Равенство (математика)

Соотношение, утверждающее, что две величины одинаковы

Знак равенства

В математике равенство — это отношение между двумя величинами или, в более общем смысле, двумя математическими выражениями , утверждающее , что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют один и тот же математический объект . Равенство между A и B записывается как A  =  B и произносится как « A равно B ». В этом равенстве A и B являются членами равенства и различаются, называя их левой стороной или левым членом и правой стороной или правым членом . Два объекта, которые не равны, называются различными .

Такая формула, где x и y — любые выражения, означает, что x и y обозначают или представляют один и тот же объект. ^[1] Например, ${\displaystyle x=y,}$

${\displaystyle 1.5=3/2,}$

являются двумя обозначениями для одного и того же числа. Аналогично, используя обозначение конструктора множеств ,

${\displaystyle \{x\mid x\in \mathbb {Z} {\text{ and }}0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},}$

поскольку два множества имеют одни и те же элементы. (Это равенство вытекает из аксиомы экстенсиональности , которая часто выражается как «два множества, имеющие одни и те же элементы, равны». ^[2] )

Истинность равенства зависит от интерпретации его членов. В приведенных выше примерах равенства истинны, если члены интерпретируются как числа или множества, но ложны, если члены интерпретируются как выражения или последовательности символов.

Тождество , например, означает , что если x заменить любым числом, то два выражения примут одно и то же значение. Это также можно интерпретировать как то, что две стороны знака равенства представляют одну и ту же функцию (равенство функций) или что два выражения обозначают один и тот же многочлен (равенство многочленов). ^{[3] [4]} ${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,}$

Этимология

Слово происходит от латинского aequālis («равный», «подобный», «сравнимый», «подобный»), которое, в свою очередь, происходит от aequus («равный», «уровень», «честный», «справедливый»). ^[5]

Основные свойства

• Рефлексивность : для каждого a имеем a = a .
• Симметрия : для любых a и b , если a = b , то b = a .
• Транзитивность : для любых a , b и c , если a = b и b = c , то a = c . ^{[6] [7]}
• Замена : неформально это означает, что если a = b , то a может заменить b в любом математическом выражении или формуле, не меняя ее смысла.
• Применение операции : для каждых a и b , с некоторой операцией , если a = b , то. ^{[8] [a]} Например: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$
  
  • Даны действительные числа a и b , если a = b , то . (Здесь . Унарная операция ) ${\displaystyle 2a-5=2b-5}$ ${\displaystyle f(x)=2x-5}$
  • Даны действительные числа a и b , если , то . (Здесь, с . Бинарная операция ) ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}/b^{2}=2}$ ${\displaystyle f(x,y)=x/y^{2}}$ ${\displaystyle y=b}$
  • Даны действительные функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle h}$ по некоторой переменной a , если , то . (Здесь . Операция над функциями (т.е. оператор ), называемая производной ) ${\displaystyle g(a)=h(a)}$ ${\textstyle {\frac {d}{da}}g(a)={\frac {d}{da}}h(a)}$ ${\textstyle f(x)={\frac {dx}{da}}}$

Если ограничиться элементами заданного множества , то эти первые три свойства делают равенство отношением эквивалентности на . Фактически, равенство является единственным отношением эквивалентности на , все классы эквивалентности которого являются синглтонами . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Равенство как предикат

В логике предикат — это предложение , которое может иметь некоторые свободные переменные . Равенство — это предикат, который может быть истинным для некоторых значений переменных (если таковые имеются) и ложным для других значений. Более конкретно, равенство — это бинарное отношение (т. е. предикат с двумя аргументами), которое может производить истинностное значение ( истина или ложь ) из своих аргументов. В компьютерном программировании равенство называется выражением с булевым значением , а его вычисление из двух выражений известно как сравнение .

