В математике самоподобный объект точно или приблизительно подобен своей части (т. е. целое имеет ту же форму, что и одна или несколько частей). Многие объекты в реальном мире, такие как береговые линии , статистически самоподобны: части из них демонстрируют одинаковые статистические свойства во многих масштабах. [2] Самоподобие — типичное свойство фракталов . Масштабная инвариантность — это точная форма самоподобия, при которой при любом увеличении остается меньшая часть объекта, похожая на целое. Например, сторона снежинки Коха одновременно симметрична и масштабно-инвариантна; его можно постоянно увеличивать в 3 раза без изменения формы. Нетривиальное сходство, проявляющееся во фракталах, отличается их тонкой структурой или детализацией в сколь угодно малых масштабах. В качестве контрпримера , хотя любая часть прямой линии может напоминать целое, дальнейшие детали не раскрываются.
Говорят, что явление, развивающееся во времени, демонстрирует самоподобие, если численное значение некоторой наблюдаемой величины, измеренной в разное время, различно, но соответствующая безразмерная величина при данном значении остается неизменной. Это происходит, если количество демонстрирует динамическое масштабирование . Идея является лишь развитием идеи подобия двух треугольников. [3] [4] [5] Обратите внимание, что два треугольника подобны, если числовые значения их сторон различны, однако соответствующие безразмерные величины, такие как их углы, совпадают.
Пейтген и др. объясните это понятие как таковое:
Если части фигуры являются маленькими копиями целого, то фигура называется самоподобной .... Фигура является строго самоподобной , если ее можно разложить на части, являющиеся точными копиями целого. Любая произвольная часть содержит точную копию всей фигуры. [6]
Поскольку математически фрактал может проявлять самоподобие при неограниченном увеличении, воссоздать это физически невозможно. Пейтген и др. предложить изучать самоподобие с помощью приближений:
Чтобы придать операциональный смысл свойству самоподобия, мы неизбежно ограничиваемся конечными приближениями предельной фигуры. Это делается с помощью метода, который мы назовем коробочным самоподобием, при котором измерения производятся на конечных этапах фигуры с использованием сеток различных размеров. [7]
Этот словарь был введен Бенуа Мандельбротом в 1964 году. [8]
В математике самоаффинность — это свойство фрактала , части которого масштабируются на разную величину в направлениях x и y. Это означает, что для того, чтобы оценить самоподобие этих фрактальных объектов, их необходимо масштабировать с помощью анизотропного аффинного преобразования .
Компактное топологическое пространство X называется самоподобным, если существует конечное множество S , индексирующее множество несюръективных гомеоморфизмов , для которых
Если , мы называем X самоподобным, если это единственное непустое подмножество Y такое , что приведенное выше уравнение справедливо для . Мы называем
самоподобная структура . Гомеоморфизмы могут повторяться , в результате чего получается итерированная система функций . Композиция функций создает алгебраическую структуру моноида . Когда множество S состоит только из двух элементов, моноид известен как диадический моноид . Диадический моноид можно представить как бесконечное двоичное дерево ; в более общем смысле, если множество S имеет p элементов, то моноид можно представить как p-адическое дерево.
Автоморфизмы диадического моноида — модулярная группа ; автоморфизмы можно представить как гиперболические вращения бинарного дерева.
Более общим понятием, чем самоподобие, является Самоподобие .
Множество Мандельброта также самоподобно относительно точек Мисюревича .
Самоподобие имеет важные последствия для проектирования компьютерных сетей, поскольку типичный сетевой трафик имеет свойства самоподобия. Например, в инженерии телетрафика модели трафика данных с коммутацией пакетов кажутся статистически самоподобными. [9] Это свойство означает, что простые модели, использующие распределение Пуассона, являются неточными, а сети, спроектированные без учета самоподобия, могут функционировать неожиданным образом.
Аналогичным образом, движения фондового рынка описываются как демонстрирующие самоподобие , т.е. они кажутся самоподобными при преобразовании с помощью соответствующего аффинного преобразования для отображаемого уровня детализации. [10] Эндрю Ло описывает самоподобие журнала доходности фондового рынка в эконометрике . [11]
Правила конечного подразделения — мощный метод построения самоподобных множеств, включая множество Кантора и треугольник Серпинского .
Модель жизнеспособной системы Стаффорда Бира представляет собой организационную модель с аффинной самоподобной иерархией, где данная жизнеспособная система является одним элементом Системы Один из жизнеспособной системы на один рекурсивный уровень выше, и для которой элементы ее Системы Один являются жизнеспособными системами на один рекурсивный уровень ниже.
Самоподобие можно найти и в природе. Справа — математически созданное, совершенно самоподобное изображение папоротника , которое имеет заметное сходство с естественными папоротниками. Другие растения, такие как брокколи романеско , демонстрируют сильное самоподобие.
{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )