Отношение эквивалентности

Математическая концепция сравнения объектов

52 отношения эквивалентности в наборе из 5 элементов, изображенных в виде логических матриц (цветные поля, в том числе светло- серые , обозначают единицы, белые поля — нули). Индексы строк и столбцов небелых ячеек являются связанными элементами, а разные цвета, кроме светло-серого, обозначают классы эквивалентности (каждая светло-серая ячейка представляет собой собственный класс эквивалентности). ${\displaystyle 5\times 5}$

В математике отношение эквивалентности — это бинарное отношение , которое является рефлексивным , симметричным и транзитивным . Отношение эквивалентности между отрезками линий в геометрии является распространенным примером отношения эквивалентности. Более простой пример — равенство. Любое число равно само себе (рефлексивное). Если , то (симметрично). Если и , то (транзитивно). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle a=c}$

Каждое отношение эквивалентности обеспечивает разбиение базового множества на непересекающиеся классы эквивалентности . Два элемента данного множества эквивалентны друг другу тогда и только тогда, когда они принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.

Обозначения

В литературе используются различные обозначения для обозначения того, что два элемента множества эквивалентны относительно отношения эквивалентности. Наиболее распространенными являются « » и « a ≡ b », которые используются, когда это неявно, и варианты « ». " a ≡ _R b " или " ", чтобы указать явно. Неэквивалентность может быть записана как « a ≁ b » или « ». ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R;}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\sim _{R}b}$ ${\displaystyle {a\mathop {R} b}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\not \equiv b}$

Определение

Бинарное отношение на множестве называется отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. То есть для всех и в ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X:}$

• ${\displaystyle a\sim a}$( рефлексивность ).
• ${\displaystyle a\sim b}$тогда и только тогда, когда ( симметрия ). ${\displaystyle b\sim a}$
• Если и то ( транзитивность ). ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle b\sim c}$ ${\displaystyle a\sim c}$

${\displaystyle X}$вместе с отношением называется сетоидом . Класс эквивалентности ниже обозначенного определяется как ^[1] ​​[ ^2] ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \,\sim ,}$ ${\displaystyle [a],}$ ${\displaystyle [a]=\{x\in X:x\sim a\}.}$

Альтернативное определение с использованием реляционной алгебры

В реляционной алгебре , если и являются отношениями, то составное отношение определяется так, что тогда и только тогда, когда существует такое, что и . ^{[примечание 1]} Это определение является обобщением определения функциональной композиции . Тогда определяющие свойства отношения эквивалентности на множестве можно переформулировать следующим образом: ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle S\subseteq Y\times Z}$ ${\displaystyle SR\subseteq X\times Z}$ ${\displaystyle x\,SR\,z}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\,R\,y}$ ${\displaystyle y\,S\,z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \operatorname {id} \subseteq R}$. ( рефлексивность ). (Здесь обозначает тождественную функцию на .) ${\displaystyle \operatorname {id} }$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle R=R^{-1}}$( симметрия ).
• ${\displaystyle RR\subseteq R}$( транзитивность ). ^[3]

Примеры

Простой пример

На множестве отношение является отношением эквивалентности. Следующие множества являются классами эквивалентности этого отношения: ${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$ ${\displaystyle R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}}$

$${\displaystyle [a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}.}$$

Множество всех классов эквивалентности для есть Это множество является разбиением множества по . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$

Отношения эквивалентности

Следующие отношения являются отношениями эквивалентности:

• «Равно» на множестве чисел. Например, равно ^[2] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{8}}.}$
• «У него один день рождения, как» у всех людей на съемочной площадке.
• « Похож на» на множестве всех треугольников .
• « Соответствует » на множестве всех треугольников .
• Учитывая натуральное число , «конгруэнтно по модулю » целых чисел . ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Учитывая функцию , «имеет то же изображение , что и» на элементах домена . Например, и иметь одно и то же изображение под , а именно. . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle 0}$
• «Имеет то же абсолютное значение, что и» на множестве действительных чисел
• «Имеет тот же косинус, что и» на наборе всех углов.

