В евклидовой геометрии перенос — это геометрическое преобразование , которое перемещает каждую точку фигуры, формы или пространства на одинаковое расстояние в заданном направлении. Перевод также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как сдвиг начала системы координат . В евклидовом пространстве любой сдвиг является изометрией .
Если — фиксированный вектор, известный как вектор перемещения , и является начальным положением какого-либо объекта, то функция перевода будет работать как .
Если это перевод, то изображение подмножества функции является переводом by . Часто пишут перевод by .
В геометрии вертикальный сдвиг (также известный как вертикальный сдвиг ) — это сдвиг геометрического объекта в направлении, параллельном вертикальной оси декартовой системы координат . [1] [2] [3]
Часто для графика функции рассматривают вертикальные перемещения . Если f — любая функция от x , то график функции f ( x ) + c (значения которого задаются добавлением константы c к значениям f ) может быть получен путем вертикального перемещения графика f ( x ) по расстоянию c . По этой причине функцию f ( x ) + c иногда называют вертикальным сдвигом f ( x ) . [4] Например, все первообразные функции отличаются друг от друга константой интегрирования и, следовательно, являются вертикальными сдвигами друг друга. [5]
В построении графиков функций горизонтальный сдвиг — это преобразование , в результате которого получается график, эквивалентный сдвигу базового графика влево или вправо в направлении оси X. График перемещается на k единиц по горизонтали путем перемещения каждой точки графика на k единиц по горизонтали.
Для базовой функции f ( x ) и константы k функция, заданная формулой g ( x ) = f ( x − k ), может быть изображена f ( x ) со смещением k единиц по горизонтали.
Если бы о преобразовании функций говорили в терминах геометрических преобразований, возможно, было бы яснее, почему функции перемещаются по горизонтали именно так, как они это делают. При рассмотрении переводов в декартовой плоскости естественно вводить переводы в таком виде обозначений:
или
где и – горизонтальные и вертикальные изменения соответственно.
Если взять параболу y = x 2 , горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет представлен как T ( x , y ) = ( x + 5, y ). Теперь мы должны связать это обозначение преобразования с алгебраическим обозначением. Рассмотрим точку ( a , b ) исходной параболы, которая перемещается в точку ( c , d ) переведенной параболы. Согласно нашему переводу, c = a + 5 и d = b . Точка исходной параболы была b = a 2 . Нашу новую точку можно описать, связав d и c в одном уравнении. b = d и a = c - 5. Итак, d = b = a 2 знак равно ( c - 5) 2 . Поскольку это верно для всех точек нашей новой параболы, новое уравнение имеет вид y = ( x − 5) 2 .
В классической физике поступательное движение — это движение, изменяющее положение объекта, в отличие от вращения . Например, по словам Уиттакера: [6]
Если тело перемещается из одного положения в другое и если линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой набор параллельных прямых длиной ℓ , так что ориентация тела в пространстве равна в неизмененном виде перемещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .
Трансляция – это операция, изменяющая положения всех точек объекта по формуле
где – один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор перемещения, общий для всех точек объекта, описывает особый тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловыми смещениями.
При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.
Оператор перевода превращает функцию исходной позиции , в функцию конечной позиции . Другими словами, определяется так, что Этот оператор является более абстрактным, чем функция, поскольку определяет связь между двумя функциями, а не самими базовыми векторами. Оператор перевода может действовать на многие виды функций, например, когда оператор перевода действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики.
Совокупность всех переводов образует группу переводов , изоморфную самому пространству, и нормальную подгруппу евклидовой группы . Факторгруппа by изоморфна ортогональной группе : _
Поскольку перевод коммутативен , группа перевода абелева . Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа переводов является бесконечной группой .
В теории относительности , в связи с трактовкой пространства и времени как единого пространства-времени , переводы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают сдвиги по времени.
Одним из видов подгрупп трехмерной группы перевода являются группы решетки , которые являются бесконечными группами , но в отличие от групп перевода конечно порождены . То есть конечный порождающий набор порождает всю группу.
Перевод — это аффинное преобразование без фиксированных точек . Умножения матриц всегда имеют начало координат в виде фиксированной точки. Тем не менее, существует общий обходной путь , использующий однородные координаты для представления перевода векторного пространства с умножением матриц : запишите трехмерный вектор, используя 4 однородных координаты, как . [7]
Чтобы перевести объект на вектор , каждый однородный вектор (записанный в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода :
Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:
Обратная матрица перевода может быть получена путем изменения направления вектора:
Аналогично, произведение матриц перевода определяется сложением векторов:
Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц перевода также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).
Хотя геометрическое перемещение часто рассматривается как активный процесс, изменяющий положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут с помощью пассивного преобразования, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического перемещения известна как перемещение осей .
Говорят, что объект, который выглядит одинаково до и после перевода, обладает трансляционной симметрией . Типичным примером является периодическая функция , которая является собственной функцией оператора перевода.
Для описания динамики транспортного средства (или движения любого твердого тела ), включая динамику корабля и динамику самолета , обычно используется механическая модель, состоящая из шести степеней свободы , которая включает перемещения по трем опорным осям, а также вращения вокруг этих трех. оси.
Эти переводы часто называют:
Соответствующие вращения часто называют: