Собственная функция

Это решение задачи о вибрирующем барабане в любой момент времени является собственной функцией оператора Лапласа на диске.

В математике собственная функция линейного оператора D , определенного в некотором функциональном пространстве, — это любая ненулевая функция в этом пространстве, которая под действием D только умножается на некоторый масштабный коэффициент, называемый собственным значением . В виде уравнения это условие можно записать как $е$

Df=\lambda f

скалярного^[1]^[2]^[3]граничным условиям

\lambda.

Собственная функция — это разновидность собственного вектора .

Собственные функции

В общем, собственный вектор линейного оператора D , определенного в некотором векторном пространстве, представляет собой ненулевой вектор в области определения D , который, когда D действует на него, просто масштабируется некоторым скалярным значением, называемым собственным значением. В особом случае, когда D определен в функциональном пространстве, собственные векторы называются собственными функциями . То есть функция f является собственной функцией D , если она удовлетворяет уравнению

где λ — скаляр. ^[1]^[2]^[3] На решения уравнения ( 1 ) также могут распространяться граничные условия. Из-за граничных условий возможные значения λ обычно ограничиваются, например, дискретным набором λ ₁ , λ ₂ , … или непрерывным набором в некотором диапазоне. Набор всех возможных собственных значений D иногда называют его спектром , который может быть дискретным, непрерывным или комбинацией того и другого. ^[1]

Каждому значению λ соответствует одна или несколько собственных функций. Если несколько линейно независимых собственных функций имеют одно и то же собственное значение, собственное значение называется вырожденным , а максимальное количество линейно независимых собственных функций, связанных с одним и тем же собственным значением, представляет собой степень вырождения или геометрической кратности собственного значения . ^[4]^[5]

Производный пример

Широко используемый класс линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, — это дифференциальные операторы в пространстве ^C∞бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций вещественного или комплексного аргумента t . Например, рассмотрим производный оператор с уравнением собственных значений ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$

{\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).

Это дифференциальное уравнение можно решить путем умножения обеих частей и интегрирования. Ее решение – показательная функция ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$

f(t)=f_{0}e^{\lambda t},

f ₀ft

Предположим в примере, что f ( t ) подчиняется граничным условиям f (0) = 1 и . Затем мы находим, что ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$

f(t)=e^{2t},

Ссылка на собственные значения и собственные векторы матриц

Собственные функции могут быть выражены как векторы-столбцы, а линейные операторы могут быть выражены как матрицы, хотя они могут иметь бесконечные размерности. В результате многие понятия, связанные с собственными векторами матриц, переносятся и на изучение собственных функций.

Определите внутренний продукт в функциональном пространстве, в котором D определяется как

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ Omega } \ f ^ {*} (t) g (t) dt,}

t- сопряженное число

Предположим, что функциональное пространство имеет ортонормированный базис , заданный набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, un ( _t ) }, где n может быть бесконечным. Для ортонормированного базиса

{\ displaystyle \ langle u_ {i}, u_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega } \ u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t) dt = \ delta _ {ij }={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},}

δij _—Кронекера матрицы

Функции можно записать как линейную комбинацию базисных функций:

f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),

разложения Фурьеtb _jn на 1 b = [ b ₁b ₂ … b _n ] ^T

Дополнительно определим матричное представление линейного оператора D с элементами

{\ displaystyle A_ {ij} = \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega } \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) dt. }

Мы можем записать функцию Df ( t ) либо как линейную комбинацию базисных функций, либо как D , действующую на разложение f ( t ),

Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{ j}(т).

Взяв скалярное произведение каждой части этого уравнения с произвольной базисной функцией _ui ( t ) ,

{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t )dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_ {i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}

Это матричное умножение Ab = c , записанное в виде суммирования, и является матричным эквивалентом оператора D , действующего на функцию f ( t ), выраженную в ортонормированном базисе. Если f ( t ) — собственная функция D с собственным значением λ, то Ab = λb .

Собственные значения и собственные функции эрмитовых операторов

Многие из операторов, встречающихся в физике, являются эрмитовыми . Предположим, что линейный оператор D действует в функциональном пространстве, которое является гильбертовым пространством с ортонормированным базисом, заданным набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, un ( _t ) }, где n может быть бесконечным. В этом базисе оператор D имеет матричное представление A с элементами

A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).

По аналогии с эрмитовыми матрицами D является эрмитовым оператором, если A ij ₌ A ji _* , или: ^[6]

{\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}

Рассмотрим эрмитов оператор D с собственными значениями λ ₁ , λ ₂ , … и соответствующими собственными функциями f ₁ ( t ), f ₂ ( t ), …. Этот эрмитовский оператор обладает следующими свойствами:

Его собственные значения вещественны, λ _i = λ _i * ^[4]^[6]
Его собственные функции подчиняются условию ортогональности, если i ≠ j ^[6]^[7]^[8] $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$

Второе условие всегда выполняется для λ _i ≠ λ _j . Для вырожденных собственных функций с одинаковым собственным значением λ _i всегда можно выбрать ортогональные собственные функции, которые охватывают собственное пространство, связанное с λ _i , например, с помощью процесса Грама-Шмидта . ^[5] В зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным, собственные функции можно нормализовать, установив скалярное произведение собственных функций равным либо дельта-функции Кронекера, либо дельта-функции Дирака соответственно. ^[8]^[9]

Для многих эрмитовых операторов, особенно операторов Штурма – Лиувилля , третье свойство

Его собственные функции составляют основу функционального пространства, на котором определен оператор ^[5]

Как следствие, во многих важных случаях собственные функции эрмитова оператора образуют ортонормированный базис. В этих случаях произвольная функция может быть выражена как линейная комбинация собственных функций эрмитова оператора.

