Добавление

3 + 2 = 5 с яблоками , популярный выбор в учебниках ^[1]

Сложение (обычно обозначаемое знаком плюс + ) — одна из четырёх основных операций арифметики , остальные три — вычитание , умножение и деление . ^[2] Сложение двух целых чисел дает общую сумму или сумму этих значений. В примере на соседнем изображении показаны два столбца по три яблока и два яблока в каждом, всего пять яблок. Это наблюдение эквивалентно математическому выражению «3 + 2 = 5» (то есть «3 плюс 2 равно 5»).

Помимо подсчета элементов, сложение также может быть определено и выполнено без обращения к конкретным объектам , используя вместо этого абстракции, называемые числами , такие как целые числа , действительные числа и комплексные числа . Сложение принадлежит арифметике, разделу математики . В алгебре , другой области математики, сложение также может выполняться с абстрактными объектами, такими как векторы , матрицы , подпространства и подгруппы .

Дополнение имеет несколько важных свойств. Он коммутативен , что означает, что порядок операндов не имеет значения, и ассоциативен , что означает, что при сложении более двух чисел порядок, в котором выполняется сложение, не имеет значения. Повторное сложение 1 аналогично подсчету (см. Функция преемника ). Добавление не меняет число. Сложение также подчиняется предсказуемым правилам, касающимся связанных операций, таких как вычитание и умножение.

Сложение — одна из самых простых числовых задач. Сложение очень маленьких чисел доступно малышам; самое основное задание, 1 + 1 , могут выполнять младенцы в возрасте пяти месяцев и даже некоторые представители других видов животных. В начальной школе учащихся учат складывать числа в десятичной системе, начиная с однозначных цифр и постепенно решая более сложные задачи. Механические приспособления варьируются от древних счетов до современного компьютера , где исследования наиболее эффективных способов сложения продолжаются и по сей день.

Обозначения и терминология

Сложение записывается со знаком плюса «+» между слагаемыми; ^[3] то есть в инфиксной записи . Результат выражается знаком равенства . Например,

1+2=3

(«один плюс два равно трем»)

5+4+2=11

(см. «ассоциативность» ниже)

3+3+3+3=12

(см. «умножение» ниже)

Сложение по столбцу – числа в столбце складывают, а под подчеркнутым числом записывают сумму.

Бывают также ситуации, когда сложение «понимается», даже если символ не отображается:

Целое число, за которым сразу следует дробь, указывает на сумму двух, называемую смешанным числом . ^[4] Например, $3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.$ Это обозначение может вызвать путаницу, поскольку в большинстве других контекстов сопоставление вместо этого означает умножение . ^[5]

Сумма ряда связанных чисел может быть выражена через заглавную сигму , которая компактно обозначает итерацию . Например,

\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.

Условия

Числа или объекты, которые должны быть добавлены в общем сложении, вместе называются терминами , [ ^6] сложениями , ^[7]^[8]^[9] или слагаемыми ; ^[10] эта терминология переносится на суммирование нескольких членов. Его следует отличать от факторов , которые умножаются . Некоторые авторы называют первое дополнение augend . ^[7]^[8]^[9] Фактически, в эпоху Возрождения многие авторы вообще не считали первое добавление «добавлением». Сегодня из-за коммутативности сложения «augend» используется редко, и оба термина обычно называются сложениями. ^[11]

Вся приведенная выше терминология происходит от латыни . «Добавление» и «добавление» — английские слова, происходящие от латинского глагола addere , который, в свою очередь, представляет собой соединение слов « ad » «кому» и « смело давать», от протоиндоевропейского корня *deh₃- «давать». ; таким образом, добавить — значит дать . ^[11] Использование суффикса герундия -nd приводит к «добавить», «то, что нужно добавить». ^[a] Точно так же от augere «увеличивать» получается «augend», «вещь, которую нужно увеличить».

Перерисованная иллюстрация из *«Искусства Номбринга»* , одного из первых английских текстов по арифметике, написанного в 15 веке. ^[12]

«Сумма» и «слагаемое» происходят от латинского существительного summa «самый высокий, вершина» и связанного с ним глагола summare . Это уместно не только потому, что сумма двух положительных чисел больше любого из них, но и потому, что древние греки и римляне обычно добавляли вверх, в отличие от современной практики сложения вниз, так что сумма была буквально больше, чем сумма двух положительных чисел. добавляет. ^[13]Addere и summare восходят, по крайней мере, к Боэцию , если не к более ранним римским авторам, таким как Витрувий и Фронтин ; Боэций также использовал несколько других терминов для обозначения операции сложения. Более поздние среднеанглийские термины «добавление» и «добавление» были популяризированы Чосером . ^[14]

Знак плюс «+» ( Unicode :U+002B; ASCII :) +является аббревиатурой латинского слова et , означающего «и». ^[15] Оно появляется в математических работах, датируемых как минимум 1489 годом. ^[16]

Интерпретации

Сложение используется для моделирования многих физических процессов. Даже для простого случая сложения натуральных чисел существует множество возможных интерпретаций и еще больше визуальных представлений.

Объединение наборов

В одном наборе 3 фигуры, в другом — 2. Общее количество фигур равно 5, что является следствием сложения объектов из двух наборов (3 + 2 = 5).

Возможно, самая основная интерпретация сложения заключается в объединении множеств :

Когда две или более непересекающиеся коллекции объединяются в одну коллекцию, количество объектов в одной коллекции представляет собой сумму чисел объектов в исходных коллекциях.

Эту интерпретацию легко визуализировать, и опасность двусмысленности невелика. Это также полезно в высшей математике (строгое определение, которое оно дает, см. в § Натуральные числа ниже). Однако неясно, как следует расширить эту версию сложения, включив в нее дробные или отрицательные числа. ^[17]

Одним из возможных решений является рассмотрение коллекций объектов, которые можно легко разделить, например, пирогов или, что еще лучше, сегментированных стержней. ^[18] Вместо того, чтобы просто комбинировать наборы сегментов, стержни можно соединить встык, что иллюстрирует другую концепцию сложения: добавление не стержней, а длин стержней.

Увеличение длины

Визуализация алгебраического сложения 2 + 4 = 6 в виде числовой строки. «Прыжок» с расстоянием 2, за которым следует другой, длиной 4, аналогичен сдвигу на 6.

Визуализация унарного сложения 2 + 4 = 6 в числовой строке. Перевод на 4 эквивалентен четырем переводам на 1.

