Симметрия в математике

Корневая система исключительной группы Ли E 8 . Группы Ли обладают множеством симметрий.

Симметрия встречается не только в геометрии , но и в других разделах математики. Симметрия — это тип инвариантности : свойство математического объекта оставаться неизменным при выполнении ряда операций или преобразований . ^[1]

Для любого структурированного объекта X симметрия — это отображение объекта на самого себя, сохраняющее структуру. Это может произойти по-разному; например, если X — набор без дополнительной структуры, симметрия — это биективное отображение набора в себя, приводящее к появлению групп перестановок . Если объект X представляет собой набор точек на плоскости со своей метрической структурой или в любом другом метрическом пространстве , симметрия — это биекция набора самому себе, которая сохраняет расстояние между каждой парой точек (т. е. изометрия ).

В общем, каждый вид структуры в математике будет иметь свой собственный вид симметрии, многие из которых перечислены в упомянутых выше пунктах.

Симметрия в геометрии

Типы симметрии, рассматриваемые в базовой геометрии, включают отражательную симметрию , симметрию вращения , трансляционную симметрию и симметрию скользящего отражения , которые более полно описаны в основной статье Симметрия (геометрия) .

Симметрия в исчислении

Четные и нечетные функции

Четные функции

ƒ ( x ) = x ² является примером четной функции. ^[2]

Пусть f ( x ) — действительная функция действительной переменной, тогда f четна , если для всех x и -x в области определения f выполняется следующее уравнение :

${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

С геометрической точки зрения грань графика четной функции симметрична относительно оси y , что означает, что ее график остается неизменным после отражения относительно оси y . Примеры четных функций включают | х | , x ² , x ⁴ , cos ( x ) и ch ( x ).

Нечетные функции

ƒ ( x ) = x ³ — пример нечетной функции.

Опять же, пусть f — действительная функция действительной переменной, тогда f является нечетным , если для всех x и -x в области определения f выполняется следующее уравнение :

${\displaystyle -f(x)=f(-x)}$

То есть,

${\displaystyle f(x)+f(-x)=0\,.}$

Геометрически график нечетной функции обладает вращательной симметрией относительно начала координат , что означает, что ее график остается неизменным после поворота на 180 градусов вокруг начала координат. Примерами нечетных функций являются x , x3 , sin ( ^x ) , sinh ( x ) и erf ( x ).

Интеграция

Интеграл от нечетной функции от − A до + A равен нулю при условии, что A конечна и функция интегрируема (например, не имеет вертикальных асимптот между − A и A ). ^[3]

Интеграл четной функции от − A до + A в два раза больше интеграла от 0 до + A при условии, что A конечна и функция интегрируема (например, не имеет вертикальных асимптот между − A и A ). ^[3] Это также верно, когда A бесконечно, но только если интеграл сходится.

Ряд

• Ряд Маклорена по четной функции включает только четные степени.
• Ряд Маклорена нечетной функции включает только нечетные степени.
• Ряд Фурье периодической четной функции включает только косинусоидальные члены.
• Ряд Фурье периодической нечетной функции включает только синусоидальные члены.

Симметрия в линейной алгебре

Симметрия в матрицах

В линейной алгебре симметричная матрица — это квадратная матрица , равная ее транспонированной (т. е. инвариантная относительно транспонирования матрицы). Формально матрица A симметрична, если

${\displaystyle A=A^{T}.}$

По определению равенства матриц, которое требует, чтобы элементы во всех соответствующих позициях были равны, равные матрицы должны иметь одинаковые размеры (поскольку матрицы разных размеров или форм не могут быть равными). Следовательно, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали . Итак, если записи записаны как A = ( a _ij ), то a _ij = a _ji для всех индексов i и j .

Например, следующая матрица 3×3 является симметричной:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}$

Каждая квадратная диагональная матрица симметрична, поскольку все недиагональные элементы равны нулю. Точно так же каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый из них является отрицательным.

