Группа обоев (или группа плоской симметрии или группа плоской кристаллографии ) — это математическая классификация двумерного повторяющегося узора, основанная на симметриях в узоре. Такие узоры часто встречаются в архитектуре и декоративно-прикладном искусстве , особенно в текстиле , плитке и обоях .
Самая простая группа обоев, Группа p 1, применяется, когда нет никакой симметрии за пределами простого перевода узора в двух измерениях. Следующие узоры имеют больше форм симметрии, включая некоторые вращательные и отражательные симметрии:
Примеры A и B имеют одинаковую группу обоев; она называется p4m в нотации IUCr и *442 в нотации орбифолда . Пример C имеет другую группу обоев, называемую p4g или 4*2. Тот факт, что A и B имеют одну и ту же группу обоев, означает, что они имеют одинаковые симметрии, независимо от поверхностных деталей дизайна; тогда как C имеет другой набор симметрий.
Число групп симметрии зависит от числа измерений в узорах. Группы обоев применяются к двумерному случаю, промежуточному по сложности между более простыми группами фриза и трехмерными пространственными группами .
Доказательство того, что существует только 17 различных групп таких плоских симметрий , было впервые получено Евграфом Федоровым в 1891 году [1] , а затем независимо получено Джорджем Полиа в 1924 году [2]. Доказательство того, что список групп обоев является полным, появилось только после того, как был рассмотрен гораздо более сложный случай пространственных групп . Семнадцать групп обоев перечислены ниже; см. § Семнадцать групп.
Симметрия узора — это, грубо говоря, способ преобразования узора таким образом, чтобы он выглядел точно так же после преобразования. Например, трансляционная симметрия присутствует, когда узор можно перенести (другими словами, сместить) на некоторое конечное расстояние и он не изменится. Представьте себе сдвиг набора вертикальных полос по горизонтали на одну полосу. Узор не изменится. Строго говоря, истинная симметрия существует только в узорах, которые повторяются точно и продолжаются бесконечно. Набор, скажем, из пяти полос не имеет трансляционной симметрии — при сдвиге полоса на одном конце «исчезает», а новая полоса «добавляется» на другом конце. На практике, однако, классификация применяется к конечным узорам, и небольшие недостатки могут игнорироваться.
Типы преобразований, которые здесь уместны, называются изометриями евклидовой плоскости . Например:
Однако пример C отличается . Он имеет только отражения в горизонтальном и вертикальном направлениях, а не по диагональным осям. Если перевернуть по диагональной линии, то не получится тот же самый узор , а исходный узор, смещенный на определенное расстояние. Это одна из причин, по которой группа обоев A и B отличается от группы обоев C.
Другое преобразование — «Скольжение», комбинация отражения и переноса параллельно линии отражения.
С математической точки зрения группа обоев или плоская кристаллографическая группа представляет собой тип топологически дискретной группы изометрий евклидовой плоскости , содержащей две линейно независимые трансляции .
Две такие группы изометрий относятся к одному типу (одной и той же группе обоев), если они совпадают с точностью до аффинного преобразования плоскости . Таким образом, например, перенос плоскости (следовательно, перенос зеркал и центров вращения) не влияет на группу обоев. То же самое относится к изменению угла между векторами переноса, при условии, что это не добавляет и не удаляет никакой симметрии (это имеет место только в том случае, если нет зеркал и скользящих отражений , а вращательная симметрия имеет порядок не более 2).
В отличие от трехмерного случая , можно эквивалентно ограничить аффинные преобразования теми, которые сохраняют ориентацию .
Из теоремы Бибербаха следует, что все группы обоев различны даже как абстрактные группы (в отличие, например, от групп бордюров , две из которых изоморфны Z ).
Двумерные узоры с двойной трансляционной симметрией можно классифицировать по типу их группы симметрии .
Изометрии евклидовой плоскости делятся на четыре категории (для получения дополнительной информации см. статью Изометрия евклидовой плоскости ).
Условие линейно независимых трансляций означает, что существуют линейно независимые векторы v и w (в R 2 ), такие, что группа содержит как T v , так и T w .
Цель этого условия — отличить группы обоев от групп фриза , которые обладают трансляцией, но не двумя линейно независимыми, и от двумерных дискретных точечных групп , которые вообще не имеют трансляций. Другими словами, группы обоев представляют собой узоры, которые повторяются в двух различных направлениях, в отличие от групп фриза, которые повторяются только вдоль одной оси.
(Можно обобщить эту ситуацию. Например, можно изучать дискретные группы изометрий R n с m линейно независимыми переносами, где m — любое целое число в диапазоне 0 ≤ m ≤ n .)