Вторая интерпретация сложения связана с увеличением первоначальной длины на заданную длину:

Когда исходная длина увеличивается на заданную величину, окончательная длина представляет собой сумму исходной длины и длины расширения. ^[19]

Сумму a + b можно интерпретировать как бинарную операцию , объединяющую a и b в алгебраическом смысле, или как добавление b дополнительных единиц к a . При последней интерпретации части суммы a + b играют асимметричные роли, а операция a + b рассматривается как применение унарной операции + b к a . ^[20] Вместо вызова слагаемых a и b в этом случае более уместно называть augend , поскольку a играет пассивную роль. Унарное представление также полезно при обсуждении вычитания , поскольку каждая унарная операция сложения имеет обратную унарную операцию вычитания, и наоборот .

Характеристики

Коммутативность

Сложение является коммутативным , то есть можно изменить порядок членов в сумме, но получить тот же результат. Символически, если a и b — любые два числа, то

а + б знак равно б + а .

Тот факт, что сложение коммутативно, известен как «коммутативный закон сложения» или «коммутативное свойство сложения». Некоторые другие двоичные операции являются коммутативными, например умножение, но многие другие — нет, например вычитание и деление.

Ассоциативность

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 с сегментированными стержнями

Сложение является ассоциативным , что означает, что при сложении трех и более чисел порядок операций не меняет результат.

Например, следует ли определить выражение a + b + c как ( a + b ) + c или a + ( b + c )? Учитывая, что сложение ассоциативно, выбор определения не имеет значения. Для любых трех чисел a , b и c верно, что ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . Например, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) .

Когда сложение используется вместе с другими операциями, порядок операций становится важным. В стандартном порядке операций сложение имеет более низкий приоритет, чем возведение в степень , корни n-й степени , умножение и деление, но имеет равный приоритет с вычитанием. ^[21]

Элемент идентификации

Добавление нуля к любому числу не меняет число; это означает, что ноль является единичным элементом сложения и также известен как аддитивная идентичность . В символах для каждого $a$ имеется

а + 0 знак равно 0 + а знак равно а

Этот закон был впервые описан в « Брахмасфутасиддханте » Брахмагупты в 628 году нашей эры, хотя он написал его как три отдельных закона, в зависимости от того, является ли a отрицательным, положительным или нулевым, и он использовал слова, а не алгебраические символы. Позже индийские математики усовершенствовали эту концепцию; около 830 года, как писал Махавира , «ноль становится тем же, что и то, что к нему прибавлено», что соответствует унарному утверждению $0 +$ $a$ $=$ $a$ . В XII веке Бхаскара писал: «При добавлении шифра или его вычитании величина, положительная или отрицательная, остается той же», что соответствует унарному утверждению $a$ $+ 0 =$ $a$ . ^[22]

Преемник

В контексте целых чисел добавление единицы также играет особую роль: для любого целого числа a целое число ( a + 1) является наименьшим целым числом, большим, чем a , также известным как преемник a . ^[23] Например, 3 является преемником 2, а 7 является преемником 6. Из-за этой последовательности значение a + b также можно рассматривать как b -й преемник a , создавая повторяемую последовательность сложения. Например, 6 + 2 равно 8, потому что 8 является преемником 7, то есть преемником 6, что делает 8 вторым преемником 6.

Единицы

Чтобы численно сложить физические величины с единицами , их необходимо выразить в обычных единицах. ^[24] Например, добавление 50 миллилитров к 150 миллилитрам дает 200 миллилитров. Однако если меру в 5 футов продлить на 2 дюйма, сумма составит 62 дюйма, поскольку 60 дюймов — это синоним 5 футов. С другой стороны, пытаться прибавить 3 метра и 4 квадратных метра обычно бессмысленно, поскольку эти единицы несопоставимы; такого рода соображения являются основополагающими в анализе размерностей . ^[25]

Выполнение сложения

Врожденная способность

Исследования математического развития, начавшиеся примерно в 1980-х годах, использовали феномен привыкания : младенцы дольше смотрят на неожиданные ситуации. ^[26] Результативный эксперимент Карен Винн в 1992 году с участием кукол Микки Мауса , которыми манипулировали за ширмой, продемонстрировал, что пятимесячные младенцы ожидают, что 1 + 1 будет 2, и они сравнительно удивляются, когда физическая ситуация, кажется, подразумевает, что 1 + 1 равно либо 1, либо 3. С тех пор этот вывод был подтвержден множеством лабораторий, использующих разные методологии. ^[27] В другом эксперименте 1992 года с детьми старшего возраста в возрасте от 18 до 35 месяцев использовалось развитие их двигательного контроля, позволяя им доставать мячики для пинг-понга из коробки; самые младшие хорошо реагировали на небольшие числа, в то время как испытуемые постарше могли вычислять суммы до 5. ^[28]

Даже некоторые животные, кроме человека, демонстрируют ограниченную способность к сложению, особенно приматы . В эксперименте 1995 года, имитирующем результат Винна 1992 года (но с использованием баклажанов вместо кукол), макаки-резусы и обезьяны-тамарины вели себя так же, как человеческие младенцы. Еще более впечатляюще то, что после обучения значениям арабских цифр от 0 до 4 один шимпанзе смог вычислить сумму двух цифр без дальнейшего обучения. ^[29] Совсем недавно азиатские слоны продемонстрировали способность выполнять базовые арифметические действия. ^[30]

Обучение в детстве

Обычно дети сначала осваивают счет . Когда возникает задача, требующая соединить два и три предмета, маленькие дети моделируют ситуацию с помощью физических объектов, часто пальцев или рисунка, а затем подсчитывают сумму. По мере накопления опыта они изучают или открывают для себя стратегию «счета»: когда детей просят найти два плюс три, дети считают три через два, произнося «три, четыре, пять » (обычно щелкая пальцами) и набирая пять. . Эта стратегия кажется почти универсальной; дети могут легко перенять его от сверстников или учителей. ^[31] Большинство обнаруживают это самостоятельно. Приобретая дополнительный опыт, дети учатся складывать быстрее, используя коммутативность сложения, считая от большего числа, в данном случае начиная с трех и считая «четыре, пять ». Со временем дети начинают вспоминать определенные факты сложения (« числовые связи ») либо посредством опыта, либо посредством механического запоминания. Запомнив некоторые факты, дети начинают выводить неизвестные факты из известных. Например, ребенок, которого попросили сложить шесть и семь, может знать, что 6 + 6 = 12 , а затем рассуждать, что 6 + 7 — это на единицу больше, или 13. ^[32] Такие производные факты можно найти очень быстро, и большинство учеников начальной школы в конечном итоге полагайтесь на смесь заученных и производных фактов, чтобы свободно добавлять их. ^[33]

В разных странах целые числа и арифметику знакомят с разным возрастом, причем во многих странах учат сложению в дошкольном возрасте. ^[34] Однако во всем мире сложение преподается к концу первого года начальной школы. ^[35]

Стол

Детям часто предлагают для запоминания таблицу сложения пар чисел от 0 до 9. Зная это, дети смогут выполнить любое сложение.

Десятичная система

Предпосылкой для сложения в десятичной системе является свободное припоминание или вывод 100 однозначных «фактов сложения». Можно было бы запомнить все факты наизусть , но стратегии, основанные на шаблонах, более информативны и для большинства людей более эффективны: ^[36]

Коммутативное свойство : упомянутое выше использование шаблона a + b = b + a уменьшает количество «фактов сложения» со 100 до 55.
Еще один или два : добавление 1 или 2 — это основная задача, и ее можно выполнить, полагаясь на расчет или, в конечном счете, на интуицию . ^[36]
Ноль : поскольку ноль является аддитивной идентичностью, добавление нуля тривиально. Тем не менее, при обучении арифметике некоторые учащиеся знакомятся со сложением как с процессом, который всегда увеличивает слагаемые; проблемы со словами могут помочь рационализировать «исключение» нуля. ^[36]
Двойные числа . Сложение числа само с собой связано со счетом на два и умножением . Двойные факты составляют основу многих связанных фактов, и учащиеся находят их относительно легкими для понимания. ^[36]
Почти двойные : такие суммы, как 6 + 7 = 13, можно быстро получить из двойного факта 6 + 6 = 12 , добавив еще один, или из 7 + 7 = 14 , но вычитая один. ^[36]
Пять и десять : суммы вида 5 + $x$ и 10 + $x$ обычно запоминаются рано и могут быть использованы для получения других фактов. Например, 6+7=13 можно получить из 5+7=12 добавлением еще одного. ^[36]
Составление десяти : продвинутая стратегия использует 10 в качестве промежуточного значения для сумм, включающих 8 или 9; например, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 . ^[36]

По мере того, как учащиеся становятся старше, они запоминают больше фактов и учатся быстро и бегло извлекать другие факты. Многие учащиеся никогда не запоминают все факты, но все же могут быстро найти любой основной факт. ^[33]

Нести

Стандартный алгоритм сложения многозначных чисел заключается в выравнивании слагаемых по вертикали и добавлении столбцов, начиная со столбца единиц справа. Если столбец превышает девять, лишняя цифра « переносится » в следующий столбец. Например, в сложении 27 + 59

 ¹ 27+ 59———— 86

7 + 9 = 16, а цифра 1 — это перенос. ^[b] Альтернативная стратегия начинает сложение с самой старшей цифры слева; этот маршрут делает перенос немного более громоздким, но позволяет быстрее получить приблизительную оценку суммы. Существует множество альтернативных методов.

С конца 20-го века некоторые программы США, в том числе TERC, решили исключить традиционный метод перевода из своих учебных программ. ^[37] Это решение подверглось критике, ^[38] поэтому некоторые штаты и округа не поддержали этот эксперимент.

Десятичные дроби

Десятичные дроби можно сложить простой модификацией описанного выше процесса. ^[39] Две десятичные дроби выравниваются друг над другом, при этом десятичная точка находится в одном и том же месте. При необходимости можно добавить конечные нули к более короткому десятичному знаку, чтобы сделать его такой же длины, как и более длинный десятичный знак. Наконец, выполняется тот же процесс сложения, что и выше, за исключением того, что десятичная точка в ответе ставится именно там, где она была помещена в слагаемых.

Например, 45,1 + 4,34 можно решить следующим образом:

 4 5 . 1 0+ 0 4 . 3 4———————————— 4 9 . 4 4

Научная нотация

В научной записи числа записываются в виде , где – мантисса, а – показательная часть. Сложение требует, чтобы два числа в экспоненциальном представлении были представлены с использованием одной и той же экспоненциальной части, чтобы две мантиссы можно было просто сложить. $x=a\times 10^{b}$ $a$ $10^{b}$

Например:

2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}

недесятичный

Сложение в других системах счисления очень похоже на десятичное сложение. В качестве примера можно рассмотреть сложение в двоичном формате. ^[40] Сложить два однозначных двоичных числа относительно просто, используя форму переноса:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, переносим 1 (поскольку 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ ))

При сложении двух цифр «1» получается цифра «0», а в следующий столбец необходимо добавить 1. Это похоже на то, что происходит в десятичной системе счисления, когда складываются определенные однозначные числа; если результат равен или превышает значение системы счисления (10), цифра слева увеличивается:

5 + 5 → 0, переносим 1 (поскольку 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ ))

7 + 9 → 6, переносим 1 (поскольку 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ))

Это известно как перенос . ^[41] Когда результат сложения превышает значение цифры, процедура состоит в том, чтобы «перенести» избыточную сумму, разделенную по системе счисления (то есть 10/10), влево, добавив ее к следующему позиционному значению. Это правильно, поскольку следующая позиция имеет вес, больший в коэффициент, равный основанию. Перенос в двоичном формате работает так же:

 1 1 1 1 1 (несущие цифры) 0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

В этом примере складываются две цифры: 01101 ₂ (13 ₁₀ ) и 10111 ₂ (23 ₁₀ ). В верхнем ряду показаны используемые биты переноса. Начиная с крайнего правого столбца, 1 + 1 = 10 ₂ . 1 переносится влево, а 0 записывается внизу самого правого столбца. Добавляется второй столбец справа: 1 + 0 + 1 = 10 ₂ снова; переносится 1, а внизу пишется 0. Третий столбец: 1 + 1 + 1 = 11 ₂ . На этот раз переносится 1, а в нижнем ряду пишется 1. Подобная процедура дает окончательный ответ 100100 ₂ (36 ₁₀ ).

Компьютеры

Дополнение с ОУ. Подробности см. в разделе «Суммирующий усилитель» .

Аналоговые компьютеры работают напрямую с физическими величинами, поэтому механизмы их сложения зависят от формы слагаемых. Механический сумматор может представлять два слагаемых как положения скользящих блоков, и в этом случае их можно сложить с помощью рычага усреднения . Если слагаемыми являются скорости вращения двух валов , их можно сложить с помощью дифференциала . Гидравлический сумматор может складывать давления в двух камерах, используя второй закон Ньютона для балансировки сил, действующих на блок поршней . Наиболее распространенная ситуация для аналогового компьютера общего назначения — добавление двух напряжений (относительно земли ); грубо говоря, этого можно добиться с помощью резисторной сети , но в более удачной конструкции используется операционный усилитель . ^[42]

Сложение также имеет основополагающее значение для работы цифровых компьютеров , где эффективность сложения, в частности механизма переноса , является важным ограничением общей производительности.

Часть разностной машины Чарльза Бэббиджа , включая механизмы сложения и переноса.

