Теорема Нётер используется в теоретической физике и вариационном исчислении . Он раскрывает фундаментальную связь между симметриями физической системы и законами сохранения. Это также заставило современных физиков-теоретиков гораздо больше сосредоточиться на симметрии физических систем. Являясь обобщением формулировок о константах движения в лагранжевой и гамильтоновой механике (разработанных в 1788 и 1833 годах соответственно), он не применим к системам, которые нельзя моделировать только с помощью лагранжиана (например, к системам с функцией диссипации Рэлея ). В частности, диссипативные системы с непрерывными симметриями не обязательно должны иметь соответствующий закон сохранения. [ нужна цитата ]
Основные иллюстрации и фон
Например, если физическая система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве (то есть инвариантна ) , ее лагранжиан симметричен при непрерывном вращении: исходя из этой симметрии, теорема Нётер предписывает, что угловой момент системы равен сохраняется в силу своих законов движения. [2] : 126 Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зазубренный астероид, падающий в космосе, сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Именно законы его движения симметричны.
Другой пример: если физический процесс демонстрирует одни и те же результаты независимо от места и времени, то его лагранжиан симметричен при непрерывных перемещениях в пространстве и времени соответственно: по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения линейного импульса и энергии внутри этого процесса. система соответственно. [3] : 23 [4] : 261
Теорема Нётер важна как из-за понимания законов сохранения, так и из-за того, что она дает представление о законах сохранения, а также как практический инструмент вычислений. Это позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины (инварианты) на основе наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, это позволяет исследователям рассматривать целые классы гипотетических лагранжианов с заданными инвариантами для описания физической системы. [2] : 127 В качестве иллюстрации предположим, что предложена физическая теория, сохраняющая величину X . Исследователь может вычислить типы лагранжианов, сохраняющих X благодаря непрерывной симметрии. Благодаря теореме Нётер свойства этих лагранжианов предоставляют дополнительные критерии для понимания последствий и оценки пригодности новой теории.
Существует множество версий теоремы Нётер разной степени общности. Существуют естественные квантовые аналоги этой теоремы, выраженные в тождествах Уорда – Такахаши . Существуют также обобщения теоремы Нётер на суперпространства . [5]
Неформальная формулировка теоремы
Если отбросить все тонкие технические моменты, теорему Нётер можно сформулировать неформально:
Если система обладает свойством непрерывной симметрии, то существуют соответствующие величины, значения которых сохраняются во времени. [6]
Более сложная версия теоремы о полях утверждает, что:
Слово «симметрия» в приведенном выше утверждении точнее относится к ковариантности формы, которую принимает физический закон по отношению к одномерной группе Ли преобразований, удовлетворяющей определенным техническим критериям. Закон сохранения физической величины обычно выражают в виде уравнения неразрывности .
Формальное доказательство теоремы использует условие инвариантности для вывода выражения для тока, связанного с сохраняющейся физической величиной. В современной терминологии сохраняющаяся величина называется нётеровским зарядом , а поток, несущий этот заряд, называется нётеровским током . Нётеровский ток определен с точностью до соленоидального (бездивергентного) векторного поля.
В контексте гравитации формулировка Феликсом Кляйном теоремы Нётер для действия I предусматривает наличие инвариантов: [7]
Если интеграл I инвариантен относительно непрерывной группы G ρ с ρ параметрами, то ρ линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений являются расходимостями.
Краткая иллюстрация и обзор концепции
Основную идею теоремы Нётер легче всего проиллюстрировать на примере системы с одной координатой и непрерывной симметрией (серые стрелки на диаграмме).
Рассмотрим любую траекторию (жирный шрифт на схеме), удовлетворяющую законам движения системы . То есть действие , управляющее этой системой, стационарно на этой траектории, т. е. не меняется при любом локальном изменении траектории. В частности, оно не изменится при варианте, который применяет поток симметрии к отрезку времени [ t 0 , t 1 ] и неподвижен вне этого отрезка. Чтобы траектория оставалась непрерывной, мы используем небольшие периоды «буферизации» для постепенного перехода между сегментами.