Условие дискретности означает, что существует некоторое положительное действительное число ε, такое, что для каждого переноса T v в группе вектор v имеет длину не менее ε (конечно, за исключением случая, когда v является нулевым вектором, но условие независимых переносов предотвращает это, поскольку любое множество, содержащее нулевой вектор, по определению линейно зависимо и, таким образом, запрещено).
Цель этого условия — гарантировать, что группа имеет компактную фундаментальную область, или, другими словами, «ячейку» ненулевой, конечной площади, которая повторяется через плоскость. Без этого условия можно было бы иметь, например, группу, содержащую перенос T x для каждого рационального числа x , что не соответствовало бы ни одному разумному узору обоев.
Одним из важных и нетривиальных следствий условия дискретности в сочетании с условием независимых трансляций является то, что группа может содержать только вращения порядка 2, 3, 4 или 6; то есть каждое вращение в группе должно быть вращением на 180°, 120°, 90° или 60°. Этот факт известен как теорема о кристаллографическом ограничении [3] и может быть обобщен на случаи более высокой размерности.
Кристаллография различает 230 пространственных групп , что намного больше, чем 17 групп обоев, но многие симметрии в группах одинаковы. Таким образом, можно использовать схожую нотацию для обоих видов групп, Карла Германа и Шарля-Виктора Могена . Пример полного названия обоев в стиле Германа-Могена (также называемого нотацией IUCr ) — p31m с четырьмя буквами или цифрами; более распространенным является сокращенное название, например cmm или pg.
Для групп обоев полная нотация начинается с p или c , для примитивной ячейки или гранецентрированной ячейки ; они объясняются ниже. За ней следует цифра n , указывающая наивысший порядок вращательной симметрии: 1-кратная (нет), 2-кратная, 3-кратная, 4-кратная или 6-кратная. Следующие два символа указывают симметрии относительно одной оси трансляции узора, называемой «главной»; если есть зеркало, перпендикулярное оси трансляции, то это главная (или если их две, то одна из них). Символы — m , g , или 1 , для зеркального, скользящего отражения или отсутствия. Ось зеркального или скользящего отражения перпендикулярна главной оси для первой буквы и либо параллельна, либо наклонена на 180°/ n (когда n > 2) для второй буквы. Многие группы включают другие симметрии, подразумеваемые данными. В краткой записи опускаются цифры или буква m , которые можно вывести, если это не приводит к путанице с другой группой.
Примитивная ячейка — это минимальная область, повторяемая трансляциями решетки. Все, кроме двух, группы симметрии обоев описываются относительно осей примитивной ячейки, координатного базиса, использующего векторы трансляции решетки. В оставшихся двух случаях описание симметрии дается относительно центрированных ячеек, которые больше примитивной ячейки и, следовательно, имеют внутреннее повторение; направления их сторон отличаются от направлений векторов трансляции, охватывающих примитивную ячейку. Обозначение Германа-Могена для групп кристаллического пространства использует дополнительные типы ячеек.
Вот все имена, которые различаются в краткой и полной записи.
Остальные имена — p1 , p2 , p3 , p3m1 , p31m , p4 и p6 .
Орбифолдная нотация для групп обоев, предложенная Джоном Хортоном Конвеем (Conway, 1992) (Conway 2008), основана не на кристаллографии, а на топологии. Можно сложить бесконечную периодическую мозаику плоскости в ее сущность, орбифолд , а затем описать ее несколькими символами.
Группа, обозначенная в кристаллографической нотации cmm, в нотации Конвея будет 2*22 . 2 перед * говорит о том, что есть центр вращения 2-го порядка без зеркала через него. Сама * говорит о том, что есть зеркало. Первая 2 после * говорит о том, что есть центр вращения 2-го порядка на зеркале. Последняя 2 говорит о том, что есть независимый второй центр вращения 2-го порядка на зеркале, который не является дубликатом первого по симметрии.
Группа, обозначенная pgg, будет 22× . Есть два чистых 2-кратных центра вращения и ось скользящего отражения. Сравните это с pmg, Conway 22* , где кристаллографическая нотация упоминает скольжение, но то, которое подразумевается в других симметриях орбифолда.
Включена также скобочная нотация Коксетера , основанная на отражательных группах Коксетера и модифицированная с помощью надстрочных индексов « плюс», учитывающих вращения, несобственные вращения и переносы.