См. также: Реляционный оператор § Равенство

Уравнения

Уравнение — это проблема нахождения значений некоторой переменной, называемой неизвестной , для которой заданное равенство верно. Каждое значение неизвестной , для которого выполняется уравнение, называется решением данного уравнения; также указывается как удовлетворяющее уравнению. Например, уравнение имеет значения и как его единственные решения. Терминология используется аналогично для уравнений с несколькими неизвестными. ^[9] ${\displaystyle x^{2}-6x+5=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=5}$

Уравнение может быть использовано для определения множества. Например, множество всех пар решений уравнения образует единичную окружность в аналитической геометрии ; поэтому это уравнение называется уравнением единичной окружности . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

См. также: Решение уравнений

Идентичности

Тождество — это равенство, которое верно для всех значений его переменных в заданной области. ^[10] Иногда «уравнение» может означать тождество, но чаще всего оно указывает подмножество пространства переменных, которое является подмножеством, где уравнение верно. Примером является истинно для всех действительных чисел . Не существует стандартной нотации, которая отличала бы уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадать соответствующую интерпретацию из семантики выражений и контекста. ^[11] Иногда, но не всегда, тождество записывается с тройной чертой : ^[12] ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$

В логике

В математической логике и математической философии равенство часто описывается с помощью следующих свойств: ^{[13] [14] [15]}

${\displaystyle \forall a(a=a)}$

• Закон тождества : Утверждающий, что каждая вещь тождественна самой себе, без ограничений. То есть, для каждого ,. Это первый из трех исторических законов мышления . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=a}$

${\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}}$^[б]

• Свойство подстановки : Иногда его называют законом Лейбница , обычно утверждает, что если две вещи равны, то любое свойство одной из них должно быть свойством другой. Формально это можно сформулировать так: для каждого a и b и любой формулы (со свободной переменной x ), если, то подразумевает . ${\displaystyle \phi (x),}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \phi (a)}$ ${\displaystyle \phi (b)}$

Например: Для всех действительных чисел a и b , если a = b , то a ≥ 0 влечет b ≥ 0 (здесь, x ≥ 0 ) ${\displaystyle \phi (x)}$

Эти свойства предлагают формальную переинтерпретацию равенства по сравнению с тем, как оно определено в стандартной теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC) или других формальных основах . В ZFC равенство означает только то, что два множества имеют одинаковые элементы. Однако за пределами теории множеств математики не склонны рассматривать свои объекты интереса как множества. Например, многие математики сказали бы, что выражение « » (см. union ) является злоупотреблением обозначениями или бессмысленным. Это более абстрактная структура , которая может быть обоснована в ZFC (то есть обе аксиомы могут быть доказаны в ZFC, а также в большинстве других формальных основ), но она ближе к тому, как большинство математиков используют равенство. ${\displaystyle 1\cup 2}$

Обратите внимание, что здесь говорится: «Равенство подразумевает эти два свойства», а не «Эти свойства определяют равенство»; это сделано намеренно. Это делает это неполной аксиоматизацией равенства. То есть, здесь не говорится, что такое равенство , а только то, чему должно удовлетворять «равенство». Однако две аксиомы в том виде, в котором они сформулированы, по-прежнему в целом полезны, даже как неполная аксиоматизация равенства, поскольку их обычно достаточно для вывода большинства свойств равенства, которые интересуют математиков. ^[16] (См. следующий подраздел)

Если бы эти свойства определяли полную аксиоматизацию равенства, то есть если бы они определяли равенство, то обратное второму утверждению должно быть верным. Обратным свойству Подстановки является тождество неразличимых , которое гласит, что две различные вещи не могут иметь все свои свойства общими. В математике тождество неразличимых обычно отвергается, поскольку неразличимые в математической логике не обязательно запрещены. Равенство множеств в ZFC способно объявить эти неразличимые не равными, но равенство, определяемое исключительно этими свойствами, таковым не является. Таким образом, эти свойства образуют строго более слабое понятие равенства, чем равенство множеств в ZFC. За пределами чистой математики тождество неразличимых вызвало много споров и критики, особенно со стороны корпускулярной философии и квантовой механики . ^[17] Вот почему говорят, что свойства не образуют полную аксиоматизацию.

