В геометрии нотация Германа–Могена используется для представления элементов симметрии в точечных группах , плоских группах и пространственных группах . Она названа в честь немецкого кристаллографа Карла Германа (который ввел ее в 1928 году) и французского минералога Шарля-Виктора Могена (который модифицировал ее в 1931 году). Эту нотацию иногда называют международной нотацией , поскольку она была принята в качестве стандарта Международными таблицами по кристаллографии с момента их первого издания в 1935 году.
Нотация Германа–Могена, по сравнению с нотацией Шёнфлиса , предпочтительнее в кристаллографии , поскольку ее можно легко использовать для включения элементов трансляционной симметрии , и она определяет направления осей симметрии. [1] [2]
Оси вращения обозначаются числом n – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... (угол поворота φ = 360°/н ). Для несобственных вращений символы Германа–Могена показывают оси ротоинверсии, в отличие от обозначений Шёнфлиса и Шубникова , которые показывают оси вращения-отражения. Оси ротоинверсии представлены соответствующим числом с макроном , n – 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ... . 2 эквивалентно плоскости зеркала и обычно обозначается как m. Направление плоскости зеркала определяется как направление, перпендикулярное ей (направление оси 2 ).
Символы Германа–Могена показывают неэквивалентные оси и плоскости симметричным образом. Направление элемента симметрии соответствует его положению в символе Германа–Могена. Если ось вращения n и плоскость зеркала m имеют одинаковое направление, то они обозначаются дробью н/м или н /м.
Если две или более осей имеют одинаковое направление, отображается ось с более высокой симметрией. Более высокая симметрия означает, что ось генерирует шаблон с большим количеством точек. Например, оси вращения 3, 4, 5, 6, 7, 8 генерируют шаблоны с 3, 4, 5, 6, 7, 8 точками соответственно. Неправильные оси вращения 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 генерируют шаблоны с 6, 4, 10, 6, 14, 8 точками соответственно. Если ось вращения и ось ротоинверсии генерируют одинаковое количество точек, следует выбрать ось вращения. Например, 3/м комбинация эквивалентна 6. Поскольку 6 генерирует 6 очков, а 3 генерирует только 3, вместо следует написать 63/м (не 6/м , поскольку 6 уже содержит зеркальную плоскость m). Аналогично, в случае, когда присутствуют обе оси 3 и 3 , следует писать 3. Однако мы пишем 4/м , не 4/м , потому что и 4 и 4 генерируют четыре точки. В случае 6/м комбинация, где присутствуют оси 2, 3, 6, 3 и 6, оси 3 , 6 и 6 все генерируют 6-точечные шаблоны, как мы можем видеть на рисунке справа, но следует использовать последний, поскольку это ось вращения — символ будет 6/м .
Наконец, символ Германа – Могена зависит от типа [ необходимо разъяснение ] группы .
Эти группы могут содержать только оси двойного порядка, зеркальные плоскости и/или центр инверсии. Это кристаллографические точечные группы 1 и 1 ( триклинная кристаллическая система ), 2, m и 2/м ( моноклинный ), и 222, 2/м 2/м 2/м , и mm2 ( орторомбическая ). (Короткая форма 2/м 2/м 2/м — это ммм.) Если символ содержит три позиции, то они обозначают элементы симметрии в направлении x , y , z соответственно.
Это кристаллографические группы 3, 32, 3m, 3 и 3 2/м ( тригональная кристаллическая система ), 4, 422, 4мм, 4 , 4 2м, 4/м , и 4/м 2/м 2/м ( четырехугольный ), и 6, 622, 6мм, 6 , 6 м2, 6/м , и 6/м 2/м 2/м ( шестиугольный ). Аналогично можно построить символы некристаллографических групп (с осями порядка 5, 7, 8, 9, ...). Эти группы можно расположить в следующей таблице
Можно заметить, что в группах с нечетными осями n и n третья позиция в символе всегда отсутствует, поскольку все n направлений, перпендикулярных оси высшего порядка, симметрично эквивалентны. Например, на рисунке треугольника все три зеркальные плоскости ( S 0 , S 1 , S 2 ) эквивалентны – все они проходят через одну вершину и центр противоположной стороны. Для четных осей n и n имеются н/2 второстепенные направления и н/2 третичные направления. Например, на рисунке правильного шестиугольника можно выделить два набора зеркальных плоскостей – три плоскости проходят через две противоположные вершины, а три другие плоскости проходят через центры противоположных сторон. В этом случае любой из двух наборов может быть выбран в качестве вторичных направлений, оставшийся набор будет третичными направлениями. Следовательно, группы 4 2m, 6 2m, 8 2m, ... можно записать как 4 m2, 6 m2, 8 m2, ... . Для символов точечных групп этот порядок обычно не имеет значения; однако он будет важен для символов Германа–Могена соответствующих пространственных групп, где вторичные направления являются направлениями элементов симметрии вдоль трансляций элементарной ячейки b и c , в то время как третичные направления соответствуют направлению между трансляциями элементарной ячейки b и c . Например, символы P 6 m2 и P 6 2m обозначают две разные пространственные группы. Это также относится к символам пространственных групп с осями нечетного порядка 3 и 3 . Перпендикулярные элементы симметрии могут идти вдоль трансляций элементарной ячейки b и c или между ними. Пространственные группы P321 и P312 являются примерами первого и второго случаев соответственно.
Символ точечной группы 3 2/м может сбивать с толку; соответствующий символ Шёнфлиса — D 3 d , что означает, что группа состоит из 3-кратной оси, трех перпендикулярных 2-кратных осей и 3 вертикальных диагональных плоскостей, проходящих между этими 2-кратными осями, поэтому кажется, что группу можно обозначить как 32m или 3m2. Однако следует помнить, что, в отличие от обозначения Шёнфлиса, направление плоскости в символе Германа–Могена определяется как направление, перпендикулярное плоскости, а в группе D 3 d все зеркальные плоскости перпендикулярны 2-кратным осям, поэтому их следует записывать в той же позиции, что и 2/м . Во-вторых, эти 2/м комплексы генерируют центр инверсии, который в сочетании с осью вращения 3-го порядка генерирует ось ротоинверсии 3-го порядка .
Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри .
Это кристаллографические группы кубической кристаллической системы : 23, 432, 2/м 3 , 4 3м и 4/м 3 2/м . Все они содержат четыре диагональные оси 3-го порядка. Эти оси расположены как оси 3-го порядка в кубе, направленные вдоль его четырех пространственных диагоналей (куб имеет 4/м 3 2/м симметрия). Эти символы построены следующим образом:
Все символы Германа–Могена, представленные выше, называются полными символами . Для многих групп их можно упростить, опустив n -кратные оси вращения в н/м позиций. Это можно сделать, если ось вращения может быть однозначно получена из комбинации элементов симметрии, представленных в символе. Например, короткий символ для 2/м 2/м 2/м это ммм, для 4/м 2/м 2/м есть 4/м мм, и для 4/м 3 2/м равен m 3 m. В группах, содержащих одну ось высшего порядка, эта ось высшего порядка не может быть опущена. Например, символы 4/м 2/м 2/м и 6/м 2/м 2/м можно упростить до 4/ммм (или 4/м мм) и 6/ммм (или 6/м мм), но не ммм; сокращенный символ для 3 2/м составляет 3 м. Полные и сокращенные символы для всех 32 кристаллографических точечных групп приведены на странице кристаллографических точечных групп .
Помимо пяти кубических групп, есть еще две некристаллографические икосаэдрические группы ( I и I h в нотации Шенфлиса ) и две предельные группы ( K и K h в нотации Шенфлиса ). Символы Германа–Могена не были разработаны для некристаллографических групп, поэтому их символы скорее номинальные и основаны на сходстве с символами кристаллографических групп кубической кристаллической системы. [3] [4] [5] [6] [7] Группа I может быть обозначена как 235, 25, 532, 53. Возможные короткие символы для I h — m 35 , m 5 , m 5 m, 53 m. Возможные символы для предельной группы K — ∞∞ или 2∞, а для K h — ∞/м ∞ или м ∞ или ∞∞м.
Группы плоскостей можно изобразить с помощью системы Германа–Могена. Первая буква — это либо строчная p , либо c, представляющая примитивные или центрированные элементарные ячейки . Следующее число — это вращательная симметрия, как указано выше. Наличие зеркальных плоскостей обозначается m , тогда как скользящие отражения обозначаются только g . Винтовые оси не существуют в двумерных пространствах.
Символ пространственной группы определяется путем объединения заглавной буквы, описывающей тип решетки , с символами, указывающими элементы симметрии. Элементы симметрии упорядочены так же, как и в символе соответствующей точечной группы (группы, которая получается, если удалить все трансляционные компоненты из пространственной группы). Символы для элементов симметрии более разнообразны, поскольку в дополнение к осям вращения и зеркальным плоскостям пространственная группа может содержать более сложные элементы симметрии — винтовые оси (комбинация вращения и трансляции) и плоскости скольжения (комбинация зеркального отражения и трансляции). В результате одной и той же точечной группе может соответствовать множество различных пространственных групп. Например, выбирая различные типы решеток и плоскости скольжения, можно сгенерировать 28 различных пространственных групп из точечной группы mmm, например, Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd и т. д. В некоторых случаях пространственная группа генерируется, когда трансляции просто добавляются к точечной группе. [8] В других случаях нет точки, вокруг которой применяется точечная группа. Обозначение несколько двусмысленно, без таблицы, дающей больше информации. Например, пространственные группы I23 и I2 1 3 (№ 197 и 199) обе содержат оси вращения двойного порядка, а также оси винтов двойного порядка. В первой оси двойного порядка пересекают оси двойного порядка, тогда как во второй — нет. [9]
Вот типы решеток Браве в трех измерениях:
Ось винта обозначается числом n , где угол поворота равен 360°/н . Степень переноса затем добавляется как нижний индекс, показывающий, насколько далеко вдоль оси происходит перенос, как часть параллельного вектора решетки. Например, 2 1 — это поворот на 180° (в два раза), за которым следует перенос 1/2 вектора решетки. 3 1 — это поворот на 120° (тройной), за которым следует перенос 1/3 вектора решетки.
Возможные оси винта: 2 1 , 3 1 , 3 2 , 4 1 , 4 2 , 4 3 , 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 и 6 5 . Существует 4 энантиоморфные пары осей: (3 1 – 3 2 ), (4 1 – 4 3 ), (6 1 – 6 5 ) и (6 2 – 6 4 ). Этот энантиоморфизм приводит к 11 парам энантиоморфных пространственных групп, а именно
Ориентация плоскости скольжения задается положением символа в обозначении Германа-Могена, как и в случае с зеркальными плоскостями. Они обозначаются как a , b , или c в зависимости от того, по какой оси (направлению) происходит скольжение. Существует также n - скольжение, которое является скольжением вдоль половины диагонали грани, и d -скольжение, которое происходит вдоль четверти либо грани, либо пространственной диагонали элементарной ячейки. D - скольжение часто называют алмазной плоскостью скольжения, поскольку оно присутствует в структуре алмаза . В случаях, когда есть две возможности среди a , b , и c (например, a или b ), используется буква e . (В этих случаях центрирование подразумевает, что происходят оба скольжения.) Подводя итог: