Симметричное отношение

Тип бинарного отношения

Симметричное отношение — это тип бинарного отношения . Примером может служить отношение «равно», поскольку если a = b истинно, то b = a также истинно. Формально бинарное отношение R над множеством X является симметричным, если: ^[1]

${\displaystyle \forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa),}$

где обозначение aRb означает, что ( a , b ) ∈ R.

Если RT представляет собой обратную R , то ^R симметричен тогда и только тогда , ^когда R = RT . ^{[ нужна цитата ]}

Симметрия, наряду с рефлексивностью и транзитивностью , являются тремя определяющими свойствами отношения эквивалентности . ^[1]

Примеры

По математике

• «равно» ( равенство ) (тогда как «меньше» не симметрично)
• « сопоставимо » для элементов частично упорядоченного множества
• "... и... странные":

Вне математики

• «женат на» (в большинстве правовых систем)
• «является полностью биологическим братом»
• "является омофоном "
• "сотрудник"
• "товарищ по команде"

Отношение к асимметричным и антисимметричным отношениям

Симметричные и антисимметричные отношения

По определению, непустое отношение не может быть одновременно симметричным и асимметричным (где, если a связано с b , то b не может быть связано с a (таким же образом)). Однако отношение не может быть ни симметричным, ни асимметричным, как в случае с «меньше или равно» и «охотится»).

Как показывают эти примеры , симметричные и антисимметричные (где a может быть связан с b , а b связан с a только при условии, что a = b ) на самом деле независимы друг от друга.

Характеристики

• Симметричное и транзитивное отношение всегда квазирефлексивно . ^[а]
• Симметричное, транзитивное и рефлексивное отношение называется отношением эквивалентности . ^[1]
• Один из способов подсчета симметричных отношений на n элементах заключается в том, что в их двоичном матричном представлении верхний правый треугольник полностью определяет отношение, и оно может быть произвольным, поэтому существует столько симметричных отношений, сколько n × n бинарных матриц верхнего треугольника, 2 ^{п ( п +1)/2} . ^[2]

Обратите внимание, что S ( n , k ) относится к числам Стирлинга второго рода .

Примечания

1. Если xRy , то yRx по симметрии, следовательно, xRx по транзитивности. Доказательство xRy ⇒ yRy аналогично.

Рекомендации

1. Биггс, Норман Л. (2002). Дискретная математика . Издательство Оксфордского университета. п. 57. ИСБН 978-0-19-871369-2.
2. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006125». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

Смотрите также

• Коммутативное свойство  - свойство некоторых математических операций.
• Симметрия в математике
• Симметрия  - математическая инвариантность относительно преобразований.