Однако, за исключением случаев, связанных с неразличимыми величинами, эти свойства, рассматриваемые как аксиомы равенства, эквивалентны равенству, определенному в ZFC.

Иногда их принимают за определение равенства, например, в некоторых областях логики первого порядка . ^[18]

Выводы основных свойств

• Рефлексивность равенства : дано некоторое множество S с отношением R, индуцированным равенством (), предположим. Тогдапо закону тождества, таким образом. ${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$ ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle a=a}$ ${\displaystyle aRa}$

Закон тождества отличается от рефлексивности двумя основными способами: во-первых, закон тождества применяется только к случаям равенства, а во-вторых, он не ограничивается элементами множества. Однако многие математики называют оба «рефлексивностью», что, как правило, безвредно. ^{[19] [c]}

• Симметрия равенства : Для некоторого множества S с отношением R, индуцированным равенством (), предположим, что существуют элементы,такие что. Затем возьмем формулу. Итак, имеем. Посколькупо предположению ипо рефлексивности имеем. ${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$ ${\displaystyle a,b\in S}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle \phi (x):xRa}$ ${\displaystyle (a=b)\implies (aRa\Rightarrow bRa)}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle bRa}$
• Транзитивность равенства : Для некоторого множества S с отношением R, индуцированным равенством (), предположим, что существуют элементы,такие чтои. Затем возьмем формулу. Итак, имеем. Посколькупо симметрии ипо предположению имеем. ${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$ ${\displaystyle a,b,c\in S}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRc}$ ${\displaystyle \phi (x):xRc}$ ${\displaystyle (b=a)\implies (bRc\Rightarrow aRc)}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle bRc}$ ${\displaystyle aRc}$
• Применение функции : Дана некоторая функция , предположим, что есть элементы a и b из ее области определения, такие, что a = b , затем возьмем формулу. Итак, мы имеемПосколькупо предположению ипо рефлексивности, мы имеем, что. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \phi (x):f(a)=f(x)}$
  ${\displaystyle (a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))]}$
  ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(a)}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

Это также иногда включается в аксиомы равенства, но это не обязательно, поскольку может быть выведено из двух других аксиом, как показано выше.

Приблизительное равенство

Существуют некоторые логические системы , которые не имеют никакого понятия равенства. Это отражает неразрешимость равенства двух действительных чисел , определяемых формулами, включающими целые числа , основные арифметические операции , логарифм и показательную функцию . Другими словами, не может существовать никакого алгоритма для решения такого равенства (см. теорему Ричардсона ).

Бинарное отношение « приблизительно равно » (обозначается символом ) между действительными числами или другими вещами, даже если оно определено точнее, не является транзитивным (поскольку множество небольших разностей могут в сумме составить что-то большое). Однако равенство почти везде транзитивно . ${\displaystyle \approx }$

Сомнительное равенство при проверке может быть обозначено с помощью символа . ^[20] ${\displaystyle {\stackrel {?}{=}}}$

Связь с эквивалентностью, конгруэнтностью и изоморфизмом

Рассматриваемое как отношение , равенство является архетипом более общей концепции отношения эквивалентности на множестве: тех бинарных отношений, которые являются рефлексивными , симметричными и транзитивными . Отношение тождества является отношением эквивалентности. Наоборот, пусть R будет отношением эквивалентности, и обозначим через x ^R класс эквивалентности x , состоящий из всех элементов z таких, что x R z . Тогда отношение x R y эквивалентно равенству x ^R  =  y ^R . Отсюда следует, что равенство является самым тонким отношением эквивалентности на любом множестве S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).

В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентности или изоморфизма . ^[21] Например, можно отличить дроби от рациональных чисел , последние являются классами эквивалентности дробей: дроби и различны как дроби (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число (одну и ту же точку на числовой прямой). Это различие порождает понятие фактор- множества . ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 2/4}$

Аналогично, наборы

${\displaystyle \{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}}$и ${\displaystyle \{1,2,3\}}$

не являются равными множествами — первое состоит из букв, а второе — из цифр — но они оба являются множествами из трех элементов и, таким образом, изоморфны, что означает, что между ними существует биекция . Например

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.}$

Однако существуют и другие варианты изоморфизма, такие как

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

и эти множества не могут быть идентифицированы без совершения такого выбора – любое утверждение, которое идентифицирует их, «зависит от выбора идентификации». Это различие, между равенством и изоморфизмом , имеет фундаментальное значение в теории категорий и является одним из мотивов для развития теории категорий.

В некоторых случаях можно считать равными два математических объекта, которые эквивалентны только по свойствам и структуре, которые рассматриваются. Слово конгруэнтность (и связанный с ним символ ) часто используется для этого вида равенства и определяется как фактор-множество классов изоморфизма между объектами. В геометрии , например, две геометрические фигуры считаются равными или конгруэнтными, когда одну из них можно переместить так, чтобы она совпала с другой, а отношение равенства/конгруэнтности является классами изоморфизма изометрий между фигурами. Подобно изоморфизмам множеств, различие между изоморфизмами и равенством/конгруэнтностью между такими математическими объектами со свойствами и структурой было одной из мотиваций для разработки теории категорий , а также для теории гомотопических типов и однозначных оснований . ^{[22] [23] [24]} ${\displaystyle \cong }$

Равенство в теории множеств

Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя различными способами в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.

Установите равенство на основе логики первого порядка с равенством

В логике первого порядка с равенством аксиома экстенсиональности гласит, что два множества, содержащие одни и те же элементы, являются одним и тем же множеством. ^[25]

• Логическая аксиома: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Логическая аксиома: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• Аксиома теории множеств: ${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

Как отметил Леви, включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать просто как вопрос удобства.

«Причина, по которой мы занимаемся исчислением предикатов первого порядка с равенством , заключается в удобстве; тем самым мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; теперь это бремя берет на себя логика». ^[26]

Установите равенство на основе логики первого порядка без равенства

В логике первого порядка без равенства два множества определяются как равные, если они содержат одни и те же элементы. Тогда аксиома экстенсиональности утверждает, что два равных множества содержатся в одних и тех же множествах. ^[27]

• Определение теории множеств: ${\displaystyle (x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Аксиома теории множеств: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

Смотрите также

• Экстенсиональность
• Теория гомотопического типа
• Неравенство
• Список математических символов
• Логическое равенство
• Логическая эквивалентность
• Пропорциональность (математика)

