.svg/1280px-Asymmetric_(PSF).svg.png)
Симметрия (от др.-греч. συμμετρία ( summetria ) 'согласование в размерах, должная пропорция, расположение') [1] в повседневной жизни означает чувство гармоничной и красивой пропорции и равновесия. [2] [3] [a] В математике этот термин имеет более точное определение и обычно используется для обозначения объекта, который является инвариантным относительно некоторых преобразований , таких как перемещение , отражение , вращение или масштабирование . Хотя эти два значения слова иногда можно разделить, они неразрывно связаны и, следовательно, обсуждаются вместе в этой статье.
Математическая симметрия может наблюдаться относительно течения времени ; как пространственные отношения ; посредством геометрических преобразований ; посредством других видов функциональных преобразований; и как аспект абстрактных объектов , включая теоретические модели , язык и музыку . [4] [б]
В данной статье симметрия описывается с трёх точек зрения: в математике , включая геометрию , наиболее знакомом многим людям типе симметрии; в науке и природе ; и в искусстве, включая архитектуру , искусство и музыку.
Противоположностью симметрии является асимметрия , которая означает отсутствие симметрии.
Геометрическая фигура или объект считается симметричным, если его можно разделить на две или более одинаковые части, расположенные организованно. [5] Это означает, что объект является симметричным, если существует преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не меняет общую форму. Тип симметрии определяется способом организации фигур или типом трансформации:
Диадическое отношение R = S × S является симметричным, если для всех элементов a , b в S всякий раз, когда верно, что Rab , также верно, что Rba . [13] Таким образом, отношение «того же возраста, что и» симметрично, поскольку, если Павел того же возраста, что и Мария, то Мария того же возраста, что и Павел.
В логике высказываний симметричные бинарные логические связки включают и (∧, или &), или (∨, или |) и тогда и только тогда, когда (↔), тогда как связка if (→) не симметрична. [14] Другие симметричные логические связки включают nand (не-и или ⊼), xor (не-биусловный или ⊻) и nor (не-или или ⊽).
Обобщая геометрическую симметрию из предыдущего раздела, можно сказать, что математический объект симметричен относительно данной математической операции , если при применении к объекту эта операция сохраняет какое- то свойство объекта. [15] Совокупность операций, сохраняющих заданное свойство объекта, образует группу .
В общем, каждая структура в математике имеет свой собственный вид симметрии. Примеры включают четные и нечетные функции в исчислении , симметрические группы в абстрактной алгебре , симметричные матрицы в линейной алгебре и группы Галуа в теории Галуа . В статистике симметрия также проявляется как симметричность распределений вероятностей и как асимметрия — асимметрия распределений. [16]
Симметрия в физике была обобщена как означающая инвариантность — то есть отсутствие изменений — при любом виде преобразования, например, при произвольных преобразованиях координат . [17] Эта концепция стала одним из самых мощных инструментов теоретической физики , поскольку стало очевидно, что практически все законы природы возникают в симметрии. Фактически, эта роль вдохновила нобелевского лауреата П. У. Андерсона написать в своей широко читаемой статье 1972 года « Больше — это другое », что «лишь немного преувеличено, если сказать, что физика — это исследование симметрии». [18] См. теорему Нётер (которая в значительно упрощенной форме утверждает, что для каждой непрерывной математической симметрии существует соответствующая сохраняющаяся величина, такая как энергия или импульс; сохраняющийся ток, на оригинальном языке Нётер); [19] , а также классификацию Вигнера , которая гласит, что симметрии законов физики определяют свойства частиц, встречающихся в природе. [20]
Важные симметрии в физике включают непрерывные симметрии и дискретные симметрии пространства -времени ; внутренние симметрии частиц; и суперсимметрия физических теорий.