Счеты , также называемые счетной рамкой, представляют собой счетный инструмент, который использовался за столетия до принятия современной письменной системы счисления и до сих пор широко используется купцами, торговцами и клерками в Азии , Африке и других местах; оно датируется как минимум 2700–2300 гг. до н.э., когда оно использовалось в Шумере . ^[43]

Блез Паскаль изобрел механический калькулятор в 1642 году; ^[44] это была первая действующая счетная машина . В нем использовался механизм переноски с помощью гравитации. Это был единственный работающий механический калькулятор в 17 веке ^[45] и самый ранний автоматический цифровой компьютер. Калькулятор Паскаля был ограничен механизмом переноски, который заставлял его колеса вращаться только в одну сторону, чтобы он мог складывать. Для вычитания оператору приходилось использовать дополнение калькулятора Паскаля , которое требовало столько же шагов, сколько и сложение. Джованни Полени последовал примеру Паскаля, построив в 1709 году второй функциональный механический калькулятор — счетные часы из дерева, которые после установки могли автоматически умножать два числа.

Логическая схема « полного сумматора », которая складывает две двоичные цифры A и B вместе с входным сигналом переноса *C _in* , создавая бит суммы S и выходной сигнал переноса *C _out* .

Сумматоры выполняют сложение целых чисел в электронных цифровых компьютерах, обычно используя двоичную арифметику . Самая простая архитектура — это сумматор с пульсирующим переносом, который следует стандартному многоразрядному алгоритму. Одним из небольших улучшений является конструкция пропуска для переноски , опять же следуя человеческой интуиции; при вычислении 999 + 1 не выполняются все переносы , а обходят группу девяток и переходят к ответу. ^[46]

На практике вычислительное сложение может быть достигнуто с помощью поразрядных логических операций XOR и AND в сочетании с операциями побитового сдвига, как показано в псевдокоде ниже. И логические элементы XOR, и AND легко реализовать в цифровой логике, что позволяет реализовать полные сумматоры, которые, в свою очередь, могут быть объединены в более сложные логические операции. В современных цифровых компьютерах сложение целых чисел обычно является самой быстрой арифметической инструкцией, однако оно оказывает наибольшее влияние на производительность, поскольку лежит в основе всех операций с плавающей запятой, а также таких основных задач, как генерация адреса во время доступа к памяти и выборка инструкций во время ветвления . Чтобы увеличить скорость, современные конструкции вычисляют цифры параллельно ; эти схемы носят такие названия, как «carry select», «carry Lookahead » и «псевдоперенос Ling» . Многие реализации, по сути, являются гибридами этих трех последних проектов. ^[47]^[48] В отличие от сложения на бумаге, сложение на компьютере часто меняет слагаемые. На древних счетах и счетной доске оба слагаемых уничтожаются, остается только сумма. Влияние счетов на математическое мышление было настолько сильным, что в ранних латинских текстах часто утверждалось, что в процессе прибавления «числа к числу» оба числа исчезают. ^[49] В наше время инструкция ADD микропроцессора часто заменяет прибавление суммой, но сохраняет слагаемое. ^[50] В языке программирования высокого уровня вычисление a + b не меняет ни a , ни b ; если цель состоит в том, чтобы заменить a суммой, это должно быть явно запрошено, обычно с помощью оператора a = a + b . Некоторые языки, такие как C или C++, допускают сокращение до a += b .

// Итерационный алгоритм int add ( int x , int y ) { int перенос = 0 ; while ( y != 0 ) { перенос = И ( x , y ); // Логическое И x = XOR ( x , y ); // Логическое исключающее ИЛИ y = перенос << 1 ; // сдвиг битов влево переносим на единицу } return x ; }                                   // Рекурсивный алгоритм int add ( int x , int y ) { return x if ( y == 0 ) else add ( XOR ( x , y ), AND ( x , y ) << 1 ); }

На компьютере, если результат сложения слишком велик для сохранения, происходит арифметическое переполнение , приводящее к неправильному ответу. Непредвиденное арифметическое переполнение является довольно распространенной причиной ошибок программы . Такие ошибки переполнения может быть трудно обнаружить и диагностировать, поскольку они могут проявиться только для очень больших наборов входных данных, которые с меньшей вероятностью будут использоваться в проверочных тестах. ^[51] Проблема 2000 года представляла собой серию ошибок, из-за которых возникали ошибки переполнения из-за использования двухзначного формата в течение многих лет. ^[52]

Сложение чисел

Чтобы доказать обычные свойства сложения, необходимо сначала определить сложение для рассматриваемого контекста. Сложение сначала определяется для натуральных чисел . В теории множеств сложение затем распространяется на все более крупные множества, включающие натуральные числа: целые , рациональные и действительные числа . ^[53] ( В математическом образовании ^[54] положительные дроби добавляются еще до того, как рассматриваются отрицательные числа; это тоже исторический путь. ^[55] )

Натуральные числа

Есть два популярных способа определить сумму двух натуральных чисел a и b . Если определить натуральные числа как мощности конечных множеств (мощность набора — это количество элементов в множестве), то их сумму уместно определить следующим образом:

Пусть N( S ) — мощность множества S . Возьмем два непересекающихся множества A и B , причем N( A ) = a и N( B ) = b . Тогда a + b определяется как . ^[56] $N(A\cup B)$

Здесь A ∪ B — объединение A и B . _ Альтернативная версия этого определения позволяет A и B возможно перекрываться, а затем использует их непересекающееся объединение - механизм, который позволяет разделять общие элементы и, следовательно, учитывать их дважды.

Другое популярное определение — рекурсивное:

Пусть n ⁺ будет преемником n , то есть числа, следующего за n в натуральных числах, поэтому 0 ⁺ =1, 1 ⁺ =2. Определите а + 0 = а . Определим общую сумму рекурсивно как a + ( b ⁺ ) = ( a + b ) ⁺ . Следовательно, 1 + 1 = 1 + 0 ⁺ = (1 + 0) ⁺ = 1 ⁺ = 2 . ^[57]

Опять же, в литературе имеются незначительные вариации этого определения. Если понимать буквально, приведенное выше определение представляет собой применение теоремы о рекурсии к частично упорядоченному множеству N ² . ^[58] С другой стороны, некоторые источники предпочитают использовать теорему об ограниченной рекурсии, которая применима только к множеству натуральных чисел. Затем считается, что a временно «фиксировано», применяется рекурсия к b , чтобы определить функцию « a +», и объединяет эти унарные операции для всех a вместе, чтобы сформировать полную бинарную операцию. ^[59]

Эта рекурсивная формулировка сложения была разработана Дедекиндом еще в 1854 году, и он расширил ее в последующие десятилетия. ^[60] Он доказал ассоциативные и коммутативные свойства, среди прочего, с помощью математической индукции .