Общее изменение действия теперь включает в себя изменения, вносимые каждым интервалом игры. Части, где сама вариация исчезает, т.е. внешняя не привносит . Средняя часть также не меняет действия, поскольку ее преобразование является симметрией и, таким образом, сохраняет лагранжиан и действие . Единственные оставшиеся части — это «буферные» части. В этих областях изменяются и координата , и скорость , но изменяется на , причем изменение координаты по сравнению с этим незначительно, так как время буферизации мало (принято к пределу 0), поэтому . Так что регионы вносят свой вклад в основном за счет своей «косости» .
Это меняет лагранжиан на , который интегрируется в
Эти последние члены, оцененные вокруг конечных точек и , должны нейтрализовать друг друга, чтобы общее изменение действия было равно нулю, как и следовало ожидать, если траектория является решением. То есть
Более общие случаи следуют той же идее:
Когда большее количество координат подвергается преобразованию симметрии , их эффекты суммируются по линейности до сохраняющейся величины .
Когда происходят преобразования времени , они заставляют сегменты «буферизации» вносить в :
первое слагаемое обусловлено растяжением во временном измерении «буферного» сегмента (изменяющим размер области интегрирования), а второе — его «накосом», как и в примере. Вместе они добавляют слагаемое к сохраняющейся величине.
Наконец, когда вместо траектории рассматриваются целые поля , аргумент заменяется
интервал с ограниченной областью -области ,
конечными точками и с границей региона,
и его вклад в интерпретируется как поток сохраняющегося тока , который строится аналогично предыдущему определению сохраняющейся величины.
Теперь нулевой вклад «буферизации» в интерпретируется как исчезновение полного потока тока через . В этом смысле оно сохраняется: сколько «втекает» внутрь, столько же «вытекает».
Исторический контекст
Закон сохранения гласит, что некоторая величина X в математическом описании эволюции системы остается постоянной на протяжении всего ее движения – это инвариант . Математически скорость изменения X (его производной по времени ) равна нулю,
Говорят, что такие количества сохраняются; их часто называют константами движения (хотя движение само по себе не обязательно должно иметь в виду, а только эволюция во времени). Например, если энергия системы сохраняется, ее энергия всегда инвариантна, что накладывает ограничение на движение системы и может помочь в его решении. Помимо понимания, которое такие константы движения дают для понимания природы системы, они являются полезным инструментом вычислений; например, приближенное решение можно исправить, найдя ближайшее состояние, удовлетворяющее подходящим законам сохранения.
В конце 18 — начале 19 веков физики разработали более систематические методы открытия инвариантов. Большой прогресс произошел в 1788 году с развитием лагранжевой механики , которая связана с принципом наименьшего действия . В этом подходе состояние системы можно описать любым типом обобщенных координат q ; законы движения не обязательно выражаются в декартовой системе координат , как это было принято в механике Ньютона. Действие определяется как интеграл по времени I функции, известной как лагранжиан L
где точка над q означает скорость изменения координат q ,
Принцип Гамильтона утверждает, что физический путь q ( t ) — тот, который фактически проходит система — это путь, для которого бесконечно малые изменения этого пути не вызывают изменения I , по крайней мере, до первого порядка. Этот принцип приводит к уравнениям Эйлера – Лагранжа :
Таким образом, если одна из координат, скажем, q k , не входит в лагранжиан, правая часть уравнения равна нулю, а левая часть требует, чтобы
где импульс
сохраняется на протяжении всего движения (на физическом пути).
Таким образом, отсутствие игнорируемой координаты qk в лагранжиане означает, что на лагранжиан не влияют изменения или преобразования qk ; лагранжиан инвариантен и, как говорят, проявляет симметрию при таких преобразованиях. Это основная идея, обобщенная в теореме Нётер.
Несколько альтернативных методов поиска сохраняющихся величин были разработаны в 19 веке, особенно Уильямом Роуэном Гамильтоном . Например, он разработал теорию канонических преобразований , которая позволяла изменять координаты так, что некоторые координаты исчезали из лагранжиана, как указано выше, что приводило к сохранению канонических импульсов. Другой подход и, возможно, наиболее эффективный для поиска сохраняющихся величин — это уравнение Гамильтона–Якоби .