В биологии понятие симметрии чаще всего используется явно для описания формы тела. Двусторонние животные , включая человека, более или менее симметричны относительно сагиттальной плоскости , разделяющей тело на левую и правую половины. [21] Животные, которые движутся в одном направлении, обязательно имеют верхнюю и нижнюю стороны, головной и хвостовой концы, а значит, левую и правую стороны. Голова становится специализированной с ртом и органами чувств, а тело становится двусторонне-симметричным для целей движения, с симметричными парами мышц и элементами скелета, хотя внутренние органы часто остаются асимметричными. [22]
Растения и сидячие (прикрепленные) животные, такие как морские анемоны, часто имеют радиальную или вращательную симметрию , которая им подходит, поскольку пища или угроза могут прийти с любого направления. Пятикратная симметрия обнаружена у иглокожих — группы, в которую входят морские звезды , морские ежи и морские лилии . [23]
В биологии понятие симметрии используется также, как и в физике, то есть для описания свойств изучаемых объектов, включая их взаимодействия. Замечательным свойством биологической эволюции являются изменения симметрии, соответствующие появлению новых частей и динамики. [24] [25]
Симметрия важна для химии , поскольку она лежит в основе практически всех специфических взаимодействий между молекулами в природе (т.е. посредством взаимодействия природных и искусственных хиральных молекул с по своей сути хиральными биологическими системами). Контроль симметрии молекул , образующихся в современном химическом синтезе, способствует способности ученых предлагать терапевтические вмешательства с минимальными побочными эффектами . Строгое понимание симметрии объясняет фундаментальные наблюдения в квантовой химии , а также в прикладных областях спектроскопии и кристаллографии . Теория и применение симметрии в этих областях физической науки во многом опираются на математическую область теории групп . [26]
Для человека-наблюдателя некоторые типы симметрии более заметны, чем другие, в частности, наиболее заметным является отражение с вертикальной осью, подобное тому, которое присутствует на человеческом лице. Эрнст Мах сделал это наблюдение в своей книге «Анализ ощущений» (1897), [27] и из этого следует, что восприятие симметрии не является общей реакцией на все виды закономерностей. Как поведенческие, так и нейрофизиологические исследования подтвердили особую чувствительность к симметрии отражений у людей, а также у других животных. [28] Ранние исследования в рамках гештальт- традиции показали, что двусторонняя симметрия была одним из ключевых факторов перцептивной группировки . Это известно как Закон Симметрии . Роль симметрии в группировке и организации фигуры/фона подтверждена во многих исследованиях. Например, обнаружение отражательной симметрии происходит быстрее, если это свойство одного объекта. [29] Исследования человеческого восприятия и психофизики показали, что обнаружение симметрии происходит быстро, эффективно и устойчиво к возмущениям. Например, симметрию можно обнаружить при продолжительности презентации от 100 до 150 миллисекунд. [30]
Более поздние исследования нейровизуализации документально подтвердили, какие области мозга активны во время восприятия симметрии. Сасаки и др. [31] использовали функциональную магнитно-резонансную томографию (фМРТ) для сравнения ответов на узоры с симметричными или случайными точками. Сильная активность присутствовала в экстрастриарных областях затылочной коры, но не в первичной зрительной коре. Экстрастриарные области включали V3A, V4, V7 и латеральный затылочный комплекс (LOC). Электрофизиологические исследования обнаружили позднюю заднюю негативность, исходящую из тех же областей. [32] В целом, большая часть зрительной системы, по-видимому, участвует в обработке зрительной симметрии, и эти области задействуют сети, аналогичные тем, которые отвечают за обнаружение и распознавание объектов. [33]
Люди наблюдают симметричную природу, часто включая асимметричный баланс, социальных взаимодействий в различных контекстах. К ним относятся оценки взаимности , сопереживания , симпатии , извинения , диалога , уважения, справедливости и мести .Рефлексивное равновесие — это баланс, который может быть достигнут путем сознательного взаимного согласования общих принципов и конкретных суждений . [34] Симметричные взаимодействия посылают моральное послание «мы все одинаковые», тогда как асимметричные взаимодействия могут посылать послание «Я особенный, лучше тебя». Отношения между сверстниками, которые регулируются золотым правилом , основаны на симметрии, тогда как властные отношения основаны на асимметрии. [35] Симметричные отношения могут в некоторой степени поддерживаться с помощью простых стратегий ( теории игр ), которые можно увидеть в симметричных играх , таких как «око за око» . [36]
Существует список журналов и информационных бюллетеней, которые, как известно, посвящены, по крайней мере частично, симметрии и искусству. [37]
.JPG/1280px-Taj_Mahal,_Agra_views_from_around_(85).JPG)
Симметрия находит свое применение в архитектуре любого масштаба: от общего внешнего вида зданий, таких как готические соборы и Белый дом , до планировки отдельных этажей и дизайна отдельных элементов здания, таких как мозаика из плитки . Исламские здания, такие как Тадж-Махал и мечеть Лотфолла, тщательно используют симметрию как в своей структуре, так и в орнаменте. [38] [39] Мавританские здания, такие как Альгамбра, украшены сложными узорами, выполненными с использованием поступательной и отражательной симметрии, а также вращения. [40]
Говорят, что только плохие архитекторы полагаются на «симметричное расположение блоков, масс и конструкций»; [41] Модернистская архитектура , начиная с интернационального стиля , вместо этого опирается на «крылья и баланс масс». [41]
С момента самого раннего использования гончарных кругов для формирования глиняных сосудов керамика имела тесную связь с симметрией. Керамика, созданная с помощью круга, приобретает полную вращательную симметрию в поперечном сечении, обеспечивая при этом значительную свободу формы в вертикальном направлении. Исходя из этой изначально симметричной отправной точки, гончары с древних времен добавляли узоры, которые изменяли вращательную симметрию для достижения визуальных целей.