Орбифолд можно рассматривать как многоугольник с гранью, рёбрами и вершинами, которые можно развернуть, чтобы сформировать возможно бесконечное множество многоугольников, которые заполняют либо сферу , либо плоскость, либо гиперболическую плоскость . Когда он заполняет плоскость, он даст группу обоев, а когда он заполняет сферу или гиперболическую плоскость, он даст либо сферическую группу симметрии , либо гиперболическую группу симметрии . Тип пространства, которое заполняет многоугольник, можно найти, вычислив эйлерову характеристику , χ = V − E + F , где V — число углов (вершин), E — число рёбер, а F — число граней. Если эйлерова характеристика положительна, то орбифолд имеет эллиптическую (сферическую) структуру; если она равна нулю, то он имеет параболическую структуру, т. е. группу обоев; а если она отрицательна, то он будет иметь гиперболическую структуру. Когда перечисляется полный набор возможных орбифолдов, обнаруживается, что только 17 из них имеют эйлерову характеристику 0.
Когда орбифолд реплицируется с помощью симметрии, чтобы заполнить плоскость, его особенности создают структуру вершин, ребер и граней многоугольников, которая должна соответствовать характеристике Эйлера. Обратным образом, можно присвоить числа особенностям орбифолда, но дроби, а не целые числа. Поскольку сам орбифолд является частным полной поверхности по группе симметрии, эйлерова характеристика орбифолда является частным эйлеровой характеристики поверхности по порядку группы симметрии.
Характеристика Эйлера орбифолда равна 2 минус сумма значений признаков, назначаемых следующим образом:
Для группы обоев сумма характеристик должна быть равна нулю; таким образом, сумма признаков должна быть равна 2.
Теперь перечисление всех групп обоев становится вопросом арифметики, перечисления всех строк функций со значениями, сумма которых составляет 2.
Строки признаков с другими суммами не являются бессмыслицей; они подразумевают неплоские мозаики, которые здесь не обсуждаются. (Когда орбифолдная эйлерова характеристика отрицательна, мозаика гиперболическая ; когда положительная, сферическая или плохая ).
Чтобы определить, какая группа обоев соответствует данному дизайну, можно воспользоваться следующей таблицей. [4]
См. также этот обзор с диаграммами.
Каждая из групп в этом разделе имеет две диаграммы клеточной структуры, которые следует интерпретировать следующим образом (имеет значение форма, а не цвет):
На диаграммах справа различные классы эквивалентности элементов симметрии окрашены (и повернуты) по-разному.
Коричневая или желтая область указывает на фундаментальную область , т.е. наименьшую часть узора, которая повторяется.
На диаграммах справа показана ячейка решетки, соответствующая наименьшим перемещениям; на диаграммах слева иногда показана большая площадь.
Два перемещения (стороны ячейки) могут иметь разную длину и образовывать любой угол.
(Первые три имеют вертикальную ось симметрии, а последние два — разные диагональные.)
![Одна из раскрасок мозаики из плосконосых квадратов; линии скользящего отражения идут в направлении вверх слева/вниз справа; если игнорировать цвета, то симметрии гораздо больше, чем просто pg, тогда это p4g (см. там это изображение с одинаково окрашенными треугольниками)[5]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Tile_33434.svg/1280px-Tile_33434.svg.png)
Без деталей внутри зигзагообразных полос коврик имеет тип pmg; с деталями, но без различия коричневого и черного цветов — тип pgg.
Если не обращать внимания на волнистые края плитки, то покрытие — это pgg.
Вращательная симметрия 2-го порядка с центрами вращения в центрах сторон ромба является следствием других свойств.
Шаблон соответствует каждому из следующих:
Узор p 4 можно рассматривать как повторение в рядах и столбцах одинаковых квадратных плиток с 4-кратной вращательной симметрией. Также его можно рассматривать как шахматный узор из двух таких плиток, на коэффициент √ 2 меньших и повернутых на 45°.
Это соответствует простой сетке строк и столбцов равных квадратов с четырьмя осями отражения. Также это соответствует шахматному узору из двух таких квадратов.
Примеры показаны с наименьшими перемещениями по горизонтали и вертикали (как на схеме):
Примеры показаны с наименьшими диагональными переводами:
Рисунок p 4 g можно рассматривать как шахматный рисунок копий квадратной плитки с 4-кратной вращательной симметрией и ее зеркальным отражением. В качестве альтернативы его можно рассматривать (сдвинув половину плитки) как шахматный рисунок копий горизонтально и вертикально симметричной плитки и ее повернутой на 90° версии. Обратите внимание, что ни один из них не применим к простому шахматному рисунку из черных и белых плиток, это группа p4m (с диагональными ячейками переноса).