Математическое выражение
Простая форма с использованием возмущений
Суть теоремы Нётер заключается в обобщении понятия игнорируемых координат.
Можно предположить, что определенный выше лагранжиан L инвариантен относительно малых возмущений (перекосов) временной переменной t и обобщенных координат q . Можно написать
где возмущения δt и δq малы, но переменны . Для общности предположим, что существует (скажем) N таких преобразований симметрии действия, т. е. преобразований, оставляющих действие неизменным; помечены индексом r = 1, 2, 3, ..., N .
Тогда результирующее возмущение можно записать в виде линейной суммы возмущений отдельных типов:
где ε r — бесконечно малые параметрические коэффициенты, соответствующие каждому:
Для иллюстрации рассмотрим лагранжиан, не зависящий от времени, т. е. инвариантный (симметричный) относительно изменений t → t + δt , без какого-либо изменения координат q . В этом случае N = 1, T = 1 и Q = 0; соответствующая сохраняющаяся величина — это полная энергия H [8] : 401
II. Трансляционная инвариантность
Рассмотрим лагранжиан, который не зависит от координаты q k («игнорируемой», как указано выше) ; поэтому он инвариантен (симметричен) относительно изменений q k → q k + δq k . В этом случае N = 1, T = 0 и Q k = 1; сохраняющейся величиной является соответствующий линейный импульс p k [8] : 403–404
В специальной и общей теории относительности эти два закона сохранения могут быть выражены либо глобально (как это сделано выше), либо локально в виде уравнения непрерывности. Глобальные варианты можно объединить в один глобальный закон сохранения: сохранение 4-вектора энергии-импульса. Локальные варианты сохранения энергии и импульса (в любой точке пространства-времени) также можно объединить в сохранение величины, определенной локально в точке пространства-времени: тензора энергии-импульса [9] : 592 (это будет будут получены в следующем разделе).
III. Вращательная инвариантность
Сохранение углового момента L = r × p аналогично сохранению линейного момента. [8] : 404–405 Предполагается, что симметрия лагранжиана вращательная, т. е. что лагранжиан не зависит от абсолютной ориентации физической системы в пространстве. Для конкретности предположим, что лагранжиан не меняется при малых поворотах угла δθ вокруг оси n ; такое вращение преобразует декартовы координаты по уравнению
Поскольку время не преобразуется, T = 0 и N = 1. Принимая δθ в качестве параметра ε и декартовы координаты r в качестве обобщенных координат q , соответствующие переменные Q задаются формулами
Тогда теорема Нётер утверждает, что сохраняется следующая величина:
Другими словами, сохраняется компонента углового момента L вдоль оси n . А если n произвольно, т. е. если система нечувствительна к любому вращению, то каждый компонент L сохраняется; Короче говоря, угловой момент сохраняется.
Версия теории поля
Хотя только что приведенная версия теоремы Нётер полезна сама по себе, она представляет собой частный случай общей версии, полученной в 1915 году. Чтобы придать изюминку общей теореме, приведем версию теоремы Нётер для непрерывных полей в четырехмерном пространстве-времени . сейчас дано. Поскольку проблемы теории поля более распространены в современной физике, чем проблемы механики , эта версия теории поля является наиболее часто используемой (или наиболее часто реализуемой) версией теоремы Нётер.
Пусть существует набор дифференцируемых полей , определенных во всем пространстве и времени; например, температура будет репрезентативной для такого поля, будучи числом, определенным в каждом месте и в любое время. К таким полям можно применить принцип наименьшего действия , но действие теперь является интегралом в пространстве и времени.
(теорема может быть дополнительно обобщена на случай, когда лагранжиан зависит от с точностью до n -й производной, а также может быть сформулирована с использованием расслоений струй ).
Непрерывное преобразование полей можно бесконечно записать как
где вообще функция, которая может зависеть как от и . Условием возникновения физической симметрии является то, что действие остается инвариантным. Это, безусловно, будет верно, если плотность лагранжиана останется неизменной, но это также будет верно, если лагранжиан изменится на дивергенцию:
поскольку интеграл от дивергенции становится граничным членом согласно теореме о дивергенции . Система, описываемая данным действием, может иметь несколько независимых симметрий этого типа, индексированных таким образом, что наиболее общее преобразование симметрии будет записано как
с последствиями
Для таких систем теорема Нётер утверждает, что существуют сохраняющиеся плотности тока.
(где скалярное произведение подразумевает сокращение индексов полей , а не индекса или индекса).
В таких случаях закон сохранения выражается четырехмерным образом
которая выражает идею о том, что количество сохраняющейся величины внутри сферы не может измениться, если некоторая ее часть не вытечет из сферы. Например, сохраняется электрический заряд ; количество заряда внутри сферы не может измениться, если некоторая часть заряда не покинет сферу.
Для иллюстрации рассмотрим физическую систему полей, которая ведет себя одинаково при перемещениях во времени и пространстве, как рассмотрено выше; другими словами, является постоянным в своем третьем аргументе. В этом случае N = 4, по одному на каждое измерение пространства и времени. Бесконечно малый сдвиг в пространстве (с обозначением дельты Кронекера ) влияет на поля так : то есть перемаркировка координат эквивалентна оставлению координат на месте при переносе самого поля, что, в свою очередь, эквивалентно преобразованию поля путем замены его значение в каждой точке со значением в точке «позади» него, на которое будет отображаться рассматриваемое бесконечно малое смещение. Поскольку это бесконечно мало, мы можем записать это преобразование как
Лагранжева плотность преобразуется таким же образом, , поэтому
и, таким образом, теорема Нётер соответствует [9] : 592 закону сохранения тензора энергии-импульса T µ ν , где мы использовали вместо . А именно, используя выражение, данное ранее, и объединяя четыре сохраняющихся тока (по одному для каждого ) в тензор , теорема Нётер дает
с
(мы переименовали его как промежуточный этап, чтобы избежать конфликта). (Однако полученный таким способом может отличаться от симметричного тензора, используемого в качестве исходного термина в общей теории относительности; см. Канонический тензор энергии-напряжения .)
Сохранение электрического заряда , напротив, может быть получено, если рассматривать Ψ линейно по полям φ , а не по производным. [9] : 593–594 В квантовой механике амплитуда вероятности ψ ( x ) обнаружения частицы в точке x представляет собой комплексное поле φ , поскольку оно приписывает комплексное число каждой точке пространства и времени. Сама амплитуда вероятности физически неизмерима; только вероятность p = | ψ | 2 можно вывести из набора измерений. Следовательно, система инвариантна относительно преобразований поля ψ и его комплексно-сопряженного поля ψ * , при которых | ψ | 2 без изменений, например
сложная ротация. В пределе, когда фаза θ становится бесконечно малой, δθ может быть принята в качестве параметра ε , а Ψ равны iψ и − iψ * соответственно. Конкретным примером является уравнение Клейна-Гордона , релятивистски правильная версия уравнения Шрёдингера для бесспиновых частиц, имеющая лагранжеву плотность.
В этом случае теорема Нётер утверждает, что сохраняющийся (∂ ⋅ j = 0) ток равен
который, умноженный на заряд этого типа частиц, равен плотности электрического тока, исходящего от этого типа частиц. Эта «калибровочная инвариантность» была впервые отмечена Германом Вейлем и является одним из прототипов калибровочной симметрии в физике.
Выводы
Одна независимая переменная
Рассмотрим простейший случай — систему с одной независимой переменной — временем. Предположим, что зависимые переменные q таковы, что интеграл действия
инвариантен при кратких бесконечно малых изменениях зависимых переменных. Другими словами, они удовлетворяют уравнениям Эйлера–Лагранжа
Предположим, что интеграл инвариантен относительно непрерывной симметрии. Математически такая симметрия представляется как поток φ , который действует на переменные следующим образом :
где ε — действительная переменная, указывающая величину потока, а T — действительная константа (которая может быть равна нулю), указывающая, насколько поток смещается во времени.