Литым металлическим сосудам не хватало присущей керамике, изготовленной на круге, вращательной симметрии, но в остальном они давали аналогичную возможность украшать свои поверхности узорами, нравившимися тем, кто их использовал. Древние китайцы , например, использовали симметричные узоры в своих бронзовых отливках еще в 17 веке до нашей эры. Бронзовые сосуды имели как двусторонний основной мотив, так и повторяющийся переведенный рисунок границы. [42]
Давняя традиция использования симметрии в узорах ковров и ковриков охватывает множество культур. Американские индейцы навахо использовали жирные диагонали и прямоугольные мотивы. Многие восточные ковры имеют замысловатые отражающиеся центры и края, которые передают узор. Неудивительно, что прямоугольные ковры обычно имеют симметрию прямоугольника , то есть мотивы , которые отражаются как по горизонтальной, так и по вертикальной осям (см. Четыре группы Кляйна § Геометрия ). [43] [44]
Поскольку лоскутные одеяла состоят из квадратных блоков (обычно 9, 16 или 25 штук в блоке), причем каждый меньший кусок обычно состоит из тканевых треугольников, это ремесло легко поддается применению симметрии. [45]
Симметрия проявляется в дизайне объектов всех видов. Примеры включают вышивку бисером , мебель , картины из песка , плетение узлов , маски и музыкальные инструменты . Симметрии занимают центральное место в искусстве Эшера и во многих применениях мозаики в искусстве и ремеслах, таких как обои , керамическая плитка, например, в исламском геометрическом декоре , батик , икат , ковроделие, а также во многих видах текстиля и вышивки . [46]
Симметрия также используется при разработке логотипов. [47] Создавая логотип на сетке и используя теорию симметрии, дизайнеры могут организовать свою работу, создать симметричный или асимметричный дизайн, определить пространство между буквами, определить, сколько негативного пространства требуется в дизайне и как его использовать. подчеркните части логотипа, чтобы он выделялся.
Симметрия не ограничивается изобразительным искусством. Его роль в истории музыки затрагивает многие аспекты создания и восприятия музыки.
Симметрия использовалась в качестве формального ограничения многими композиторами, например, форма арки (ABCBA), используемая Стивом Райхом , Белой Бартоком и Джеймсом Тенни . В классической музыке Бах использовал понятия симметрии перестановки и инвариантности. [48]
Симметрия также является важным фактором при формировании гамм и аккордов , поскольку традиционная или тональная музыка состоит из несимметричных групп высот , таких как диатоническая гамма или мажорный аккорд . Говорят, что симметричные гаммы или аккорды, такие как вся шкала тонов , увеличенный аккорд или уменьшенный септаккорд (уменьшенная-уменьшенная септаккорд), лишены направления или ощущения движения вперед, неоднозначны в отношении тональности или тонального центра и имеют менее специфическая диатоническая функциональность . Однако такие композиторы, как Альбан Берг , Бела Барток и Джордж Перл , использовали оси симметрии и/или интервальные циклы аналогично клавишам или нетональным тональным центрам . [49] Джордж Перл объясняет, что «C–E, D–F♯, [и] Eb–G являются разными экземплярами одного и того же интервала … другой вид идентичности… имеет отношение к осям симметрии. C–E принадлежит к семейству симметрично связанных диад следующим образом:» [49]
Таким образом, C – E не только является частью семейства интервала-4, но и является частью семейства суммы-4 (с C, равным 0). [49]
Интервальные циклы симметричны и, следовательно, недиатоничны. Однако семитональный сегмент C5 (цикл квинт, который энгармоничен с циклом кварт) будет давать диатоническую мажорную гамму. Циклические тональные прогрессии в произведениях композиторов -романтиков , таких как Густав Малер и Рихард Вагнер , образуют связь с циклическими последовательностями тонов в атональной музыке модернистов, таких как Барток, Александр Скрябин , Эдгар Варез и венская школа. В то же время эти прогрессии сигнализируют об окончании тональности. [49] [50]
Первой расширенной композицией, последовательно основанной на симметричных соотношениях высоты звука, был, вероятно, Квартет Альбана Берга , соч. 3 (1910). [50]
Ряды тонов или наборы классов высоты тона , которые инвариантны при ретроградном движении , горизонтально симметричны, при инверсии - вертикально. См. также Асимметричный ритм .
Отношения симметрии с эстетикой сложны. Люди находят двустороннюю симметрию лиц физически привлекательной; [51] это указывает на здоровье и генетическую пригодность. [52] [53] Противоположностью этому является тенденция к чрезмерной симметрии, которая воспринимается как скучная или неинтересная. Рудольф Арнгейм предположил, что люди предпочитают формы, обладающие некоторой симметрией и достаточной сложностью, чтобы сделать их интересными. [54]
Симметрию можно найти в различных формах в литературе , простым примером является палиндром , где краткий текст читается одинаково вперед или назад. Истории могут иметь симметричную структуру, например, взлет и падение Беовульфа . [55]
Философский портал
Астрономический портал
Архитектурный портал
Математический портал
Физический портал
Звездный портал
Портал одежды«Моей отправной точкой для этой конструкции было простое утверждение, которое я однажды прочитал (и которое не обязательно отражает мои личные взгляды): «Только плохой архитектор полагается на симметрию; вместо симметричного расположения блоков, масс и структур модернистская архитектура полагается на на крыльях и балансе масс».