Целые числа

Простейшая концепция целого числа заключается в том, что оно состоит из абсолютного значения (которое является натуральным числом) и знака (обычно либо положительного , либо отрицательного ). Целый ноль — это особый третий случай, он не является ни положительным, ни отрицательным. Соответствующее определение сложения должно исходить из случаев:

Для целого числа n пусть | п | быть его абсолютным значением. Пусть a и b — целые числа. Если a или b равно нулю, рассматривайте это как тождество. Если a и b оба положительны, определите a + b = | а | + | б | . Если a и b оба отрицательны, определите a + b = −(| a | + | b |) . Если a и b имеют разные знаки, определите a + b как разность между | а | и | b |, со знаком того слагаемого, абсолютное значение которого больше. ^[61] Например, −6 + 4 = −2 ; поскольку -6 и 4 имеют разные знаки, их абсолютные значения вычитаются, а поскольку абсолютное значение отрицательного члена больше, ответ отрицательный.

Хотя это определение может быть полезно для конкретных задач, количество рассматриваемых случаев излишне усложняет доказательства. Поэтому для определения целых чисел обычно используется следующий метод. Он основан на замечании, что каждое целое число является разностью двух натуральных чисел и что две такие разности, $a - b$ и $c - d,$ равны тогда и только тогда, когда $a + d = b + c$ . Таким образом, можно формально определить целые числа как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел при условии эквивалентности.

(a, b) ~ (c, d)

тогда и только тогда, когда

a + d = b + c

Класс эквивалентности $(a, b)$ содержит либо $(a - b, 0)$ , если $a \geq b$ , либо $(0, b - a)$ в противном случае. Если $n$ — натуральное число, можно обозначить $+ n$ класс эквивалентности $(n, 0)$ , а через $- n$ класс эквивалентности $(0, n)$ . Это позволяет отождествить натуральное число $n$ с классом эквивалентности $+ n$ .

Добавление упорядоченных пар осуществляется покомпонентно:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).

Непосредственное вычисление показывает, что класс эквивалентности результата зависит только от классов эквивалентности слагаемых, и, таким образом, это определяет добавление классов эквивалентности, то есть целых чисел. ^[62] Еще одно простое вычисление показывает, что это дополнение совпадает с приведенным выше определением случая.

Этот способ определения целых чисел как классов эквивалентности пар натуральных чисел можно использовать для встраивания в группу любой коммутативной полугруппы со свойством сокращения . Здесь полугруппа образована натуральными числами, а группа представляет собой аддитивную группу целых чисел. Рациональные числа строятся аналогичным образом: в качестве полугруппы берутся ненулевые целые числа с умножением.

Эта конструкция была также обобщена под названием группы Гротендика на случай любой коммутативной полугруппы. Без свойства сокращения гомоморфизм полугруппы из полугруппы в группу может быть неинъективным. Первоначально группа Гротендика была, более конкретно, результатом этой конструкции, примененной к классам эквивалентности при изоморфизмах объектов абелевой категории с прямой суммой как полугрупповой операцией.

Рациональные числа (дроби)

Сложение рациональных чисел можно вычислить, используя наименьший общий знаменатель , но концептуально более простое определение включает только сложение и умножение целых чисел:

Определять ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

Например, сумма . ${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}$

Складывать дроби гораздо проще, если знаменатели одинаковы; в этом случае можно просто сложить числители, оставив знаменатель прежним: , поэтому . ^[63] ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$ ${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}$

Коммутативность и ассоциативность рационального сложения — простое следствие законов целочисленной арифметики. ^[64] Более строгое и общее обсуждение см. в разделе «Поле дробей» .

Вещественные числа

Сложение π ² /6 и e с использованием дедекиндовых сокращений рациональных чисел.

Распространенной конструкцией множества действительных чисел является дедекиндово пополнение множества рациональных чисел. Действительное число определяется как Дедекиндово сокращение рациональных чисел: непустое множество рациональных чисел, замкнутое вниз и не имеющее наибольшего элемента . Сумма действительных чисел a и b определяется поэлементно:

Определить ^[65] $a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.$

Это определение было впервые опубликовано в несколько измененной форме Ричардом Дедекиндом в 1872 году . ^[66] Коммутативность и ассоциативность действительного сложения очевидны; определяя действительное число 0 как множество отрицательных рациональных чисел, легко увидеть, что оно является аддитивным тождеством. Вероятно, самая сложная часть этой конструкции, связанная со сложением, — это определение аддитивных обратных чисел. ^[67]

Сложение π ² /6 и e с использованием последовательностей Коши рациональных чисел.

К сожалению, умножение дедекиндовых разрезов — трудоемкий процесс, аналогичный сложению целых чисел со знаком. ^[68] Другой подход – метрическое пополнение рациональных чисел. Действительное число по сути определяется как предел последовательности рациональных чисел Коши , lim a _n . Дополнение определяется почленно:

Определить ^[69] $\lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}).$

Это определение было впервые опубликовано Георгом Кантором также в 1872 году, хотя его формализм был несколько иным. ^[70] Необходимо доказать, что эта операция корректно определена, имея дело с ко-последовательностями Коши. Как только эта задача будет выполнена, все свойства вещественного сложения немедленно вытекают из свойств рациональных чисел. Более того, другие арифметические операции, включая умножение, имеют простые и аналогичные определения. ^[71]

Комплексные числа

Комплексные числа складываются путем сложения вещественной и мнимой частей слагаемых. ^[72]^[73] То есть:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

С помощью визуализации комплексных чисел на комплексной плоскости сложение имеет следующую геометрическую интерпретацию: сумма двух комплексных чисел A и B , интерпретируемых как точки комплексной плоскости, представляет собой точку X , полученную при построении параллелограмма , три вершины которого это О , А и В. _ Эквивалентно, X — это точка, в которой треугольники с вершинами O , A , B и X , B , A конгруэнтны .

Обобщения

Существует множество бинарных операций, которые можно рассматривать как обобщение операции сложения действительных чисел. Область абстрактной алгебры в центре внимания таких обобщенных операций, и они также появляются в теории множеств и теории категорий .

Абстрактная алгебра

Векторы

В линейной алгебре векторное пространство — это алгебраическая структура, которая позволяет добавлять любые два вектора и масштабировать векторы. Знакомое векторное пространство — это набор всех упорядоченных пар действительных чисел; упорядоченная пара ( a , b ) интерпретируется как вектор от начала координат в евклидовой плоскости до точки ( a , b ) на плоскости. Сумма двух векторов получается сложением их индивидуальных координат:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).

