В физике и математике непрерывная трансляционная симметрия — это инвариантность системы уравнений относительно любого трансляционного перемещения (без вращения ). Дискретная трансляционная симметрия инвариантна относительно дискретного трансляционного перемещения.
Аналогично, оператор A на функциях называется трансляционно инвариантным относительно оператора трансляции , если результат после применения A не изменяется, если функция-аргумент транслируется. Точнее, должно выполняться следующее:
Законы физики являются трансляционно инвариантными относительно пространственного переноса, если они не различают различные точки в пространстве. Согласно теореме Нётер , пространственная трансляционная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения импульса .
Трансляционная симметрия объекта означает, что конкретный перевод не изменяет объект. Для данного объекта переводы, к которым это применимо, образуют группу, группу симметрии объекта, или, если объект имеет больше видов симметрии, подгруппу группы симметрии.
Трансляционная инвариантность подразумевает, что, по крайней мере, в одном направлении объект бесконечен: для любой заданной точки p множество точек с теми же свойствами из-за трансляционной симметрии образуют бесконечное дискретное множество { p + n a | n ∈ Z } = p + Z a . Фундаментальные области - это, например, H + [0, 1] a для любой гиперплоскости H, для которой a имеет независимое направление. В 1D это отрезок прямой , в 2D - бесконечная полоса, а в 3D - пластина, такая, что вектор, начинающийся с одной стороны, заканчивается на другой стороне. Обратите внимание, что полоса и пластина не обязательно должны быть перпендикулярны вектору, следовательно, могут быть уже или тоньше длины вектора.
В пространствах с размерностью выше 1 может быть несколько трансляционных симметрий. Для каждого набора из k независимых трансляционных векторов группа симметрии изоморфна Z k . В частности, кратность может быть равна размерности. Это означает, что объект бесконечен во всех направлениях. В этом случае набор всех трансляций образует решетку . Различные базисы трансляционных векторов порождают одну и ту же решетку тогда и только тогда, когда один из них преобразуется в другой матрицей целочисленных коэффициентов, абсолютная величина определителя которой равна 1. Абсолютная величина определителя матрицы, образованной набором трансляционных векторов, является гиперобъемом n -мерного параллелепипеда, стягиваемого набором (также называемым кообъемом решетки). Этот параллелепипед является фундаментальной областью симметрии: на нем или в нем возможен любой узор, и это определяет весь объект. См. также решетка (группа) .
Например, в 2D вместо a и b мы также можем взять a и a − b и т. д. В общем случае в 2D мы можем взять p a + q b и r a + s b для целых чисел p , q , r и s таких, что ps − qr равно 1 или −1. Это гарантирует, что a и b сами по себе являются целочисленными линейными комбинациями двух других векторов. Если нет, то не все переносы возможны с другой парой. Каждая пара a , b определяет параллелограмм, все с одинаковой площадью, величиной векторного произведения . Один параллелограмм полностью определяет весь объект. Без дальнейшей симметрии этот параллелограмм является фундаментальной областью. Векторы a и b могут быть представлены комплексными числами. Для двух заданных точек решетки эквивалентность выбора третьей точки для создания формы решетки представлена модулярной группой , см. решетка (группа) .
В качестве альтернативы, например, прямоугольник может определять весь объект, даже если векторы перемещения не перпендикулярны, если он имеет две стороны, параллельные одному вектору перемещения, в то время как другой вектор перемещения, начинающийся на одной стороне прямоугольника, заканчивается на противоположной стороне.
Например, рассмотрим мозаику с равными прямоугольными плитками с асимметричным узором на них, все ориентированы одинаково, в рядах, со сдвигом для каждого ряда дроби, а не половины, плитки, всегда одинаковой, тогда у нас есть только трансляционная симметрия, группа обоев p 1 (то же самое применимо без сдвига). При вращательной симметрии второго порядка узора на плитке мы имеем p 2 (большая симметрия узора на плитке не меняет этого из-за расположения плиток). Прямоугольник является более удобной единицей для рассмотрения в качестве фундаментальной области (или набора из двух из них), чем параллелограмм, состоящий из части плитки и части другой.
В 2D может быть трансляционная симметрия в одном направлении для векторов любой длины. Одна линия, не в том же направлении, полностью определяет весь объект. Аналогично, в 3D может быть трансляционная симметрия в одном или двух направлениях для векторов любой длины. Одна плоскость ( сечение ) или линия, соответственно, полностью определяет весь объект.
