В математике фриз или узор фриза — это двумерный рисунок, повторяющийся в одном направлении. Термин происходит из архитектуры и декоративно-прикладного искусства , где часто используются такие повторяющиеся узоры. (См. фриз .) Узоры фриза можно разделить на семь типов в соответствии с их симметрией. Набор симметрий узора фриза называется группой фриза .
Группы фриза — это двумерные линейные группы , имеющие повторение только в одном направлении. Они связаны с более сложными группами обоев , которые классифицируют узоры, повторяющиеся в двух направлениях, и кристаллографическими группами , которые классифицируют узоры, повторяющиеся в трех направлениях.
Формально группа фриза — это класс бесконечных дискретных групп симметрии узоров на полосе (бесконечно широком прямоугольнике), следовательно, класс групп изометрий плоскости или полосы. Группа симметрии группы фриза обязательно содержит трансляции и может содержать скользящие отражения , отражения вдоль длинной оси полосы, отражения вдоль узкой оси полосы и повороты на 180° . Существует семь групп фриза, перечисленных в сводной таблице. Многие авторы представляют группы фриза в другом порядке. [1] [2]
Фактические группы симметрии внутри группы фриза характеризуются наименьшим расстоянием трансляции, а для групп фриза с вертикальным линейным отражением или поворотом на 180° (группы 2, 5, 6 и 7) — параметром сдвига, определяющим ось отражения или точку вращения. В случае групп симметрии на плоскости дополнительными параметрами являются направление вектора трансляции, а для групп фриза с горизонтальным линейным отражением, скользящим отражением или поворотом на 180° (группы 3–7) — положение оси отражения или точки вращения в направлении, перпендикулярном вектору трансляции. Таким образом, для группы 1 существует две степени свободы , для групп 2, 3 и 4 — три, а для групп 5, 6 и 7 — четыре.
Для двух из семи групп бордюров (группы 1 и 4) группы симметрии генерируются по отдельности , для четырех (группы 2, 3, 5 и 6) они имеют пару генераторов, а для группы 7 группы симметрии требуют трех генераторов. Группа симметрии в группе бордюра 1, 2, 3 или 5 является подгруппой группы симметрии в последней группе бордюра с тем же самым трансляционным расстоянием. Группа симметрии в группе бордюра 4 или 6 является подгруппой группы симметрии в последней группе бордюра с половиной трансляционного расстояния. Эта последняя группа бордюра содержит группы симметрии простейших периодических узоров в полосе (или плоскости), ряд точек. Любое преобразование плоскости, оставляющее этот узор инвариантным, может быть разложено на трансляцию ( x , y ) ↦ ( n + x , y ) , за которой может следовать отражение либо относительно горизонтальной оси ( x , y ) ↦ ( x , − y ) , либо относительно вертикальной оси ( x , y ) ↦ (− x , y ) , при условии, что эта ось выбрана через или посередине между двумя точками, или поворот на 180° ( x , y ) ↦ (− x , − y ) (то же самое). Поэтому, в некотором смысле, эта группа фриза содержит «самые большие» группы симметрии, которые состоят из всех таких преобразований.
Включение дискретного условия исключает группу, содержащую все переносы, и группы, содержащие произвольно малые переносы (например, группу горизонтальных переносов на рациональные расстояния). Даже помимо масштабирования и сдвига, существует бесконечно много случаев, например, при рассмотрении рациональных чисел, знаменатели которых являются степенями заданного простого числа.
Включение бесконечного условия исключает группы, не имеющие переводов:
В дискретной группе фриза, образованной переносом, отражением (вдоль той же оси) и поворотом на 180°, имеется семь различных подгрупп (вплоть до масштабирования и сдвига узоров). Каждая из этих подгрупп является группой симметрии узора фриза, а образцы узоров показаны на рис. 1. Семь различных групп соответствуют 7 бесконечным сериям осевых точечных групп в трех измерениях , при n = ∞. [3]
Они идентифицированы в таблице ниже с использованием обозначений Германа–Могена , обозначений Коксетера , обозначений Шёнфлиса , орбифолдных обозначений , прозвищ, созданных математиком Джоном Х. Конвеем , и, наконец, описания в терминах переноса, отражения и вращения.
Из семи групп бордюров существует только четыре с точностью до изоморфизма . Две из них являются однократно порожденными и изоморфными ; четыре из них являются двукратно порожденными, среди которых одна абелева и три неабелевы и изоморфны , бесконечной диэдральной группе ; и одна из них имеет три образующих. [5]
Группы можно классифицировать по типу двумерной сетки или решётки. [6] Поскольку решётка наклонная, то второе направление не обязательно должно быть ортогональным направлению повторения.
Существуют программные графические инструменты, которые создают 2D-шаблоны с использованием групп фриза. Обычно весь шаблон обновляется автоматически в ответ на редактирование исходной полосы.
