Нотация Шёнфлиса (или Шёнфлиса ) , названная в честь немецкого математика Артура Морица Шёнфлиса , — это нотация, в основном используемая для указания точечных групп в трёх измерениях . Поскольку одной точечной группы вполне достаточно для описания симметрии молекулы , эта нотация часто оказывается достаточной и широко используется для спектроскопии . Однако в кристаллографии существует дополнительная трансляционная симметрия , и точечных групп недостаточно для описания полной симметрии кристаллов, поэтому вместо неё обычно используется полная пространственная группа . Наименование полных пространственных групп обычно следует другому общему соглашению — нотации Германа–Могена , также известной как международная нотация.
Хотя нотация Шёнфлиса без верхних индексов является чистой нотацией точечной группы, при желании верхние индексы могут быть добавлены для дальнейшего указания отдельных пространственных групп. Однако для пространственных групп связь с базовыми элементами симметрии гораздо более ясна в нотации Германа–Могена, поэтому последняя нотация обычно предпочтительна для пространственных групп.
Элементы симметрии обозначаются как i для центров инверсии, C для собственных осей вращения, σ для зеркальных плоскостей и S для несобственных осей вращения ( осей вращения-отражения ). За C и S обычно следует нижний индекс (абстрактно обозначаемый n ), указывающий возможный порядок вращения.
По соглашению, ось собственного вращения наибольшего порядка определяется как главная ось. Все остальные элементы симметрии описываются относительно нее. Вертикальная плоскость зеркала (содержащая главную ось) обозначается σ v ; горизонтальная плоскость зеркала (перпендикулярная главной оси) обозначается σ h .
В трех измерениях существует бесконечное число точечных групп, но все они могут быть классифицированы по нескольким семействам.
Все группы, которые не содержат более одной оси более высокого порядка (порядка 3 или более), можно расположить так, как показано в таблице ниже; символы красного цвета используются редко.
В кристаллографии, из-за теоремы о кристаллографических ограничениях , n ограничено значениями 1, 2, 3, 4 или 6. Некристаллографические группы показаны серым фоном. D 4d и D 6d также запрещены, поскольку они содержат несобственные вращения с n = 8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T , T d , T h , O и O h составляют 32 кристаллографические точечные группы .
Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри . Существуют еще две предельные группы, не перечисленные в таблице: K (от Kugel , по-немецки шар, сфера), группа всех вращений в трехмерном пространстве; и K h , группа всех вращений и отражений. В математике и теоретической физике они известны соответственно как специальная ортогональная группа и ортогональная группа в трехмерном пространстве с символами SO(3) и O(3).
Пространственные группы с заданной точечной группой нумеруются числами 1, 2, 3, ... (в том же порядке, что и их международный номер), и этот номер добавляется как верхний индекс к символу Шёнфлиса для соответствующей точечной группы. Например, группы с номерами от 3 до 5, точечная группа которых C 2, имеют символы Шёнфлиса C1
2, С2
2, С3
2.
В то время как в случае точечных групп символ Шёнфлиса однозначно определяет элементы симметрии группы, дополнительный верхний индекс для пространственной группы не несет никакой информации о трансляционной симметрии пространственной группы (центрировании решетки, трансляционных компонентах осей и плоскостей), поэтому необходимо обратиться к специальным таблицам, содержащим информацию о соответствии между обозначениями Шёнфлиса и Германа–Могена . Такая таблица приведена на странице Список пространственных групп .