Интеграл действия сводится к
которую можно рассматривать как функцию ε . Вычислив производную при ε' = 0 и воспользовавшись правилом Лейбница , получим
Обратите внимание, что из уравнений Эйлера–Лагранжа следует
Подставив это в предыдущее уравнение, получим
Снова используя уравнения Эйлера–Лагранжа, получаем
Подставив это в предыдущее уравнение, получим
Из чего это видно
— константа движения, т. е. сохраняющаяся величина. Поскольку φ[ q , 0] = q , мы получаем , и поэтому сохраняющаяся величина упрощается до
Чтобы избежать чрезмерного усложнения формул, при этом выводе предполагалось, что поток не меняется с течением времени. Тот же результат можно получить и в более общем случае.
Теоретико-полевой вывод
Теорему Нётер можно также вывести для тензорных полей , где индекс A варьируется по различным компонентам различных тензорных полей. Эти полевые величины представляют собой функции, определенные в четырехмерном пространстве, точки которого обозначены координатами x µ , где индекс µ изменяется во времени ( µ = 0) и трех пространственных измерениях ( µ = 1, 2, 3). Эти четыре координаты являются независимыми переменными; а значения полей в каждом событии являются зависимыми переменными. При бесконечно малом преобразовании изменение координат запишется
тогда как преобразование переменных поля выражается как
Согласно этому определению, вариации поля являются результатом двух факторов: собственных изменений самого поля и изменения координат, поскольку преобразованное поле α A зависит от преобразованных координат ξ μ . Чтобы изолировать внутренние изменения, можно определить изменение поля в одной точке x μ .
При изменении координат меняется и граница области пространства-времени, по которой интегрируется лагранжиан; исходная граница и ее преобразованная версия обозначаются как Ω и Ω' соответственно.
Теорема Нётер начинается с предположения, что специфическое преобразование координат и переменных поля не меняет действие , которое определяется как интеграл от лагранжевой плотности по данной области пространства-времени. Математически это предположение можно записать как
где нижний индекс запятой указывает частную производную по координатам, следующим за запятой, например
Поскольку ξ является фиктивной переменной интегрирования и поскольку изменение границы Ω по предположению бесконечно мало, два интеграла можно объединить, используя четырехмерную версию теоремы о дивергенции, в следующую форму
Разницу в лагранжианах можно записать в первом порядке по бесконечно малым вариациям как
Однако, поскольку вариации определяются в той же точке, что описано выше, вариация и производная могут выполняться в обратном порядке; они ездят на работу
Использование уравнений поля Эйлера – Лагранжа
разницу в лагранжианах можно аккуратно записать как
Таким образом, изменение действия можно записать как
Поскольку это справедливо для любой области Ω, подынтегральная функция должна быть равна нулю.
Для любой комбинации различных преобразований симметрии возмущение можно записать
где – производная Ли в направлении X µ . Когда скаляр или ,
Из этих уравнений следует, что изменение поля, взятое в одной точке, равно
Дифференцируя указанную выше расходимость по ε при ε = 0 и меняя знак, получаем закон сохранения
В теории поля M — это пространственно-временное многообразие, а целевое пространство — это набор значений, которые поля могут принимать в любой заданной точке. Например, если имеется m вещественнозначных скалярных полей , , то целевым многообразием является . Если поле является действительным векторным полем, то целевое многообразие изоморфно .
который называется током Нётера , связанным с симметрией . Уравнение непрерывности говорит нам, что если мы проинтегрируем этот ток по пространственноподобному срезу, мы получим сохраняющуюся величину , называемую зарядом Нётера (при условии, конечно, что если M некомпактно, токи достаточно быстро спадают на бесконечности).
Комментарии
Теорема Нётер — это теорема об оболочке : она основана на использовании уравнений движения — классического пути. Он отражает связь между граничными условиями и вариационным принципом. Предполагая отсутствие граничных членов в действии, из теоремы Нётер следует, что
Предположим, у нас есть два вывода симметрии Q 1 и Q 2 . Тогда [ Q 1 , Q 2 ] также является выводом симметрии. Давайте посмотрим на это явно. Скажем так
Затем,
ж 12Q 1ж 2 мкмQ 2ж 1 мкм
Это показывает, что мы можем естественным образом распространить теорему Нётер на более крупные алгебры Ли.
Обобщение доказательства
Это относится к любому выводу локальной симметрии Q , удовлетворяющему QS ≈ 0, а также к более общим локальным функционально-дифференцируемым действиям, включая те, в которых лагранжиан зависит от высших производных полей. Пусть ε — произвольная гладкая функция пространственно-временного (или временного) многообразия такая, что замыкание ее носителя не пересекается с краем. ε — пробная функция . Тогда из-за вариационного принципа (который, кстати, не применим к границе) распределение q, порожденное q [ ε ][Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )], удовлетворяет условию q [ ε ][ S ] ≈ 0 для каждого ε или, более компактно, q ( x )[ S ] ≈ 0 для всех x не на границе (но помните, что q ( x ) — это сокращение для распределения вывода , а не вывод, параметризованный x вообще). Это обобщение теоремы Нётер.
Чтобы увидеть, как обобщение связано с версией, приведенной выше, предположим, что действие представляет собой пространственно-временной интеграл лагранжиана, который зависит только от и его первых производных. Кроме того, предположим
Затем,
для всех .
В более общем смысле, если лагранжиан зависит от высших производных, то
Примеры
Пример 1: Сохранение энергии
Рассматривая частный случай ньютоновской частицы массы m , координаты x , движущейся под действием потенциала V , координируемого по времени t . Действие , S , это:
Первое слагаемое в скобках — это кинетическая энергия частицы, а второе — ее потенциальная энергия . Рассмотрим генератор трансляций времени Q = d / dt . Другими словами, . Координата x имеет явную зависимость от времени, а V — нет; следовательно:
чтобы мы могли установить
Затем,
Правая часть — это энергия, и теорема Нётер утверждает это (т.е. принцип сохранения энергии является следствием инвариантности относительно сдвигов времени).
В более общем смысле, если лагранжиан не зависит явно от времени, величина
Применение теоремы Нётер позволяет физикам получить мощное представление о любой общей теории физики, просто анализируя различные преобразования, которые сделают форму задействованных законов инвариантной. Например:
Инвариантность изолированной системы относительно пространственного перемещения (другими словами, законы физики одинаковы во всех точках пространства) дает закон сохранения линейного импульса (который гласит, что полный линейный импульс изолированной системы равен постоянный)
Инвариантность изолированной системы относительно перевода времени (т. е. то, что законы физики одинаковы во все моменты времени) дает закон сохранения энергии (который утверждает, что полная энергия изолированной системы постоянна).
Инвариантность изолированной системы относительно вращения (т. е. то, что законы физики одинаковы относительно всех угловых ориентаций в пространстве) дает закон сохранения углового момента (который гласит, что полный угловой момент изолированной системы равен постоянный)
Инвариантность изолированной системы относительно усилений Лоренца (т. е. то, что законы физики одинаковы по отношению ко всем инерциальным системам отсчета) дает теорему о центре масс (которая утверждает, что центр масс изолированной системы отсчета система движется с постоянной скоростью).
^ Нётер, Э. (1918). «Проблема инвариантных вариаций». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Математически-физический класс. 1918 : 235–257.
^ аб Хосе, Хорхе В.; Салетан, Юджин Дж. (1998). Классическая динамика: современный подход. Кембридж [Англия]: Издательство Кембриджского университета. ISBN978-1-139-64890-5. ОСЛК 857769535.
^ Хэнд, Луи Н.; Финч, Джанет Д. (1998). Аналитическая механика. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN0-521-57327-0. ОСЛК 37903527.
^ Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2004). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Бостон, Массачусетс: Брукс/Коул, Cengage Learning. ISBN978-0-534-40896-1. ОСЛК 759172774.
^ Де Аскаррага, Джа; Лукьерский, Дж.; Виндель, П. (1 июля 1986 г.). «Суперполя и канонические методы в суперпространстве». Буквы по современной физике А. 01 (4): 293–302. Бибкод : 1986МПЛА....1..293D. дои : 10.1142/S0217732386000385. ISSN 0217-7323.