Отношения, не являющиеся эквивалентностями

• Отношение «≥» между действительными числами рефлексивно и транзитивно, но не симметрично. Например, 7 ≥ 5, но не 5 ≥ 7.
• Отношение «имеет общий множитель больше 1 с» между натуральными числами больше 1 является рефлексивным и симметричным, но не транзитивным. Например, натуральные числа 2 и 6 имеют общий делитель больше 1, а 6 и 3 имеют общий делитель больше 1, но у 2 и 3 нет общего делителя больше 1.
• Пустое отношение R (определенное так, что aRb никогда не бывает истинным) на множестве X пусто симметрично и транзитивно; однако он не рефлексивен (если только X сам не пуст).
• Отношение «приблизительно равно» между действительными числами, даже если оно определено более точно, не является отношением эквивалентности, поскольку, хотя оно и рефлексивно и симметрично, оно не является транзитивным, поскольку множество небольших изменений могут накапливаться и превращаться в большое изменение. Однако если приближение определяется асимптотически, например, говоря, что две функции f и g приблизительно равны вблизи некоторой точки, если предел f - g равен 0 в этой точке, то это определяет отношение эквивалентности.

Связи с другими отношениями

• Частичный порядок — это отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
• Равенство — это одновременно отношение эквивалентности и частичный порядок. Равенство также является единственным отношением во множестве, которое является рефлексивным, симметричным и антисимметричным. В алгебраических выражениях равные переменные могут заменяться друг другом, что недоступно для переменных, связанных с эквивалентностью. Классы эквивалентности отношения эквивалентности могут заменять друг друга, но не отдельные лица внутри класса.
• Строгий частичный порядок иррефлексивен, транзитивен и асимметричен .
• Отношение частичной эквивалентности транзитивно и симметрично. Такое отношение рефлексивно тогда и только тогда , когда оно тотально , то есть если для всех существует некоторое ^{[доказательство 1]} . Следовательно, отношение эквивалентности можно альтернативно определить как симметричное, транзитивное и тотальное отношение. ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b{\text{ such that }}a\sim b.}$
• Троичное отношение эквивалентности является тройным аналогом обычного (бинарного) отношения эквивалентности.
• Рефлексивное и симметричное отношение является отношением зависимости (если конечное) и отношением толерантности , если оно бесконечное.
• Предзаказ рефлексивен и транзитивен .
• Отношение конгруэнции — это отношение эквивалентности, областью действия которого также является базовое множество для алгебраической структуры и которое учитывает дополнительную структуру. В общем случае отношения конгруэнтности играют роль ядер гомоморфизмов, и может быть образован фактор структуры по отношению конгруэнтности. Во многих важных случаях отношения конгруэнтности имеют альтернативное представление в виде подструктур структуры, в которой они определены (например, отношения конгруэнтности на группах соответствуют нормальным подгруппам ). ${\displaystyle X}$
• Любое отношение эквивалентности является отрицанием отношения обособленности , хотя обратное утверждение справедливо только в классической математике (в отличие от конструктивной математики ), поскольку оно эквивалентно закону исключенного третьего .
• Каждое отношение, одновременно рефлексивное и левое (или правое) евклидово , также является отношением эквивалентности.

Корректность по отношению эквивалентности

Если является отношением эквивалентности и является свойством таких элементов , что всякий раз, когда истинно, если истинно, то свойство называется корректным или классовым, инвариантным относительно отношения ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\sim y,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\sim .}$

Частый частный случай возникает, когда функция из другого множества, если следует , тогда называется морфизмом для класса , инвариантного или просто инвариантного относительно . Это происходит, например, в теории характеров конечных групп. Последний случай с функцией можно выразить коммутативным треугольником. См. также инвариант . Некоторые авторы используют «совместимый с » или просто «уважает » вместо «инвариантный относительно ». ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim ,}$ ${\displaystyle \,\sim ,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim }$ ${\displaystyle \,\sim }$ ${\displaystyle \,\sim }$

В более общем смысле, функция может отображать эквивалентные аргументы (в соответствии с отношением эквивалентности ) в эквивалентные значения (в соответствии с отношением эквивалентности ). Такая функция известна как морфизм от до ${\displaystyle \,\sim _{A}}$ ${\displaystyle \,\sim _{B}}$ ${\displaystyle \,\sim _{A}}$ ${\displaystyle \,\sim _{B}.}$

Связанные важные определения

Пусть , и – отношение эквивалентности. Ниже приведены некоторые ключевые определения и терминология: ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle \sim }$

Класс эквивалентности

Подмножество такого множества , которое справедливо для всех и внутри и никогда для внутри и снаружи , называется классом эквивалентности by . Пусть обозначает класс эквивалентности, к которому принадлежит. Все элементы, эквивалентные друг другу, являются также элементами одного и того же класса эквивалентности. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle [a]:=\{x\in X:a\sim x\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$