Примечания

1. Россер 2008, стр. 163.
2. Леви 2002, стр. 13, 358. Маклейн и Биркхофф 1999, стр. 2. Мендельсон 1964, стр. 5.
3. Уравнение. Энциклопедия математики Springer. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Уравнение&oldid=32613
4. Пратт, Воган, «Алгебра», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2022 г.), Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман (ред.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
5. "Определение РАВНОГО". Merriam-Webster . Архивировано из оригинала 15 сентября 2020 года . Получено 9 августа 2020 года .
6. Столл, Роберт Р. Теория множеств и логика . Сан-Франциско, Калифорния: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
7. Лилли Гёрке (1974). Mengen – Relationen – Funktionen (4-е изд.). Цюрих: Харри Дойч. ISBN 3-87144-118-X.Здесь: раздел 3.5, стр.103.
8. Аксиомы равенства. Энциклопедия математики Springer. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Аксиомы_равенства&oldid=46837
9. Соболев, СК (создатель). " Уравнение" . Энциклопедия математики . Springer . ISBN 1402006098.
10. Уравнение. Энциклопедия математики Springer. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Уравнение&oldid=32613
11. Маркус, Соломон ; Уотт, Стивен М. «Что такое уравнение?» . Получено 27 февраля 2019 г.
12. "Идентичность – определение математического слова – Math Open Reference". www.mathopenref.com . Получено 1 декабря 2019 г. .
13. Аксиомы равенства. Энциклопедия математики Springer. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Аксиомы_равенства&oldid=46837
14. Дойч, Гарри и Павел Гарбач, «Относительная идентичность», Стэнфордская энциклопедия философии (издание осень 2024 г.), Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман (ред.), предстоящий URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-relative/#StanAccoIden
15. Форрест, Питер, «Идентичность неразличимого», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2020 г.), Эдвард Н. Залта (ред.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-indiscernible/#Form
16. Аксиомы равенства. Энциклопедия математики. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Аксиомы_равенства&oldid=46837
17. Френч, Стивен (2019). «Идентичность и индивидуальность в квантовой теории». Стэнфордская энциклопедия философии . ISSN  1095-5054.
18. Фитинг, М. , Логика первого порядка и автоматическое доказательство теорем (Берлин/Гейдельберг: Springer, 1990), стр. 198–200.
19. Аксиомы равенства. Энциклопедия математики. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Аксиомы_равенства&oldid=46837
20. «Найти все символы Unicode от иероглифов до дингбатов – Unicode Compart».
21. (Мазур 2007)
22. Эйленберг, С.; Маклейн, С. (1942). "Расширения групп и гомологии" . Annals of Mathematics . 43 (4): 757–831. doi :10.2307/1968966. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968966 – через JSTOR .
23. Маркиз, Жан-Пьер (2019). «Теория категорий». Стэнфордская энциклопедия философии . Кафедра философии, Стэнфордский университет . Получено 26 сентября 2022 г.
24. Хофманн, Мартин; Штрейхер, Томас (1998). «Группоидная интерпретация теории типов». В Самбин, Джованни; Смит, Ян М. (ред.). Двадцать пять лет конструктивной теории типов . Oxford Logic Guides. Том 36. Clarendon Press. С. 83–111. ISBN 978-0-19-158903-4. МР  1686862.
25. Kleene 2002, стр. 189. Lévy 2002, стр. 13. Shoenfield 2001, стр. 239.
26. Леви 2002, стр. 4.
27. Мендельсон 1964, стр. 159–161. Россер 2008, стр. 211–213.

1. 𝒇 может иметь любую ( счетную ) арность , но записывается как унарная, чтобы избежать громоздкой записи.
2. Здесь 𝜙 может иметь любую (конечную) арность, однако, она записана как унарная формула, чтобы избежать громоздкой записи.
   Аналогично, должны быть квантификаторы '∀' для a, b и 𝜙, поэтому более формально эта формула будет записана как:
   ∀ a ∀ b (( a = b ) ⇒͏ ∀𝜙[𝜙(..., a ,...) ⇒͏ 𝜙(..., b ,...)])
3. В более общем смысле, само равенство можно формально назвать «рефлексивным отношением». Просто не как отношение внутри ZFC, а как «мета-отношение» внутри некоторой метатеории в математике , которая может быть самой ZFC. Так что можно было бы описать равенство как рефлексивное отношение в некоторой «мета-ZFC», но не «внутренней-ZFC»

Ссылки

• Клини, Стивен Коул (2002) [1967]. Математическая логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7.
• Lévy, Azriel (2002) [1979]. Базовая теория множеств . Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Алгебра (Третье изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• Мазур, Барри (12 июня 2007 г.), Когда одна вещь равна другой? (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2019 г. , извлечено 13 декабря 2009 г.
• Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Нью-Йорк: Van Nostrand Reinhold.
• Россер, Джон Баркли (2008) [1953]. Логика для математиков . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3.
• Шенфилд, Джозеф Роберт (2001) [1967]. Математическая логика (2-е изд.). AK Peters . ISBN 978-1-56881-135-2.