Приложения

Вибрирующие струны

Пусть $h (x, t)$ обозначает поперечное смещение напряжённой упругой хорды, такой как колеблющаяся струна струнного инструмента , как функция положения $x$ вдоль струны и времени $t$ . Применяя законы механики к бесконечно малым частям струны, функция $h$ удовлетворяет уравнению в частных производных

{\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},

волновым уравнением

с

Эта задача поддается методу разделения переменных . Если предположить, что $h (x, t)$ можно записать как произведение вида $X (x) T (t)$ , мы можем сформировать пару обыкновенных дифференциальных уравнений:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.

Каждое из них представляет собой уравнение собственных значений с собственными значениями и $-$ $ω$ $2$ соответственно. При любых значениях $ω$ и $c$ уравнениям удовлетворяют функции ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$

X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),

φ

ψ

Если мы наложим граничные условия, например, что концы струны зафиксированы в точках $x = 0$ и $x = L$ , а именно $X (0) = X (L) = 0$ , и что $T (0) = 0$ , мы ограничим собственные значения. Для этих граничных условий $sin(φ) = 0$ и $sin(ψ) = 0$ , поэтому фазовые углы $φ = ψ = 0$ и

\sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.

Это последнее граничное условие вынуждает $ω$ принимать значение $ω n =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ncπ/л$ , где $n$ — любое целое число. Таким образом, зажатая струна поддерживает семейство стоячих волн вида

h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).

На примере струнного инструмента частота $ω n$ — это частота $n$ -й гармоники , которая называется $(n - 1)$ -м обертоном .

Уравнение Шрёдингера

В квантовой механике уравнение Шрёдингера

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)

гамильтоновым оператором

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)

^[10]волновая функция

Ψ(r, t) = φ (r) T (t)

Оба этих дифференциальных уравнения являются уравнениями на собственные значения с собственным значением $E$ . Как показано в предыдущем примере, решением уравнения ( 3 ) является экспоненциальная функция

T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.

Уравнение ( 2 ) представляет собой независимое от времени уравнение Шрёдингера. Собственные функции $φ k$ оператора Гамильтона представляют собой стационарные состояния квантовомеханической системы, каждое из которых имеет соответствующую энергию $E k$ . Они представляют собой допустимые энергетические состояния системы и могут быть ограничены граничными условиями.

Гамильтонов оператор $H$ является примером эрмитова оператора, собственные функции которого образуют ортонормированный базис. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, общие решения уравнения Шредингера представляют собой линейные комбинации стационарных состояний, умноженные на колебательное $T (t)$ , ^[11] или, для системы с непрерывным спектром, ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$

\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.

Успех уравнения Шрёдингера в объяснении спектральных характеристик водорода считается одним из величайших триумфов физики XX века.

Сигналы и системы

При изучении сигналов и систем собственная функция системы — это сигнал $f (t)$ , который при вводе в систему вызывает ответ $y (t) = λf (t)$ , где $λ$ — комплексное скалярное собственное значение. ^[12]

Смотрите также

Примечания

Цитаты

^ abc Давыдов 1976, с. 20.
^ ab Kusse & Westwig 1998, стр. 435.
^ аб Вассерман 2016.
^ аб Давыдов 1976, с. 21.
^ abc Kusse & Westwig 1998, стр. 437.
^ abc Kusse & Westwig 1998, стр. 436.
^ Давыдов 1976, с. 24.
^ аб Давыдов 1976, с. 29.
^ Давыдов 1976, с. 25.
^ Давыдов 1976, с. 51.
^ Давыдов 1976, с. 52.
^ Жирод, Рабенштейн и Стенгер 2001, с. 49.

Цитируемые работы

Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид. Методы математической физики . Том. 1. Уайли. ISBN 047150447-5.(Том 2: ISBN 047150439-4 )
Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика . Переведено, отредактировано и с дополнениями Д. тер Хаара (2-е изд.). Оксфорд: Пергамон Пресс. ISBN 008020438-4.
Жирод, Бернд ; Рабенштейн, Рудольф; Стенгер, Александр (2001). Сигналы и системы (2-е изд.). Уайли. ISBN 047198800-6.
Куссе, Брюс; Вествиг, Эрик (1998). Математическая физика . Нью-Йорк: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
Вассерман, Эрик В. (2016). «Собственная функция». Математический мир . Вольфрам Исследования . Проверено 12 апреля 2016 г.

Внешние ссылки

Больше изображений (без лицензии GPL) на сайте Atom in a Box