Набор коэффициентов

Набор всех обозначенных классов эквивалентности является фактормножеством by. Если является топологическим пространством , существует естественный способ преобразования в топологическое пространство; подробности см. в разделе « Частное пространство» . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim ,}$ ${\displaystyle X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]:x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/\sim }$

Проекция

Проекция - это функция , определенная с помощью которой отображает элементы в соответствующие классы эквивалентности с помощью ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/{\mathord {\sim }}}$ ${\displaystyle \pi (x)=[x]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\sim .}$

Теорема о проекциях : ^[4] Пусть функция такова, что if then Тогда существует единственная функция такая, что If является сюръекцией , а затем является биекцией . ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b).}$ ${\displaystyle g:X/\sim \to B}$ ${\displaystyle f=g\pi .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a\sim b{\text{ if and only if }}f(a)=f(b),}$ ${\displaystyle g}$

Ядро эквивалентности

Ядро эквивалентности функции — это отношение эквивалентности ~, определяемое формулой Ядро эквивалентности инъекции — это тождественное отношение . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\sim y{\text{ if and only if }}f(x)=f(y).}$

Раздел

Разделение X — это множество P непустых подмножеств X , такое , что каждый элемент X является элементом одного элемента P. Каждый элемент P является ячейкой разбиения. Более того, элементы P попарно не пересекаются и их объединение есть X .

Подсчет разделов

Пусть X — конечное множество из n элементов. Поскольку каждое отношение эквивалентности над X соответствует разбиению X и наоборот, количество отношений эквивалентности на X равно количеству различных разбиений X , что является n- м числом Белла B _n :

$${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}\quad }$$

( формула Добинского ).

Основная теорема об отношениях эквивалентности

Ключевой результат связывает отношения эквивалентности и разбиения: ^{[5] [6] [7]}

• Отношение эквивалентности ~ на множестве X разбиений X .
• И наоборот, любому разбиению X соответствует отношение эквивалентности ~ на X.

В обоих случаях ячейки разбиения X являются классами эквивалентности X по ~. Поскольку каждый элемент X принадлежит уникальной ячейке любого разбиения X и поскольку каждая ячейка разбиения идентична классу эквивалентности X по ~, каждый элемент X принадлежит уникальному классу эквивалентности X по ~. Таким образом, существует естественная биекция между множеством всех отношений эквивалентности на X и множеством всех разбиений X .

Сравнение отношений эквивалентности

Если и являются двумя отношениями эквивалентности на одном и том же множестве и подразумевает для всех , то говорят, что это более грубое отношение, чем , и более тонкое отношение, чем . Эквивалентно, ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a\approx b}$ ${\displaystyle a,b\in S,}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$

• ${\displaystyle \sim }$тоньше, чем если бы каждый класс эквивалентности был подмножеством класса эквивалентности и, таким образом, каждый класс эквивалентности был бы объединением классов эквивалентности . ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$
• ${\displaystyle \sim }$лучше, чем если бы раздел, созданный пользователем, был усовершенствованной версией раздела, созданного пользователем . ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$

Отношение равенства-эквивалентности — самое тонкое отношение эквивалентности на любом множестве, тогда как универсальное отношение, связывающее все пары элементов, — самое грубое.

Отношение « тоньше, чем » в совокупности всех отношений эквивалентности на фиксированном множестве само по себе является отношением частичного порядка, что делает совокупность геометрической решеткой . ^[8] ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$

Генерация отношений эквивалентности

• Для любого множества отношение эквивалентности над множеством всех функций можно получить следующим образом. Две функции считаются эквивалентными, если их соответствующие наборы фиксированных точек имеют одинаковую мощность , что соответствует циклам длины один в перестановке . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [X\to X]}$ ${\displaystyle X\to X}$
• Отношение эквивалентности на является ядром эквивалентности его сюръективной проекции ^[9] . И наоборот, любая сюръекция между множествами определяет разбиение в своей области определения, множество прообразов одиночных элементов в кодомене . Таким образом, отношение эквивалентности над разбиением и проекция, областью действия которой является три эквивалентных способа определения одного и того же. ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/\sim .}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$
• Пересечение любого набора отношений эквивалентности над X (бинарные отношения, рассматриваемые как подмножество ) также является отношением эквивалентности. Это дает удобный способ создания отношения эквивалентности: для любого бинарного отношения R на X отношение эквивалентности, порожденное R , является пересечением всех отношений эквивалентности, содержащих R (также известное как наименьшее отношение эквивалентности, содержащее R ). Конкретно, R порождает отношение эквивалентности ${\displaystyle X\times X}$

${\displaystyle a\sim b}$если существует натуральное число и элементы такие , что , и или , для ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle a=x_{0}}$ ${\displaystyle b=x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i-1}\mathrel {R} x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}\mathrel {R} x_{i-1}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Отношение эквивалентности, созданное таким образом, может быть тривиальным. Например, отношение эквивалентности, порожденное любым полным порядком на X , имеет ровно один класс эквивалентности — сам X.

• Отношения эквивалентности могут создавать новые пространства путем «склеивания вещей». Пусть X — единичный декартов квадрат и пусть ~ — отношение эквивалентности на X , определенное формулой для всех и для всех . Тогда факторпространство можно естественным образом отождествить ( гомеоморфизм ) с тором : возьмите квадратный лист бумаги, согните и склейте его. верхний и нижний край, чтобы сформировать цилиндр, затем согните получившийся цилиндр так, чтобы склеить два его открытых конца, в результате чего получился тор. ${\displaystyle [0,1]\times [0,1],}$ ${\displaystyle (a,0)\sim (a,1)}$ ${\displaystyle a\in [0,1]}$ ${\displaystyle (0,b)\sim (1,b)}$ ${\displaystyle b\in [0,1],}$ ${\displaystyle X/\sim }$

Алгебраическая структура

Большая часть математики основана на изучении эквивалентностей и отношений порядка . Теория решеток отражает математическую структуру отношений порядка. Хотя отношения эквивалентности так же широко распространены в математике, как и отношения порядка, алгебраическая структура эквивалентностей не так хорошо известна, как структура порядков. Первая структура опирается главным образом на теорию групп и, в меньшей степени, на теорию решеток, категорий и группоидов .

Теория групп

Точно так же, как отношения порядка основаны на упорядоченных множествах , множествах, замкнутых относительно попарной верхней и нижней границ , отношения эквивалентности основаны на разделенных множествах , которые представляют собой множества, замкнутые относительно биекций , сохраняющих структуру разбиения. Поскольку все такие биекции отображают класс эквивалентности на себя, такие биекции также известны как перестановки . Следовательно, группы перестановок (также известные как группы преобразований ) и связанное с ними понятие орбиты проливают свет на математическую структуру отношений эквивалентности.

Пусть '~' обозначает отношение эквивалентности над некоторым непустым множеством A , называемым вселенной или базовым множеством. Пусть G обозначает множество биективных функций над A , которые сохраняют структуру разбиения A , а это означает, что для всех и Тогда справедливы следующие три связные теоремы: ^[10] ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle g\in G,g(x)\in [x].}$

• ~ разбивает A на классы эквивалентности. (Это Фундаментальная теорема отношений эквивалентности , упомянутая выше);
• Учитывая разбиение A , G представляет собой группу преобразований в составе, орбиты которой являются ячейками разбиения; ^[14]
• Для данной группы преобразований G над A существует отношение эквивалентности ~ над A , классы эквивалентности которого являются орбитами группы G. ^{[15] [16]}

В общем, для данного отношения эквивалентности ~ над A существует группа преобразований G над A , орбиты которой являются классами эквивалентности A относительно ~.

Эта характеристика отношений эквивалентности группой преобразований фундаментально отличается от того, как решетки характеризуют отношения порядка. Аргументы операций теории решетки встречаются и соединяются — это элементы некоторой вселенной A. При этом аргументы групповых операций композиции и обратных преобразований являются элементами множества биекций , A → A.

Переходя к группам вообще, пусть H — подгруппа некоторой группы G . Пусть ~ — такое отношение эквивалентности на G , что Классы эквивалентности ~ — также называемые орбитами действия H на G — являются правыми смежными классами H в G. Меняя местами a и b , получаем левые смежные классы. ${\displaystyle a\sim b{\text{ if and only if }}ab^{-1}\in H.}$

Соответствующее мышление можно найти у Розена (2008: глава 10).

Категории и группоиды

Пусть G — множество и пусть «~» обозначает отношение эквивалентности над G. Тогда мы можем сформировать группоид , представляющий это отношение эквивалентности, следующим образом. Объекты являются элементами G , и для любых двух элементов x и y из G существует уникальный морфизм от x до y тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\sim y.}$

Преимущества рассмотрения отношения эквивалентности как частного случая группоида включают:

• Хотя понятия «свободного отношения эквивалентности» не существует, существует понятие свободного группоида на ориентированном графе . Таким образом, имеет смысл говорить о «представлении отношения эквивалентности», т. е. о представлении соответствующего группоида;
• Связки групп, групповые действия , множества и отношения эквивалентности можно рассматривать как частные случаи понятия группоида, и эта точка зрения предполагает ряд аналогий;
• Во многих контекстах важно «факторирование» и, следовательно, соответствующие отношения эквивалентности, часто называемые сравнениями . Это приводит к понятию внутреннего группоида в категории . ^[17]

Решетки

Отношения эквивалентности на любом множестве X , упорядоченные по включению множества , образуют полную решетку , по соглашению называемую Con X. Каноническое отображение ker  : X ^ X → Con X связывает моноид X ^ X всех функций на X и Con X. _ ker сюръективен , но не инъективен . Менее формально, отношение эквивалентности ker на X переводит каждую функцию f  : X → X в ее ядро ​​ker f . Аналогично, ker(ker) является отношением эквивалентности на X ^ X .

Отношения эквивалентности и математическая логика

Отношения эквивалентности являются готовым источником примеров или контрпримеров. Например, отношение эквивалентности ровно с двумя бесконечными классами эквивалентности является простым примером теории, которая является ω- категоричной , но не категоричной для любого большего кардинального числа .

Следствием теории моделей является то, что свойства, определяющие отношение, могут быть доказаны независимо друг от друга (и, следовательно, от необходимых частей определения) тогда и только тогда, когда для каждого свойства можно найти примеры отношений, не удовлетворяющих данному свойству, но удовлетворяющих данному свойству. все остальные свойства. Следовательно, три определяющих свойства отношений эквивалентности могут быть доказаны взаимно независимыми на следующих трех примерах:

• Рефлексивное и транзитивное : Отношение ≤ на N. Или любой предзаказ ;
• Симметричное и транзитивное : отношение R на N , определенное как aRb ↔ ab ≠ 0. Или любое частичное отношение эквивалентности ;
• Рефлексивное и симметричное : отношение R к Z , определяемое как aRb ↔ « a − b делится хотя бы на одно из 2 или 3». Или любое отношение зависимости .

Свойства, определяемые в логике первого порядка , которыми может обладать или не обладать отношение эквивалентности, включают:

• Число классов эквивалентности конечно или бесконечно;
• Число классов эквивалентности равно (конечному) натуральному числу n ;
• Все классы эквивалентности имеют бесконечную мощность ;
• Количество элементов в каждом классе эквивалентности — это натуральное число n .

Смотрите также

• Отношение борелевской эквивалентности
• Кластерный граф  - граф, составленный из непересекающегося объединения полных графов.
• Класс сопряженности  - в теории групп класс эквивалентности по отношению сопряжения.
• Равновесие (геометрия)  - свойство параллельных сегментов, имеющих одинаковую длину и одинаковое направление.
• Гиперконечное отношение эквивалентности
• Фактор по отношению эквивалентности  - Обобщение классов эквивалентности в теорию схем
• Топологическая сопряженность
• До  – математическое утверждение уникальности, за исключением эквивалентной структуры (отношения эквивалентности).

Примечания

1. Иногда вместо этого композиция пишется как или как ; в обоих случаях это первое применяемое соотношение. Подробнее читайте в статье Состав отношений . ${\displaystyle SR\subseteq X\times Z}$ ${\displaystyle R;S}$ ${\displaystyle RS}$ ${\displaystyle R}$

1. Если: Учитывая , пусть сохраняется с использованием тотальности, то по симметрии, следовательно, по транзитивности. — Только если: Дано выбирать, то путем рефлексивности. ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle b\sim a}$ ${\displaystyle a\sim a}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b=a,}$ ${\displaystyle a\sim b}$

