В математике единичный элемент или нейтральный элемент бинарной операции — это элемент, который оставляет неизменным каждый элемент при применении операции. [1] [2] Например, 0 — это единичный элемент сложения действительных чисел . Это понятие используется в алгебраических структурах, таких как группы и кольца . Термин «элемент идентичности» часто сокращается до «идентичность» (как в случае аддитивной идентичности и мультипликативной идентичности) [3] , когда нет возможности путаницы, но идентичность неявно зависит от бинарной операции, с которой она связана.
Пусть ( S , ∗) — множество S, снабженное бинарной операцией ∗. Тогда элемент e из S называетсялевая единица, еслиe∗s=sдля всех sиз Sи aправая идентичность , еслиs∗e=sдля всех sиз S. [4]Еслиeявляется одновременно левой и правой единицей, то это называетсядвусторонняя идентичность , или простоличность . [5][6][7][8][9]
Тождество относительно сложения называетсяаддитивное тождество (часто обозначаемое как 0) и тождество относительно умножения называетсямультипликативное тождество (часто обозначается как 1). [3]Это не обязательно должны быть обычные операции сложения и умножения, поскольку базовая операция может быть довольно произвольной. Например, в случае группыидентификационныйэлемент иногда просто обозначается символом. Различие между аддитивной и мультипликативной идентичностью чаще всего используется для множеств, поддерживающих как бинарные операции, таких каккольца,целочисленные областииполя. Мультипликативное тождество часто называютединство в последнем контексте (кольцо с единством). [10][11][12]Это не следует путать сединицейв теории колец, которая представляет собой любой элемент, имеющиймультипликативный обратный. По своему собственному определению единство само по себе обязательно является единицей. [13][14]
В примере S = { e,f } с заданными равенствами S — полугруппа . Это демонстрирует возможность для ( S , ∗) иметь несколько левых тождеств. Фактически, каждый элемент может быть левым тождеством. Аналогично, правильных тождеств может быть несколько. Но если есть и правая, и левая идентичности, то они должны быть равны, в результате чего получается одна двусторонняя идентичность.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что если l — левая тождество, а r — правая тождество, то l = l ∗ r = r . В частности, никогда не может быть более одного двустороннего тождества: если бы их было два, скажем, e и f , то e ∗ f должно было бы быть равно и e , и f .
Также вполне возможно, что ( S , ∗) не имеет единичного элемента, [15] , например, в случае четных целых чисел при операции умножения. [3] Другим распространенным примером является векторное произведение векторов , где отсутствие единичного элемента связано с тем фактом, что направление любого ненулевого векторного произведения всегда ортогонально любому умножаемому элементу. То есть невозможно получить ненулевой вектор в том же направлении, что и исходный. Еще один пример структуры без единичного элемента включает в себя аддитивную полугруппу положительных натуральных чисел .
