Группа линий — это математический способ описания симметрий, связанных с движением вдоль линии. Эти симметрии включают повторение вдоль этой линии, делая ее одномерной решеткой. Однако группы линий могут иметь более одного измерения, и они могут включать эти измерения в свои изометрии или преобразования симметрии.
Линейную группу можно построить, взяв точечную группу в полных измерениях пространства, а затем добавив переносы или смещения вдоль линии к каждому из элементов точечной группы, как при построении пространственной группы . Эти смещения включают повторы и часть повтора, по одной части на каждый элемент. Для удобства дроби масштабируются по размеру повтора; таким образом, они находятся внутри сегмента элементарной ячейки линии .
Существуют 2 одномерные линейные группы . Они являются бесконечными пределами дискретных двумерных точечных групп C n и D n :
Существует 7 групп фризов , которые включают отражения вдоль линии, отражения перпендикулярно линии и повороты на 180° в двух измерениях.
Существует 13 бесконечных семейств трехмерных линейных групп [1] , полученных из 7 бесконечных семейств аксиальных трехмерных точечных групп . Как и в случае с пространственными группами в целом, линейные группы с одной и той же точечной группой могут иметь различные шаблоны смещений. Каждое из семейств основано на группе вращений вокруг оси с порядком n . Группы перечислены в нотации Германа-Могена , а для точечных групп — в нотации Шёнфлиса . Похоже, что для линейных групп нет сопоставимых обозначений. Эти группы также можно интерпретировать как шаблоны групп обоев [2], обернутых вокруг цилиндра n раз и бесконечно повторяющихся вдоль оси цилиндра, во многом подобно трехмерным точечным группам и группам фриза. Таблица этих групп:
Типы смещения:
Обратите внимание, что группы обоев pm, pg, cm и pmg появляются дважды. Каждое появление имеет различную ориентацию относительно оси группы линий; отражение параллельно (h) или перпендикулярно (v). Другие группы не имеют такой ориентации: p1, p2, pmm, pgg, cmm.
Если точечная группа ограничена кристаллографической точечной группой , симметрией некоторой трехмерной решетки, то полученная линейная группа называется стержневой группой . Существует 75 стержневых групп.
Переходя к пределу континуума , при n, стремящемся к ∞, возможными точечными группами становятся C ∞ , C ∞h , C ∞v , D ∞ и D ∞h , а линейные группы имеют соответствующие возможные смещения, за исключением зигзага.
Группы C n ( q ) и D n ( q ) выражают симметрии спиральных объектов. C n ( q ) относится к n спиралям, ориентированным в одном направлении, тогда как D n ( q ) относится к n неориентированным спиралям и 2n спиралям с чередующейся ориентацией. Изменение знака q создает зеркальное изображение, обращая хиральность или направленность спиралей.
Нуклеиновые кислоты , ДНК и РНК , хорошо известны своей спиральной симметрией. Нуклеиновые кислоты имеют четко определенное направление, что дает одинарные нити C 1 ( q ). Двойные нити имеют противоположные направления и находятся по разные стороны от оси спирали, что дает им D 1 ( q ).