Симметричное отношение

Тип бинарного отношения

Симметричное отношение — это тип бинарного отношения . Формально бинарное отношение R над множеством X является симметричным, если: ^[1]

${\displaystyle \forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa),}$

где обозначение aRb означает, что ( a , b ) ∈ R.

Примером может служить отношение «равно», поскольку если a = b истинно, то b = a также истинно. Если R ^T представляет собой обратное R , то R симметрично тогда и только тогда, когда R = R ^T . ^[2]

Симметрия, наряду с рефлексивностью и транзитивностью , являются тремя определяющими свойствами отношения эквивалентности . ^[1]

Примеры

В математике

• «равно» ( равенство ) (тогда как «меньше» не является симметричным)
• « сравнимо с» для элементов частично упорядоченного множества
• "... и ... странные":

Вне математики

• «состоит в браке с» (в большинстве правовых систем)
• "является полностью биологическим братом"
• "является омофоном "
• "является коллегой"
• "является товарищем по команде"

Отношение к асимметричным и антисимметричным отношениям

Симметричные и антисимметричные отношения

По определению непустое отношение не может быть одновременно симметричным и асимметричным (где если a связано с b , то b не может быть связано с a (таким же образом)). Однако отношение не может быть ни симметричным, ни асимметричным, что имеет место для «меньше или равно» и «охотится на»).

Симметрия и антисимметрия (где a может быть связана с b, а b может быть связана с a, только если a = b ) на самом деле независимы друг от друга, как показывают эти примеры.

Характеристики

• Симметричное и транзитивное отношение всегда квазирефлексивно . ^[a]
• Один из способов подсчета симметричных отношений на n элементах заключается в том, что в их двоичном матричном представлении верхний правый треугольник полностью определяет отношение, и оно может быть задано произвольно, таким образом, существует столько симметричных отношений, сколько n × n двоичных верхних треугольных матриц, 2 ^{n ( n +1)/2} . ^[3]

Обратите внимание, что S ( n , k ) относится к числам Стирлинга второго рода .

Примечания

1. Если xRy , то yRx по симметрии, следовательно, xRx по транзитивности. Доказательство xRy ⇒ yRy аналогично.

Ссылки

1. Biggs, Norman L. (2002). Дискретная математика . Oxford University Press. стр. 57. ISBN 978-0-19-871369-2.
2. "MAD3105 1.2". Факультет математики Университета штата Флорида . Университет штата Флорида . Получено 30 марта 2024 г.
3. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A006125". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

Смотрите также

• Свойство коммутативности  – Свойство некоторых математических операций
• Симметрия в математике
• Симметрия  – Математическая инвариантность относительно преобразований