Эта операция сложения является центральной в классической механике , в которой скорости , ускорения и силы представлены векторами. ^[74]

Матрицы

Сложение матриц определяется для двух матриц одинаковых размеров. Сумма двух матриц A и B размера m × n (произносится как «m на n») , обозначаемых A + B , снова представляет собой матрицу размера m × n , вычисляемую путем сложения соответствующих элементов: ^[75]^[76]

{\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}

Например:

{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}

Модульная арифметика

В модульной арифметике набор доступных чисел ограничен конечным подмножеством целых чисел, и сложение «зацикливается» при достижении определенного значения, называемого модулем. Например, набор целых чисел по модулю 12 состоит из двенадцати элементов; он наследует операцию сложения целых чисел, которая является центральной в теории музыкальных множеств . Набор целых чисел по модулю 2 состоит всего из двух элементов; операция сложения, которую он наследует, известна в булевой логике как функция « исключающее или ». Подобная операция «обтекания» возникает в геометрии , где сумма двух угловых мер часто считается их суммой как действительных чисел по модулю 2π. Это равнозначно операции сложения на окружности , которая, в свою очередь, обобщает операции сложения на многомерных торах .

Общая теория

Общая теория абстрактной алгебры допускает, что операцией «сложения» может быть любая ассоциативная и коммутативная операция на множестве. Основные алгебраические структуры с такой операцией сложения включают коммутативные моноиды и абелевы группы .

Теория множеств и теория категорий

Далеко идущим обобщением сложения натуральных чисел является сложение порядковых и кардинальных чисел в теории множеств. Они дают два различных обобщения сложения натуральных чисел с трансфинитом . В отличие от большинства операций сложения, сложение порядковых чисел не является коммутативным. ^[77] Однако сложение кардинальных чисел представляет собой коммутативную операцию, тесно связанную с операцией непересекающегося объединения .

В теории категорий непересекающееся объединение рассматривается как частный случай операции копроизведения ^[78] , а общие копроизведения являются, пожалуй, наиболее абстрактным из всех обобщений сложения. Некоторые копродукции, такие как прямая сумма и клиновая сумма , названы так, чтобы подчеркнуть их связь со сложением.

Связанные операции

Сложение, наряду с вычитанием, умножением и делением, считается одной из основных операций и используется в элементарной арифметике .

Арифметика

Вычитание можно рассматривать как своего рода сложение, то есть сложение обратного аддитивного числа . Вычитание само по себе является своего рода обратной функцией сложению, поскольку прибавление $x$ и вычитание $x$ являются обратными функциями .

Учитывая набор с операцией сложения, нельзя всегда определить соответствующую операцию вычитания для этого набора; набор натуральных чисел является простым примером. С другой стороны, операция вычитания однозначно определяет операцию сложения, аддитивную обратную операцию и аддитивное тождество; по этой причине аддитивную группу можно описать как множество, замкнутое относительно вычитания. ^[79]

Умножение можно рассматривать как многократное сложение . Если один термин $x$ появляется в сумме n раз, то сумма является произведением n и $x$ . Если n не является натуральным числом , произведение все равно может иметь смысл; например, умножение на -1 дает аддитивное обратное число.

В действительных и комплексных числах сложение и умножение можно заменить экспоненциальной функцией : ^[80]

e^{a+b}=e^{a}e^{b}.

Эта идентичность позволяет выполнять умножение, сверяясь с таблицей логарифмов и вычисляя сложение вручную; он также позволяет выполнять умножение по логарифмической линейке . Формула по-прежнему является хорошим приближением первого порядка в широком контексте групп Ли , где она связывает умножение бесконечно малых элементов группы с добавлением векторов в соответствующей алгебре Ли . ^[81]

Обобщений умножения даже больше, чем сложения. ^[82] В общем, операции умножения всегда распределяются над сложением; это требование формализовано в определении кольца . В некоторых контекстах, таких как целые числа, дистрибутивности по сложению и существования мультипликативного тождества достаточно, чтобы однозначно определить операцию умножения. Распределительное свойство также предоставляет информацию о сложении; расширяя произведение (1 + 1)( a + b ) обоими способами, можно прийти к выводу, что сложение вынуждено быть коммутативным. По этой причине сложение колец, вообще говоря, коммутативно. ^[83]

Деление — арифметическая операция, отдаленно связанная со сложением. Поскольку a / b = a ( b ⁻¹ ) , деление правораспределительно по сложению: ( a + b )/ c = a / c + b / c . ^[84] Однако деление не является распределительным по сравнению с сложением; 1/(2+2) — это не то же самое, что 1/2+1/2 .

Заказ

Логарифмический график x $+$ 1 и max ( $x$ , 1) от $x$ = 0,001 до 1000 ^[85]

Максимальная операция «max ( a , b )» — это бинарная операция, похожая на сложение. В самом деле, если два неотрицательных числа a и b имеют разные порядки , то их сумма примерно равна их максимуму. Это приближение чрезвычайно полезно в математических приложениях, например, при усечении рядов Тейлора . Однако это представляет собой постоянную трудность при численном анализе , поскольку «макс» не является обратимым. Если b намного больше a , то прямое вычисление ( a + b ) − b может привести к накоплению неприемлемой ошибки округления , возможно, даже вернув ноль. См. также Потеря значимости .

Приближение становится точным в своего рода бесконечном пределе; если a или b — бесконечное кардинальное число , их кардинальная сумма в точности равна большему из двух. ^[86] Соответственно, для бесконечных кардиналов не существует операции вычитания. ^[87]

Максимизация коммутативна и ассоциативна, как и сложение. Более того, поскольку сложение сохраняет порядок действительных чисел, сложение распределяется по «max» так же, как умножение распределяется по сложению:

a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).

По этим причинам в тропической геометрии умножение заменяется сложением, а сложение — максимизацией. В этом контексте сложение называется «тропическим умножением», максимизация — «тропическим сложением», а тропическое «аддитивное тождество» — это отрицательная бесконечность . ^[88] Некоторые авторы предпочитают заменять сложение минимизацией; тогда аддитивная идентичность равна положительной бесконечности. ^[89]

Объединяя эти наблюдения, можно сказать, что тропическое сложение приблизительно связано с обычным сложением через логарифм :

\log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),

которая становится более точной по мере увеличения основания логарифма. ^[90] Аппроксимацию можно сделать точным, выделив константу h , названную по аналогии с постоянной Планка из квантовой механики , ^[91] и приняв « классический предел », когда h стремится к нулю:

\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).

В этом смысле операция максимума представляет собой деквантованную версию сложения. ^[92]

Другие способы добавления

Приращение, также известное как операция-преемник , представляет собой добавление 1 к числу.

Суммирование описывает сложение произвольного числа чисел, обычно больше двух. Оно включает в себя идею суммы одного числа, которое есть само по себе, и пустой суммы , которая равна нулю . ^[93] Бесконечное суммирование — это тонкая процедура, известная как ряд . ^[94]

Подсчет конечного набора эквивалентен суммированию 1 по множеству.

Интегрирование — это своего рода «суммирование» по континууму , или, точнее и вообще, по дифференцируемому многообразию . Интегрирование по нульмерному многообразию сводится к суммированию.

