Бинарное отношение, связывающее каждый элемент сам с собой.
В математике бинарное отношение на множестве является рефлексивным , если оно связывает каждый элемент множества с самим собой.
Примером рефлексивного отношения является отношение « равно » на множестве действительных чисел , поскольку каждое действительное число равно самому себе. Говорят, что рефлексивное отношение обладает рефлексивным свойством или обладает рефлексивностью . Наряду с симметрией и транзитивностью , рефлексивность является одним из трёх свойств, определяющих отношения эквивалентности .
Определения
Пусть — бинарное отношение на множестве , которое по определению является просто подмножеством.
Для любого обозначение означает, что в то время как «не » означает, что
Отношение называется рефлексивным, если для каждого , или, что то же самое, если где обозначает тождественное отношение на .
Рефлексивное замыкание - это объединение , которое эквивалентно можно определить как наименьшее (относительно ) рефлексивное отношение на том , что является надмножеством Отношения является рефлексивным. тогда и только тогда, когда оно равно своему рефлексивному замыканию.
Рефлексивная редукция или иррефлексивное ядро — это наименьшее (по отношению к ) отношение на , которое имеет то же рефлексивное замыкание, что и Оно равно. Рефлексивную редукцию можно, в некотором смысле, рассматривать как конструкцию, которая является «противоположностью» рефлексивное замыкание
Например, рефлексивное замыкание канонического строгого неравенства действительных чисел — это обычное нестрогое неравенство, тогда как рефлексивная редукция — это
Связанные определения
Существует несколько определений, связанных с рефлексивным свойством. Отношение называется:
- иррефлексивный ,антирефлексивный илиродственник алиора
- [3] если он не связывает ни один элемент с самим собой; то есть, если не выполняется ни одно отношение A является иррефлексивным тогда и только тогда, когда его дополнение в рефлексивно. Асимметричное отношение обязательно иррефлексивно. Транзитивное и иррефлексивное отношение обязательно асимметрично.
- левый квазирефлексивный
- если всякий раз таковы, что тогда обязательно [4]
- правый квазирефлексивный
- если когда бы то ни было так, что тогда обязательно
- квазирефлексивный
- если каждый элемент, являющийся частью некоторого отношения, связан сам с собой. Явно это означает, что всякий раз, когда таковы, что тогда обязательно и эквивалентно, бинарное отношение является квазирефлексивным тогда и только тогда, когда оно одновременно квазирефлексивно слева и квазирефлексивно справа. Отношение квазирефлексивно тогда и только тогда, когда его симметричное замыкание квазирефлексивно слева (или справа).
- антисимметричный
- если когда бы то ни было так, что тогда обязательно
- корефлексивный
- если всегда таковы, что тогда обязательно Отношение является корефлексивным тогда и только тогда, когда его симметричное замыкание антисимметрично .
Рефлексивное отношение на непустом множестве не может быть ни иррефлексивным, ни асимметричным ( называется асимметричным, если не подразумевает ), ни антитранзитивным ( является антитранзитивным, если не подразумевает ).
Примеры
Примеры рефлексивных отношений включают в себя:
Примеры иррефлексивных отношений включают в себя:
Примером иррефлексивного отношения, которое означает, что оно не связывает ни один элемент с самим собой, является отношение «больше чем» ( ) для действительных чисел . Не всякое нерефлексивное отношение является иррефлексивным; можно определить отношения, в которых некоторые элементы связаны сами с собой, а другие нет (то есть ни все, ни ни один). Например, бинарное отношение «произведение и четно» рефлексивно на множестве четных чисел , иррефлексивно на множестве нечетных чисел и ни рефлексивно, ни иррефлексивно на множестве натуральных чисел .
Примером квазирефлексивного отношения является «имеет тот же предел, что и» на множестве последовательностей действительных чисел: не каждая последовательность имеет предел, и, следовательно, отношение не является рефлексивным, но если последовательность имеет тот же предел, что и некоторые последовательность, то она имеет тот же предел, что и она сама. Примером левого квазирефлексивного отношения является левоевклидово отношение , которое всегда является левым квазирефлексивным, но не обязательно правоквазирефлексивным и, следовательно, не обязательно квазирефлексивным.
Примером корефлексивного отношения является отношение к целым числам , в котором каждое нечетное число связано само с собой и других отношений нет. Отношение равенства является единственным примером как рефлексивного, так и кор-рефлексивного отношения, и любое кор-рефлексивное отношение является подмножеством отношения тождества. Объединение корефлексивного отношения и транзитивного отношения на одном и том же множестве всегда транзитивно.
Количество рефлексивных отношений
Число рефлексивных отношений на -элементном множестве равно [6]
Обратите внимание, что S ( n , k ) относится к числам Стирлинга второго рода .
Философская логика
Авторы философской логики часто используют разную терминологию. Рефлексивные отношения в математическом смысле называются в философской логике тотально рефлексивными , а квазирефлексивные отношения — рефлексивными .
Примечания
- ^ Этот термин принадлежит К.С. Пирсу ; см. Рассел 1920, с. 32. Рассел также вводит два эквивалентных термина, которые включаются в разнообразие или подразумевают его .
- ^ Британская энциклопедия называет это свойство квазирефлексивностью.
- ^ Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей A053763
Рекомендации
- Кларк, Д.С.; Белинг, Ричард (1998). Дедуктивная логика – введение в методы оценки и логическую теорию . Университетское издательство Америки. ISBN 0-7618-0922-8.
- Фонсека де Оливейра, Хосе Нуну; Перейра Кунья Родригес, Сезар де Жезус (2004), «Транспонирование отношений: от функций Maybe к хеш-таблицам», Математика построения программ , Springer: 334–356
- Хаусман, Алан; Кахане, Ховард; Тидман, Пол (2013). Логика и философия – современное введение . Уодсворт. ISBN 1-133-05000-Х.
- Леви, А. (1979), Теория базовых множеств , Перспективы математической логики, Дувр, ISBN 0-486-42079-5
- Лидл, Р.; Пильц, Г. (1998), Прикладная абстрактная алгебра , Тексты для бакалавров по математике , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98290-6
- Куайн, Западная Вирджиния (1951), Математическая логика , исправленное издание, перепечатано в 2003 г., издательство Гарвардского университета, ISBN 0-674-55451-5
- Рассел, Бертран (1920). Введение в математическую философию (PDF) (2-е изд.). Лондон: Джордж Аллен и Анвин, Лтд. (Интернет-исправленное издание, февраль 2010 г.)
- Шмидт, Гюнтер (2010), Реляционная математика , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-76268-7
Внешние ссылки