В линейной алгебре действительная симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор над вещественным пространством внутреннего произведения . Соответствующим объектом для комплексного пространства внутреннего продукта является эрмитова матрица с комплекснозначными элементами, которая равна ее сопряженному транспонированию . Поэтому в линейной алгебре комплексных чисел часто предполагается, что симметричная матрица относится к той, которая имеет элементы с действительными значениями. Симметричные матрицы естественным образом появляются во множестве приложений, и типичное программное обеспечение для численной линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

Симметрия в абстрактной алгебре

Симметричные группы

Симметричная группа S _n (на конечном наборе из n символов) — это группа , элементами которой являются все перестановки n символов, а групповая операция которой представляет собой композицию таких перестановок, которые рассматриваются как биективные функции из набора символов. самому себе. ^[4] Поскольку существует n ! ( n факториал ) возможных перестановок набора из n символов, отсюда следует, что порядок (т. е. количество элементов) симметрической группы S _n равен n !.

Симметричные полиномы

Симметричный полином — это полином P ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) от n переменных, такой, что если любую из переменных поменять местами, получается тот же полином. Формально P является симметричным полиномом , если для любой перестановки σ индексов 1, 2, ..., n имеет место P ( X _σ(1) , X _σ(2) , ..., X _{σ( n )} ) знак равно  п ( Икс ₁ , Икс ₂ , ..., Икс _п ).

Симметричные многочлены естественным образом возникают при изучении связи между корнями многочлена от одной переменной и его коэффициентами, поскольку коэффициенты могут быть заданы полиномиальными выражениями в корнях, и все корни играют в этом случае одинаковую роль. С этой точки зрения элементарные симметричные полиномы являются наиболее фундаментальными симметричными полиномами. Теорема утверждает, что любой симметричный многочлен может быть выражен через элементарные симметричные многочлены, что означает, что каждое симметричное полиномиальное выражение в корнях монического многочлена может альтернативно быть задано как полиномиальное выражение в коэффициентах многочлена.

Примеры

В двух переменных X ₁ и X ₂ имеются симметричные полиномы, такие как:

• ${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$
• ${\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}$

а в трех переменных X ₁ , X ₂ и X ₃ в качестве симметричного многочлена имеем:

• ${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}\,}$

Симметричные тензоры

В математике симметричный тензор — это тензор , который инвариантен при перестановке своих векторных аргументов:

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})}$

для каждой перестановки σ символов {1,2,..., r }. Альтернативно, симметричный тензор r- ^го порядка, представленный в координатах как величина с r индексами, удовлетворяет условию

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.}$

Пространство симметричных тензоров ранга r на конечномерном векторном пространстве естественным образом изоморфно двойственному пространству однородных многочленов степени r на V . Над полями нулевой характеристики градуированное векторное пространство всех симметричных тензоров естественным образом отождествляется с симметрической алгеброй на V. Родственной концепцией является понятие антисимметричного тензора или знакопеременной формы . Симметричные тензоры широко встречаются в технике , физике и математике .

Теория Галуа

Для полинома некоторые корни могут быть связаны различными алгебраическими уравнениями . Например, может оказаться, что для двух корней, скажем A и B , A ² + 5 B ³ = 7 . Центральная идея теории Галуа состоит в том, чтобы рассмотреть такие перестановки (или перестановки) корней, обладающие свойством, что любое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют корни, все еще выполняется после того, как корни были переставлены. Важным условием является то, что мы ограничимся алгебраическими уравнениями, коэффициентами которых являются рациональные числа . Таким образом, теория Галуа изучает симметрии, присущие алгебраическим уравнениям.

Автоморфизмы алгебраических объектов

В абстрактной алгебре автоморфизм — это изоморфизм математического объекта самому себе. В каком-то смысле это симметрия объекта и способ отображения объекта на самого себя с сохранением всей его структуры. Совокупность всех автоморфизмов объекта образует группу , называемую группой автоморфизмов . Грубо говоря, это группа симметрии объекта.

