Список сферических групп симметрии

Конечные сферические группы симметрии также называются точечными группами в трех измерениях . Существует пять фундаментальных классов симметрии, которые имеют треугольные фундаментальные области: диэдральная , циклическая , тетраэдральная , октаэдральная и икосаэдрическая симметрия.

В этой статье перечислены группы по нотации Шёнфлиса , нотации Коксетера , ^[1] орбифолдной нотации , ^[2] и порядку. Джон Конвей использует вариацию нотации Шёнфлиса, основанную на кватернионной алгебраической структуре групп, помеченную одной или двумя заглавными буквами и целыми индексами. Порядок группы определяется как нижний индекс, если только порядок не удваивается для символов с префиксом плюс или минус, "±", что подразумевает центральную инверсию . ^[3]

Также дана нотация Германа–Могена (международная нотация). Кристаллографические группы, всего 32, представляют собой подмножество с порядками элементов 2, 3, 4 и 6. ^[4]

Инволюционная симметрия

Существует четыре инволюционные группы: отсутствие симметрии (C ₁ ), зеркальная симметрия (C _s ), 2-кратная вращательная симметрия (C ₂ ) и центральная точечная симметрия (C _i ).

Циклическая симметрия

Существует четыре бесконечных циклических семейства симметрии , где n  = 2 или выше. ( n может быть равно 1 как особый случай, так как симметрия отсутствует )

Диэдральная симметрия

Существует три бесконечных семейства диэдральной симметрии , где n = 2 или выше ( в частном случае n может быть равно 1).

Многогранная симметрия

Существует три типа полиэдральной симметрии : тетраэдрическая симметрия , октаэдрическая симметрия и икосаэдрическая симметрия , названные в честь правильных многогранников с треугольными гранями, обладающих этими симметриями.

Непрерывные симметрии

Все дискретные точечные симметрии являются подгруппами определенных непрерывных симметрий. Их можно классифицировать как произведения ортогональных групп O( n ) или специальных ортогональных групп SO( n ). O(1) — это просто ортогональное отражение, двугранная симметрия порядка 2, Dih ₁ . SO(1) — это просто тождество. Для завершения необходимы полуобороты, C _{2 .}

Смотрите также

• Кристаллографическая точечная группа
• Группа треугольников
• Список групп плоской симметрии
• Точечные группы в двух измерениях

Ссылки

1. Джонсон, 2015
2. Конвей, Джон Х. (2008). Симметрии вещей . Уэллсли, Массачусетс: AK Peters. ISBN 978-1-56881-220-5. OCLC  181862605.
3. Конвей, Джон; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрии, арифметике и симметрии . Натик, Массачусетс: AK Peters. ISBN 978-1-56881-134-5. OCLC  560284450.
4. Сэндс, «Введение в кристаллографию», 1993

Дальнейшее чтение

• Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), Приложение I
• Сэндс, Дональд Э. (1993). "Кристаллические системы и геометрия". Введение в кристаллографию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. стр. 165. ISBN 0-486-67839-3.
• О кватернионах и октонионах , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5 
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , Таблица 11.4 Конечные группы изометрий в 3-пространстве 

Внешние ссылки

• Конечные сферические группы симметрии
• Вайсштейн, Эрик В. «Символ Шенфлиса». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Кристаллографические точечные группы». MathWorld .
• Простейшие канонические многогранники каждого типа симметрии, Дэвид И. МакКуи