Квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах
В линейной алгебре единичная матрица размера — это квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Он обладает уникальными свойствами: например, когда единичная матрица представляет собой геометрическое преобразование, объект остается неизменным в результате преобразования. В других контекстах это аналогично умножению на число 1.![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Терминология и обозначения
Единичная матрица часто обозначается или просто, если размер несущественен или может быть тривиально определен контекстом. [1]![{\displaystyle I_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2} = {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3} = {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1& \cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Термин « единичная матрица» также широко использовался, [2] [3] [4] [5] , но термин « единичная матрица» теперь является стандартным. [6] Термин «единичная матрица» неоднозначен, поскольку он также используется для обозначения матрицы из единиц и любой единицы кольца всех матриц
. [7]
В некоторых областях, таких как теория групп или квантовая механика , единичная матрица иногда обозначается жирным шрифтом или называется «id» (сокращение от «идентичность»). Реже в некоторых книгах по математике используется или для обозначения единичной матрицы, что означает «единичная матрица» [2] и немецкое слово Einheitsmatrix соответственно. [8]![{\displaystyle \mathbf {1} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В терминах обозначений, которые иногда используются для краткого описания диагональных матриц , единичную матрицу можно записать как
![{\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots,1).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
дельта-[8]![{\displaystyle (I_{n})_{ij} =\delta _{ij}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Характеристики
Когда является матрицей, это свойство умножения матриц , которое![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
единицейкольцаэлементомлинейной группыобратимыхинволютивная матрица![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle GL (п)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Когда матрицы используются для представления линейных преобразований из -мерного векторного пространства в себя, единичная матрица представляет собой единичную функцию для любого базиса , использованного в этом представлении.![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Четвертый столбец единичной матрицы — это единичный вектор , вектор, чья -я запись равна 1 и 0 в других местах. Определитель единичной матрицы равен 1, а ее след равен .
![{\displaystyle e_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle я}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Единичная матрица — единственная идемпотентная матрица с ненулевым определителем. То есть это единственная матрица такая, что:
- При умножении на самого себя результат равен самому себе.
- Все его строки и столбцы линейно независимы .
Главный квадратный корень единичной матрицы равен ей самой, и это ее единственный положительно определенный квадратный корень. Однако каждая единичная матрица, содержащая как минимум две строки и столбцы, имеет бесконечное количество симметричных квадратных корней. [9]
Ранг единичной матрицы равен размеру , т.е.:![{\displaystyle I_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {ранг} (I_{n})=n.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ «Матрица идентичности: введение в матрицу идентичности (статья)» . Ханская академия . Проверено 14 августа 2020 г.
- ^ аб Пайпс, Луи Альберт (1963). Матричные методы в инженерии. Международная серия Прентис-Холл по прикладной математике. Прентис-Холл. п. 91.
- ^ Роджер Годемент , Алгебра , 1968.
- ^ ИСО 80000-2 : 2009.
- ^ Кен Страуд , Инженерная математика , 2013.
- ^ ИСО 80000-2 :2019.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Единичная матрица». mathworld.wolfram.com . Проверено 5 мая 2021 г.
- ^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Матрица идентичности». mathworld.wolfram.com . Проверено 14 августа 2020 г.
- ^ Митчелл, Дуглас В. (ноябрь 2003 г.). «87.57 Использование троек Пифагора для получения квадратных корней из I 2 {\displaystyle I_{2}} ". Математический вестник . 87 (510): 499–500. дои : 10.1017/S0025557200173723 . JSTOR 3621289.