Примеры

• В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Группу автоморфизмов X также называют симметрической группой на X .
• В элементарной арифметике множество целых чисел Z , рассматриваемое как сложенная группа, имеет уникальный нетривиальный автоморфизм: отрицание. Однако, рассматриваемое как кольцо , оно обладает лишь тривиальным автоморфизмом. Вообще говоря, отрицание — это автоморфизм любой абелевой группы , но не кольца или поля.
• Групповой автоморфизм — это групповой изоморфизм группы в себя. Неформально это такая перестановка элементов группы, при которой структура остается неизменной. Для каждой группы G существует естественный групповой гомоморфизм G → Aut( G ), образ которого есть группа Inn( G ) внутренних автоморфизмов и ядро ​​которого является центром G. Таким образом, если G имеет тривиальный центр, ее можно вложить в собственную группу автоморфизмов. ^[5]
• В линейной алгебре эндоморфизмом векторного пространства V является линейный оператор V → V. Автоморфизм — это обратимый линейный оператор на V . Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов V совпадает с общей линейной группой GL( V ).
• Полевой автоморфизм — это биективный гомоморфизм колец поля в себя. В случаях рациональных чисел ( Q ) и действительных чисел ( R ) не существует нетривиальных полевых автоморфизмов. Некоторые подполя R имеют нетривиальные полевые автоморфизмы, которые, однако, не распространяются на все R (поскольку они не могут сохранить свойство числа, имеющего квадратный корень в R ). В случае комплексных чисел C существует единственный нетривиальный автоморфизм, который переводит R в R : комплексное сопряжение , но существует бесконечно ( несчетно ) множество «диких» автоморфизмов (при условии выбора аксиомы ). ^[6] Полевые автоморфизмы важны для теории расширений полей , в частности расширений Галуа . В случае расширения Галуа L / K подгруппа всех автоморфизмов L , фиксирующих K поточечно , называется группой Галуа расширения.

Симметрия в теории представлений

Симметрия в квантовой механике: бозоны и фермионы

В квантовой механике у бозонов есть представители, симметричные относительно операторов перестановки, а у фермионов — антисимметричные представители.

Отсюда следует принцип Паули для фермионов. Фактически, принцип исключения Паули с однозначной многочастичной волновой функцией эквивалентен требованию, чтобы волновая функция была антисимметричной. Антисимметричное двухчастичное состояние представляется как сумма состояний , в которых одна частица находится в состоянии , а другая в состоянии : ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle }$ ${\displaystyle \scriptstyle |y\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle }$

а антисимметрия при обмене означает, что A ( x , y ) = - A ( y , x ) . Это означает, что A ( x , x ) = 0 , что является исключением Паули. Это верно для любого базиса, поскольку унитарные замены базиса сохраняют антисимметричные матрицы антисимметричными, хотя, строго говоря, величина A ( x , y ) является не матрицей, а антисимметричным тензором второго ранга .

И наоборот, если диагональные величины A ( x , x ) равны нулю в каждом базисе , то компонент волновой функции:

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )}$

обязательно антисимметричен. Чтобы доказать это, рассмотрим матричный элемент:

${\displaystyle \langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))\,}$

Это ноль, потому что две частицы имеют нулевую вероятность находиться в состоянии суперпозиции . Но это равно ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle +|y\rangle }$

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle \,}$

Первое и последнее члены в правой части являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновой функции подчиняются:

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0\,}$.

или

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x)\,}$

Симметрия в теории множеств

Симметричное отношение

Мы называем отношение симметричным, если каждый раз, когда отношение переходит от А к В, оно также переходит от В к А. Обратите внимание, что симметрия не является полной противоположностью антисимметрии .