^ Томпсон, WJ (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательной симметрии физических систем. Том. 1. Уайли. п. 5. ISBN0-471-55264-Х.
^ Нина Байерс (1998) «Открытие Э. Нётер глубокой связи между симметриями и законами сохранения». В материалах симпозиума по наследию Эмми Нётер, состоявшегося 2–4 декабря 1996 г. в Университете Бар-Илан, Израиль, Приложение B.
^ Майкл Э. Пескин; Дэниел В. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля. Основные книги. п. 18. ISBN0-201-50397-2.
^ Айер, Вивек; Уолд, Роберт М. (15 октября 1995 г.). «Сравнение заряда Нётера и евклидовых методов расчета энтропии стационарных черных дыр». Физический обзор D . 52 (8): 4430–4439. arXiv : gr-qc/9503052 . Бибкод : 1995PhRvD..52.4430I. doi : 10.1103/PhysRevD.52.4430. PMID 10019667. S2CID 2588285.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
дальнейшее чтение
Бадин, Гуальтьеро; Кришиани, Фульвио (2018). Вариационная формулировка жидкости и геофизическая гидродинамика - Механика, симметрия и законы сохранения - . Спрингер. п. 218. Бибкод : 2018vffg.book.....Б. дои : 10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID 125902566.
Джонсон, Тристан (2016). «Теорема Нётер: симметрия и сохранение». Почетные диссертации . Юнион Колледж . Проверено 28 августа 2020 г.
Косманн-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-87867-6.Онлайн-копия.
Мозер, Сет (21 апреля 2020 г.). «Понимание теоремы Нётер путем визуализации лагранжиана». Основные проекты по физике : 1–12 . Проверено 28 августа 2020 г.
Эмми Нётер (1918). «Проблема инвариантных вариаций» (на немецком языке).
Эмми Нётер (1971). Перевод Морта Тавеля. «Проблемы инвариантных вариаций». Теория переноса и статистическая физика . 1 (3): 186–207. arXiv : физика/0503066 . Бибкод : 1971TTSP....1..186N. дои : 10.1080/00411457108231446. S2CID 119019843.(Оригинал в Gott. Nachr. 1918: 235–257)
Байерс, Нина (1998). «Открытие Э. Нётер глубокой связи между симметриями и законами сохранения». arXiv : физика/9807044 .
Баэз, Джон (2002). «Коротко о теореме Нётер». math.ucr.edu . Проверено 28 августа 2020 г.
Владимир Куэста; Мерсед Монтесинос; Хосе Дэвид Вергара (2007). «Калибровочная инвариантность принципа действия для калибровочных систем с неканоническими симплектическими структурами». Физический обзор D . 76 (2): 025025. Бибкод : 2007PhRvD..76b5025C. doi : 10.1103/PhysRevD.76.025025.
Ханка, Дж.; Туледжаб, С.; Ханцова, М. (2004). «Симметрии и законы сохранения: следствия теоремы Нётер». Американский журнал физики . 72 (4): 428–35. Бибкод : 2004AmJPh..72..428H. дои : 10.1119/1.1591764.
Леоне, Рафаэль (11 апреля 2018 г.). «О чудесности теорем Нётер, 100 лет спустя, и редукции Рауса». arXiv : 1804.01714 [Physics.hist-ph].
Теорема Нётер на MathPages.
Мерсед Монтесинос; Эрнесто Флорес (2006). «Симметричный тензор энергии-импульса в теориях Максвелла, Янга – Миллса и Прока, полученный с использованием только теоремы Нётер» (PDF) . Мексиканская физика . 52 (1): 29–36. arXiv : hep-th/0602190 . Бибкод : 2006RMxF...52...29M. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 12 ноября 2014 г.
Нойеншвандер, Дуайт Э. (2010). Замечательная теорема Эмми Нётер . Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-9694-1.
Куигг, Крис (9 июля 2019 г.). «Коллоквиум: век теоремы Нётер». arXiv : 1902.01989 [физика.хист-ph].