Линейные комбинации сочетают в себе умножение и суммирование; они представляют собой суммы, в которых каждое слагаемое имеет множитель, обычно вещественное или комплексное число. Линейные комбинации особенно полезны в контекстах, где прямое сложение нарушает некоторые правила нормализации, например, при смешивании стратегий в теории игр или суперпозиции состояний в квантовой механике . ^[95]

Свертка используется для сложения двух независимых случайных величин , определяемых функциями распределения . Его обычное определение сочетает в себе интегрирование, вычитание и умножение. ^[96] В общем, свертка полезна как своего рода сложение на доменной стороне; напротив, векторное сложение является своего рода сложением на стороне диапазона.

Смотрите также

Лунная арифметика
Счет в уме
Параллельное сложение (математика)
Словесная арифметика (также известная как криптоарифмы), головоломки, связанные со сложением.

Примечания

^ «Добавить» — не латинское слово; на латыни его необходимо спрягать дальше, как в numerus addendus «число, которое нужно добавить».
^ Некоторые авторы считают, что «носить» может быть неприемлемо для образования; Ван де Валле (стр. 211) называет ее «устаревшей и концептуально вводящей в заблуждение», предпочитая слово «торговля». Однако «керри» остается стандартным термином.

Сноски

^ Из Эндертона (стр. 138): «...выберите два набора K и L с карточкой K = 2 и карточкой L = 3. Наборы пальцев удобны; в учебниках предпочтительны наборы яблок».
^ Льюис, Рис (1974). «Арифметика». Техник-математик первого курса. Пэлгрейв, Лондон: The MacMillan Press Ltd., с. 1. дои : 10.1007/978-1-349-02405-6_1. ISBN 978-1-349-02405-6.
^ «Дополнение». www.mathsisfun.com . Проверено 25 августа 2020 г.
^ Дивайн и др. п. 263
^ Мазур, Джозеф. Просветляющие символы: краткая история математической записи и ее скрытых возможностей . Издательство Принстонского университета, 2014. с. 161
^ Министерство армии (1961) Техническое руководство армии TM 11-684: Принципы и приложения математики для электроники связи. Раздел 5.1
^ Аб Шмерко, вице-президент; Янушкевич [Âнушкевич], Светлана Н. [Свитлана Н.]; Лышевский, С.Е. (2009). Компьютерная арифметика для наноэлектроники . ЦРК Пресс . п. 80.
^ аб Шмид, Герман (1974). Десятичные вычисления (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-76180-Х.и Шмид, Герман (1983) [1974]. Десятичные вычисления (перепечатка 1-го изд.). Малабар, Флорида: Издательство Роберта Э. Кригера. ISBN 978-0-89874-318-0.
^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Дополнение». mathworld.wolfram.com . Проверено 25 августа 2020 г.
^ Хош, WL (Ред.). (2010). Британское руководство по числам и измерениям. Издательская группа Розен. п. 38
^ аб Шварцман с. 19
^ Карпински, стр. 56–57, воспроизведено на стр. 56–57. 104
^ Шварцман (стр. 212) приписывает сложение вверх грекам и римлянам , говоря, что это было примерно так же распространено, как и сложение вниз. С другой стороны, Карпинский (стр. 103) пишет, что Леонард Пизанский «вносит новизну в запись суммы над слагаемыми»; неясно, называет ли Карпинский это оригинальным изобретением или просто введением этой практики в Европу.
^ Карпински, стр. 150–153.
^ Каджори, Флориан (1928). «Происхождение и значения знаков + и -». История математических обозначений, Vol. 1. Компания «Открытый суд», Издательство.
^ «Плюс» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
^ См. Viro 2001, где приведен пример сложности сложения с наборами «дробной мощности».
^ При сложении (стр. 73) добавление мерных стержней сравнивается с добавлением наборов кошек: «Например, дюймы можно разделить на части, которые трудно отличить от целого, за исключением того, что они короче; тогда как это болезненно кошек разделить их на части, и это серьёзно меняет их природу».
^ Мосли, Ф (2001). Использование числовых линий с детьми 5–8 лет . Нельсон Торнс. п. 8
^ Ли, Ю., и Лаппан, Г. (2014). Программа по математике в школьном образовании . Спрингер. п. 204
^ Бронштейн, Илья Николаевич; Семендяев, Константин Адольфович (1987) [1945]. «2.4.1.1.». В Гроше, Гюнтер; Зиглер, Виктор; Зиглер, Доротея (ред.). Taschenbuch der Mathematik (на немецком языке). Том. 1. Перевод Циглера Виктора. Вайс, Юрген (23-е изд.). Тун и Франкфурт-на-Майне: Verlag Harri Deutsch (и BG Teubner Verlagsgesellschaft , Лейпциг). стр. 115–120. ISBN 978-3-87144-492-0.
^ Каплан, стр. 69–71.
^ Хемпель, CG (2001). Философия Карла Г. Гемпеля: научные исследования, объяснение и рациональность. п. 7
^ Р. Фиерро (2012) Математика для учителей начальной школы . Cengage Обучение. Раздел 2.3
^ Моебс, Уильям; и другие. (2022). «1.4 Размерный анализ». Университетская физика, том 1. OpenStax . ISBN 978-1-947172-20-3.
^ Винн с. 5
^ Винн с. 15
^ Винн с. 17
^ Винн с. 19
↑ Рандерсон, Джеймс (21 августа 2008 г.). «Слоны любят цифры». Хранитель . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 29 марта 2015 г.
^ Ф. Смит с. 130
^ Карпентер, Томас; Феннема, Элизабет ; Франке, Меган Лоф; Леви, Линда; Эмпсон, Сьюзен (1999). Детская математика: Познавательно-ориентированное обучение . Портсмут, Нью-Хэмпшир: Хайнеманн. ISBN 978-0-325-00137-1.
^ аб Генри, Валери Дж.; Браун, Ричард С. (2008). «Основные факты для первого класса: исследование преподавания и изучения ускоренного стандарта запоминания с высокими требованиями». Журнал исследований в области математического образования . 39 (2): 153–183. дои : 10.2307/30034895 . JSTOR 30034895.
^ Бекманн, С. (2014). Двадцать третье исследование ICMI: изучение начальной математики целых чисел. Международный журнал STEM-образования, 1 (1), 1-8. Чикаго
^ Шмидт В., Хоуанг Р. и Коган Л. (2002). «Последовательный учебный план». Американский педагог , 26 (2), 1–18.
^ abcdefg Фоснот и Долк с. 99
^ «Стратегия вертикального сложения и вычитания». Primarylearning.org . Проверено 20 апреля 2022 г.
^ «Обзоры TERC: исследования чисел, данных и пространства». nychold.com . Проверено 20 апреля 2022 г.
^ Ребекка Вингард-Нельсон (2014) Десятичные дроби и дроби: It's Easy Enslow Publishers, Inc.
^ Дейл Р. Патрик, Стивен В. Фардо, Вигьян Чандра (2008) Основы электронных цифровых систем The Fairmont Press, Inc. 155
^ PE Бейтс Ботман (1837) Арифметика обычной школы . Генри Бентон. п. 31
^ Труитт и Роджерс, стр. 1; 44–49 и стр. 2: 77–78.
^ Ифра, Жорж (2001). Универсальная история вычислений: от счетов до квантового компьютера. Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 978-0-471-39671-0.п. 11
^ Жан Марген, с. 48 (1994); Цитируя Рене Татона (1963)
^ См. Конкурирующие проекты в статье о калькуляторе Паскаля.
^ Флинн и Оверман, стр. 2, 8.
^ Флинн и Оверман, стр. 1–9.
^ Йео, Санг-Су и др., ред. Алгоритмы и архитектуры для параллельной обработки: 10-я Международная конференция ICA3PP 2010, Пусан, Корея, 21–23 мая 2010 г. Слушания. Том. 1. Спрингер, 2010. с. 194
^ Карпински, стр. 102–103.
^ Идентичность дополнения и дополнения зависит от архитектуры. Для ADD в x86 см. Горовиц и Хилл, стр. 679; для ADD в 68k см. стр. 767.
^ Джошуа Блох, «Дополнительно, дополнительно — прочитайте все об этом: почти все двоичные поиски и сортировки слиянием не работают». Архивировано 1 апреля 2016 г. на Wayback Machine . Официальный исследовательский блог Google, 2 июня 2006 г.
^ Нойманн, Питер Г. (2 февраля 1987 г.). «Дайджест рисков, том 4: выпуск 45». Дайджест рисков . 4 (45). Архивировано из оригинала 28 декабря 2014 г. Проверено 30 марта 2015 г.
^ Например, главы 4 и 5 Эндертона следуют этому развитию.
^ Согласно опросу стран с самыми высокими результатами тестов по математике TIMSS; см. Шмидт В., Хоуанг Р. и Коган Л. (2002). Последовательный учебный план . Американский педагог, 26(2), с. 4.
^ Баэз (стр. 37) объясняет историческое развитие, «резко контрастируя» с презентацией теории множеств: «Очевидно, половину яблока легче понять, чем отрицательное яблоко!»
^ Бегл с. 49, Джонсон с. 120, Дивайн и др. п. 75
^ Эндертон с. 79
^ Версию, применимую к любому частичному множеству с условием нисходящей цепи , см. в Bergman p. 100.
^ Эндертон (стр. 79) отмечает: «Но нам нужна одна бинарная операция +, а не все эти маленькие одноместные функции».
^ Феррейрос с. 223
^ К. Смит с. 234, Спаркс и Рис с. 66
^ Эндертон с. 92
^ Ширлет Кэмерон и Кэролин Крейг (2013) Сложение и вычитание дробей, 5–8 классы Mark Twain, Inc.
^ Проверки проводятся в Эндертоне, с. 104 и набросан для общего поля дробей над коммутативным кольцом в Даммите и Футе, с. 263.
^ Эндертон с. 114
^ Феррейрос с. 135; см. раздел 6 книги Stetigkeit und irrationale Zahlen. Архивировано 31 октября 2005 г. в Wayback Machine .
^ Интуитивный подход, инвертирующий каждый элемент разреза и берущий его дополнение, работает только для иррациональных чисел; см. Эндертон с. 117 для получения подробной информации.
^ Шуберт, Э. Томас, Филип Дж. Виндли и Джеймс Алвес-Фосс. «Доказательство теорем логики высшего порядка и его приложения: материалы 8-го международного семинара, том 971». Конспекты лекций по информатике (1995).
^ Конструкции из учебников обычно не столь бесцеремонны с символом «лим»; см. Беррилла (стр. 138) для более тщательного и подробного развития сложения с последовательностями Коши.
^ Феррейрос с. 128
^ Беррилл с. 140
^ Конвей, Джон Б. (1986), Функции одной комплексной переменной I , Springer, ISBN 978-0-387-90328-6
^ Джоши, Капил Д. (1989), Основы дискретной математики , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-470-21152-6
^ Гбур, с. 1
^ Липшуц, С., и Липсон, М. (2001). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума. Эрлангга.
^ Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, SJ (2010). Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
^ Ченг, стр. 124–132.
^ Риль, с. 100
^ Множество по-прежнему должно быть непустым. Даммит и Фут (стр. 48) обсуждают этот критерий, записанный в мультипликативной форме.
^ Рудин с. 178
^ Ли с. 526, предложение 20.9
^ Линдерхольм (стр. 49) замечает: «Под умножением , собственно говоря, математик может подразумевать практически все. Под сложением он может иметь в виду большое разнообразие вещей, но не такое большое разнообразие, как он будет подразумевать под «умножением».
^ Даммит и Фут с. 224. Чтобы этот аргумент работал, нужно все же предположить, что сложение — это групповая операция и что умножение имеет тождество.
^ Пример левой и правой дистрибутивности см. в Loday, особенно p. 15.
^ Сравните рисунок 1 Виро (стр. 2)
^ Эндертон называет это утверждение «Законом поглощения кардинальной арифметики»; это зависит от сравнимости кардиналов и, следовательно, от аксиомы выбора .
^ Эндертон с. 164
^ Михалкин с. 1
^ Акиан и др. п. 4
^ Михалкин с. 2
^ Литвинов и др. п. 3
^ Виро с. 4
^ Мартин с. 49
^ Стюарт с. 8
^ Риффель и Полак, с. 16
^ Гбур, с. 300

дальнейшее чтение

Баруди, Артур; Тииликайнен, Сирпа (2003). Развитие арифметических понятий и навыков. Два взгляда на развитие дополнений. Рутледж. п. 75. ИСБН 0-8058-3155-Х.
Дэвисон, Дэвид М.; Ландау, Марша С.; Маккракен, Лия; Томпсон, Линда (1999). Математика: исследования и приложения (изд. TE). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-435817-8.
Бунт, Лукас, Нью-Хэмпшир; Джонс, Филипп С.; Бедьен, Джек Д. (1976). Исторические корни элементарной математики . Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-389015-0.
Пунен, Бьорн (2010). "Добавление". Бюллетень для девочек . 3 (3–5). ISSN 2151-5743.
Уивер, Дж. Фред (1982). «Сложение и вычитание: когнитивная перспектива». Сложение и вычитание: когнитивная перспектива. Интерпретации числовых операций и символических представлений сложения и вычитания . Тейлор и Фрэнсис. п. 60. ИСБН 0-89859-171-6.