локально задается сходящимся степенным рядом. Это означает, что каждый a ∈ U имеет открытую окрестность V ⊆ U , такую ​​что существует степенной ряд с центром a , который сходится к f ( x ) для каждого x ∈ V.

Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости аналитичен внутри своей области сходимости. Все голоморфные функции комплексно-аналитические. Суммы и произведения аналитических функций являются аналитическими, как и частные, пока знаменатель не равен нулю.

Если функция аналитическая, то она бесконечно дифференцируема, но в реальном случае обратное, вообще говоря, неверно. Для аналитической функции коэффициенты a _n можно вычислить как

$${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}$$

где обозначает n- ю производную f в точке c и . Это означает, что каждая аналитическая функция локально представлена ​​своим рядом Тейлора . ${\displaystyle f^{(n)}(c)}$ ${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$

Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g — две аналитические функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве U , и если существует элемент c ∈ U такой, что f ^{( n )} ( c ) знак равно грамм ^{( п )} ( c ) для всех n ≥ 0 , тогда ж ( Икс ) знак равно грамм ( Икс ) для всех Икс ∈ U .

Если задан степенной ряд с радиусом сходимости r , можно рассматривать аналитические продолжения этого ряда, т.е. аналитические функции f , которые определены на множествах, больших, чем { x | | Икс - с | < r } и согласуем с заданным степенным рядом на этом множестве. Число r максимально в следующем смысле: всегда существует комплексное число x такое, что | Икс - с | = r такой, что в точке x не может быть определено аналитическое продолжение ряда .

Разложение в степенной ряд обратной функции аналитической функции можно определить с помощью теоремы обращения Лагранжа .

Поведение вблизи границы

Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри круга сходимости. Однако в точках на границе этого диска может наблюдаться различное поведение. Например:

1. Расхождение, пока сумма продолжается до аналитической функции : имеет радиус сходимости, равный и расходится в каждой точке . Тем не менее, сумма в есть , которая является аналитической в ​​каждой точке плоскости, кроме . ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$ ${\displaystyle z=1}$
2. Сходящийся в одних точках и расходящийся в других : имеет радиус сходимости . Он сходится при , а расходится при . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z=-1}$ ${\displaystyle z=1}$
3. Абсолютная сходимость в каждой точке границы : имеет радиус сходимости , при этом она сходится абсолютно и равномерно в каждой точке благодаря М-тесту Вейерштрасса, применяемому с гипергармоническим сходящимся рядом . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$
4. Сходящаяся на замыкании круга сходимости, но не непрерывная сумма : Серпинский привел пример ^[3] степенного ряда с радиусом сходимости , сходящегося во всех точках с , но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дает теорема Абеля . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |z|=1}$

Формальный степенной ряд

В абстрактной алгебре пытаются уловить суть степенных рядов, не ограничиваясь полями действительных и комплексных чисел и без необходимости говорить о сходимости. Это приводит к понятию формальных степенных рядов , понятию, имеющему большую полезность в алгебраической комбинаторике .

Степенной ряд от нескольких переменных

Расширение теории необходимо для целей исчисления многих переменных . Здесь степенной ряд определяется как бесконечный ряд вида

$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},}$$

j = ( j ₁ , …, j _n )a _{( j 1 , …, j n )}c = ( c ₁ , …, c _n )x = ( x ₁ , …, x _n )символ произведениямногоиндексной ${\displaystyle \Pi }$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.}$$

натуральных чиселnкортежей ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$

Теория таких рядов сложнее, чем для рядов с одной переменной, с более сложными областями сходимости. Например, степенной ряд абсолютно сходится на множестве двух гипербол. (Это пример логарифмически -выпуклого множества в том смысле, что множество точек , где лежит в указанной выше области, является выпуклым множеством. В более общем смысле можно показать, что когда c = 0, внутренняя часть области С другой стороны, внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком ряда, так же, как это можно сделать с обычными степенными рядами. ^[4] ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}$ ${\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$

Порядок степенного ряда

Пусть α — мультииндекс степенного ряда f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) . Порядок степенного ряда f определяется как наименьшее значение , при котором существует α ≠ 0 при , или если f ≡ 0. В _{частности} , для степенного ряда f ( x ) от одной переменной x порядок f — наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на ряды Лорана . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \infty }$

Примечания

1. Говард Леви (1967). Полиномы, степенные ряды и исчисление. Ван Ностранд. п. 24.
2. Эрвин Крейциг, Высшая инженерная математика, 8-е изд., стр. 747
3. Вацлав Серпинский (1916). «Sur une série potentielle qui, étant convernte en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discipline. (Французский)». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . Палермо Ренд. 41 : 187–190. дои : 10.1007/BF03018294. ЖФМ  46.1466.03. S2CID  121218640.
4. Беккенбах, EF (1948). «Выпуклые функции». Бюллетень Американского математического общества . 54 (5): 439–460. дои : 10.1090/S0002-9904-1948-08994-7 .

Рекомендации

• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], «Степеньевой ряд», Математическая энциклопедия , EMS Press

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Формальный степенной ряд». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Силовой ряд». Математический мир .
• Степени комплексных чисел Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Wolfram .