Представьте себе мозаику плоскости с равносторонними треугольниками одинакового размера, со сторонами, соответствующими наименьшим переносам. Тогда половина треугольников находится в одной ориентации, а другая половина перевернута. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одинаковой ориентации равны, в то время как оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка, но эти два не равны, не являются зеркальным отражением друг друга, и не оба симметричны (если они равны, то это p 6 , если они являются зеркальным отражением друг друга, то это p 31 m , если они оба симметричны, то это p 3 m 1 ; если применимы два из трех, то и третья, и это p 6 m ). Для данного изображения возможны три из этих мозаик, каждая с центрами вращения в качестве вершин, т. е. для любой мозаики возможны два сдвига. С точки зрения изображения: вершинами могут быть красные, синие или зеленые треугольники.
Эквивалентно представьте себе мозаику плоскости с правильными шестиугольниками, стороны которых равны наименьшему расстоянию переноса, деленному на √ 3 . Тогда эта группа обоев соответствует случаю, когда все шестиугольники равны (и находятся в одной и той же ориентации) и имеют вращательную симметрию третьего порядка, в то время как у них нет симметрии зеркального отображения (если они имеют вращательную симметрию шестого порядка, то это p 6 , если они симметричны относительно главных диагоналей, то это p 31 m , если они симметричны относительно линий, перпендикулярных сторонам, то это p 3 m 1 ; если применимы два из трех, то и третья, то это p 6 m ). Для данного изображения возможны три из этих мозаик, каждая с одной третью центров вращения в качестве центров шестиугольников. С точки зрения изображения: центры шестиугольников могут быть красными, синими или зелеными треугольниками.
Как и для p3 , представьте себе мозаику плоскости с равносторонними треугольниками одинакового размера, со сторонами, соответствующими наименьшим переносам. Тогда половина треугольников находится в одной ориентации, а другая половина перевернута. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одинаковой ориентации равны, в то время как оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка, и оба симметричны, но оба не равны и не являются зеркальным отражением друг друга. Для данного изображения возможны три из этих мозаик, каждая с центрами вращения в качестве вершин. С точки зрения изображения: вершинами могут быть красные, синие или зеленые треугольники.
Как и для p 3 и p 3 m 1 , представьте себе мозаику плоскости с равносторонними треугольниками одинакового размера, со сторонами, соответствующими наименьшим переносам. Тогда половина треугольников находится в одной ориентации, а другая половина перевернута. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одинаковой ориентации равны, в то время как оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка и являются зеркальным отражением друг друга, но сами не симметричны и не равны. Для данного изображения возможна только одна такая мозаика. С точки зрения изображения: вершинами должны быть красные треугольники, а не синие треугольники.
Узор с такой симметрией можно рассматривать как мозаику плоскости равными треугольными плитками с симметрией C3 или, что эквивалентно, мозаику плоскости равными шестиугольными плитками с симметрией C6 ( при этом края плиток не обязательно являются частью узора) .
Узор с этой симметрией можно рассматривать как мозаику плоскости равными треугольными плитками с симметрией D 3 или, что эквивалентно, мозаику плоскости равными шестиугольными плитками с симметрией D 6 (при этом края плиток не обязательно являются частью узора). Таким образом, простейшими примерами являются треугольная решетка с соединительными линиями или без них, а также шестиугольная мозаика с одним цветом для обводки шестиугольников и одним для фона.
Существует пять типов решеток или решеток Браве , соответствующих пяти возможным группам обоев самой решетки. Группа обоев узора с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньше симметрии, чем сама решетка.
Фактическую группу симметрии следует отличать от группы обоев. Группы обоев — это наборы групп симметрии. Существует 17 таких наборов, но для каждого набора существует бесконечно много групп симметрии в смысле фактических групп изометрий. Они зависят, помимо группы обоев, от ряда параметров для векторов трансляции, ориентации и положения осей отражения и центров вращения.
Число степеней свободы равно:
Однако внутри каждой группы обоев все группы симметрии алгебраически изоморфны.
Некоторые изоморфизмы групп симметрии:
Обратите внимание, что когда преобразование уменьшает симметрию, преобразование того же рода (обратное) очевидно для некоторых шаблонов увеличивает симметрию. Такое особое свойство шаблона (например, расширение в одном направлении создает шаблон с 4-кратной симметрией) не считается формой дополнительной симметрии.
Изменение цвета не влияет на группу обоев, если любые две точки, имевшие одинаковый цвет до изменения, будут иметь тот же цвет и после изменения, а любые две точки, имевшие разные цвета до изменения, будут иметь разные цвета и после изменения.
Если применимо первое, но не второе, например, при преобразовании цветного изображения в черно-белое, то симметрия сохраняется, но может усилиться, так что группа обоев может измениться.
Несколько программных графических инструментов позволят вам создавать 2D-узоров с использованием групп симметрии обоев. Обычно вы можете редактировать исходную плитку, а ее копии во всем узоре обновляются автоматически.