1. Вайсштейн, Эрик В. «Класс эквивалентности». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 г.
2. «7.3: Классы эквивалентности». Математика LibreTexts . 20 сентября 2017 г. Проверено 30 августа 2020 г.
3. Халмос, Пол Ричард (1914). Наивная теория множеств . Нью-Йорк: Спрингер. п. 41. ИСБН 978-0-387-90104-6.
4. Гаррет Биркгофф и Сондерс Мак Лейн , 1999 (1967). Алгебра , 3-е изд. п. 35, Чел. 19. Челси.
5. Уоллес, DAR, 1998. Группы, кольца и поля . п. 31, Чел. 8. Шпрингер-Верлаг.
6. Даммит, Д.С., и Фут, Р.М., 2004. Абстрактная алгебра , 3-е изд. п. 3, положение 2. Джон Уайли и сыновья.
7. Карел Хрбачек и Томас Йех (1999) Введение в теорию множеств , 3-е издание, страницы 29–32, Марсель Деккер
8. Биркгоф, Гарретт (1995), Теория решетки , Публикации коллоквиума, том. 25 (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN. 9780821810255. Секта. IV.9, Теорема 12, стр. 95
9. Гаррет Биркгофф и Сондерс Мак Лейн , 1999 (1967). Алгебра , 3-е изд. п. 33, Чел. 18. Челси.
10. Розен (2008), стр. 243–45. Менее ясен §10.3 Баса ван Фраассена , 1989. Законы и симметрия . Оксфордский университет. Нажимать.
11. Бас ван Фраассен, 1989. Законы и симметрия . Оксфордский университет. Пресса: 246.
12. Уоллес, DAR, 1998. Группы, кольца и поля . Шпрингер-Верлаг: 22, Четверг. 6.
13. Уоллес, DAR, 1998. Группы, кольца и поля . Шпрингер-Верлаг: 24, Четверг. 7.
14. Доказательство . ^[11] Пусть композиция функций интерпретирует групповое умножение, а обратная функция интерпретирует инверсию группы. Тогда G является композиционной группой, что означает, что и поскольку G удовлетворяет следующим четырем условиям: ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle g\in G,[g(x)]=[x],}$
    • G замкнут по составу . Композиция любых двух элементов G существует, потому что областью определения и кодоменом любого элемента G является A . Более того, композиция биекций биективна ; ^[12]
    • Существование функции идентичности . Тождественная функция I ( x ) = x является очевидным элементом G ;
    • Существование обратной функции . Каждая биективная функция g имеет обратную g ⁻¹ такую, что gg ⁻¹ = I ;
    • Соратники по композиции . ж ( gh ) знак равно ( fg ) час . Это справедливо для всех функций во всех областях. ^[13]
    Пусть f и g — любые два элемента G . В силу определения G , [ g ( f ( x ))] = [ f ( x )] и [ f ( x )] = [ x ], так что [ g ( f ( x ))] = [ x ]. Следовательно, G также является группой преобразований (и группой автоморфизмов ), поскольку композиция функций сохраняет разделение ${\displaystyle A.\blacksquare }$
15. Уоллес, DAR, 1998. Группы, кольца и поля . Шпрингер-Верлаг: 202, Th. 6.
16. Даммит, Д.С., и Фут, Р.М., 2004. Абстрактная алгебра , 3-е изд. Джон Уайли и сыновья: 114, предложение 2.
17. Борсо, Ф. и Джанелидзе, Г., 2001. Теории Галуа , Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8 

Рекомендации

• Браун, Рональд, 2006. Топология и группоиды. ООО "Буксердж". ISBN 1-4196-2722-8 . 
• Кастеллани, Э., 2003, «Симметрия и эквивалентность» в книге Брэдинг, Кэтрин и Э. Кастеллани, ред., « Симметрии в физике: философские размышления ». Кембриджский университет. Пресса: 422–433.
• Роберт Дилворт и Кроули, Питер, 1973. Алгебраическая теория решеток . Прентис Холл. Глава. 12 обсуждает, как отношения эквивалентности возникают в теории решеток .
• Хиггинс, П.Дж., 1971. Категории и группоиды. Ван Ностранд. Доступно для скачивания с 2005 года в виде переиздания TAC.
• Джон Рэндольф Лукас , 1973. Трактат о времени и пространстве . Лондон: Метуэн. Раздел 31.
• Розен, Джозеф (2008) Правила симметрии: как наука и природа основаны на симметрии . Спрингер-Верлаг. В основном главы. 9,10.
• Раймонд Уайлдер (1965) Введение в основы математики , 2-е издание, главы 2–8: Аксиомы, определяющие эквивалентность, стр. 48–50, John Wiley & Sons .

Внешние ссылки

• «Отношение эквивалентности», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Богомольный А. «Отношения эквивалентности » . По состоянию на 1 сентября 2009 г.
• Отношение эквивалентности в PlanetMath
• Последовательность OEIS A231428 (двоичные матрицы, представляющие отношения эквивалентности)