Симметрия в метрических пространствах

Изометрии пространства

Изометрия — это сохраняющее расстояние отображение между метрическими пространствами . Учитывая метрическое пространство или набор и схему назначения расстояний между элементами набора, изометрия — это преобразование, которое отображает элементы в другое метрическое пространство так, что расстояние между элементами в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементы исходного метрического пространства. В двумерном или трехмерном пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией: связаны либо  жестким движением , либо  композицией твердого движения и  отражения . С точностью до связи жестким движением они равны, если связаны прямой изометрией .

Изометрии использовались для унификации рабочего определения симметрии в геометрии и для функций, вероятностных распределений, матриц, строк, графиков и т. д. ^[7]

Симметрии дифференциальных уравнений

Симметрия дифференциального уравнения — это преобразование, которое оставляет дифференциальное уравнение инвариантным. Знание таких симметрий может помочь решить дифференциальное уравнение.

Линейная симметрия системы дифференциальных уравнений — это непрерывная симметрия системы дифференциальных уравнений. Знание линейной симметрии можно использовать для упрощения обыкновенного дифференциального уравнения за счет понижения порядка . ^[8]

Для обыкновенных дифференциальных уравнений знание соответствующего набора симметрий Ли позволяет явно вычислить набор первых интегралов, что дает полное решение без интегрирования.

Симметрии можно найти, решив связанный набор обыкновенных дифференциальных уравнений. ^[8] Решение этих уравнений зачастую намного проще, чем решение исходных дифференциальных уравнений.

Симметрия по вероятности

В случае конечного числа возможных исходов симметрия относительно перестановок (перемаркировок) подразумевает дискретное равномерное распределение .

В случае реального интервала возможных исходов симметрия относительно перестановки подинтервалов одинаковой длины соответствует непрерывному равномерному распределению .

В других случаях, таких как «взятие случайного целого числа» или «взятие случайного действительного числа», распределения вероятностей вообще не существует, симметричных относительно перемаркировок или обмена одинаково длинными подинтервалами. Другие разумные симметрии не выделяют одно конкретное распределение, или, другими словами, не существует уникального распределения вероятностей, обеспечивающего максимальную симметрию.

Существует один тип изометрии в одном измерении , который может оставить распределение вероятностей неизменным, а именно отражение в точке, например нулевой.

Возможная симметрия случайности с положительными результатами состоит в том, что первая применима к логарифму, т. е. результат и обратная ему величина имеют одинаковое распределение. Однако эта симметрия не выделяет однозначно какое-либо конкретное распределение.

Для «случайной точки» на плоскости или в пространстве можно выбрать начало координат и рассмотреть распределение вероятностей с круговой или сферической симметрией соответственно.

Смотрите также

• Использование симметрии при интеграции
• Инвариантность (математика)

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Инвариант». mathworld.wolfram.com . Проверено 6 декабря 2019 г.
2. «Математика за минуту: Симметрия» . plus.maths.org . 23 июня 2016 г. Проверено 6 декабря 2019 г.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Нечетная функция». mathworld.wolfram.com . Проверено 6 декабря 2019 г.
4. Джейкобсон (2009), с. 31.
5. П. Дж. Пал, Р. Дамрат (2001). «§7.5.5 Автоморфизмы». Математические основы вычислительной техники (перевод Феликса Паля). Спрингер. п. 376. ИСБН 3-540-67995-2.
6. Йель, Пол Б. (май 1966 г.). «Автоморфизмы комплексных чисел» (PDF) . Журнал «Математика» . 39 (3): 135–141. дои : 10.2307/2689301. JSTOR  2689301.
7. Петижан, Мишель (2007). «Определение симметрии». Симметрия: культура и наука . 18 (2–3): 99–119. Збл  1274.58003.
8. Олвер, Питер Дж. (1986). Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95000-6.

Библиография

• Вейль, Герман (1989) [1952]. Симметрия . Принстонская научная библиотека. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.
• Ронан, Марк (2006). Симметрия и монстр . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-280723-6.(Краткое введение для непрофессионала)
• дю Сотуа, Маркус (2012). В поисках самогона: путешествие математика через симметрию. Харпер Коллинз. ISBN 978-0-00-738087-9.