В математике фриз или узор фриза — это двумерный рисунок, повторяющийся в одном направлении. Этот термин заимствован из архитектуры и декоративного искусства , где часто используются такие повторяющиеся узоры. (См. фриз .) Узоры фризов можно разделить на семь типов в зависимости от их симметрии. Набор симметрий рисунка фриза называется группой фриза .
Группы фризов — это двумерные группы линий , повторяющиеся только в одном направлении. Они относятся к более сложным группам обоев , которые классифицируют узоры, повторяющиеся в двух направлениях, и кристаллографическим группам , которые классифицируют узоры, повторяющиеся в трех направлениях.
Формально группа фриза — это класс бесконечных дискретных групп симметрии узоров на полосе (бесконечно широком прямоугольнике), следовательно , класс групп изометрий плоскости или полосы. Группа симметрии группы фриза обязательно содержит трансляции и может содержать скользящие отражения , отражения вдоль длинной оси полосы, отражения вдоль узкой оси полосы и повороты на 180° . Всего имеется семь групп фризов, перечисленных в сводной таблице. Многие авторы представляют группы фризов в разном порядке. [1] [2]
Реальные группы симметрии внутри группы фриза характеризуются наименьшим расстоянием трансляции, а для групп фризов с отражением вертикальной линии или поворотом на 180° (группы 2, 5, 6 и 7) — параметром сдвига, определяющим ось отражения. или точка вращения. В случае групп симметрии в плоскости дополнительными параметрами являются направление вектора трансляции, а для групп фризов с горизонтальным линейным отражением, скользящим отражением или поворотом на 180° (группы 3–7) – положение отражения. ось или точка вращения в направлении, перпендикулярном вектору перемещения. Таким образом, существует две степени свободы для группы 1, три для групп 2, 3 и 4 и четыре для групп 5, 6 и 7.
Для двух из семи групп фриза (группы 1 и 4) группы симметрии порождены одиночно , для четырех (группы 2, 3, 5 и 6) они имеют пару образующих, а для группы 7 группы симметрии требуют трех образующих. . Группа симметрии в группе фриза 1, 2, 3 или 5 является подгруппой группы симметрии в последней группе фриза с тем же расстоянием перевода. Группа симметрии в группе фриза 4 или 6 — это подгруппа группы симметрии в последней группе фриза с половиной поступательного расстояния. Эта последняя группа фризов содержит группы симметрии простейших периодических узоров в полосе (или плоскости), ряду точек. Любое преобразование плоскости, оставляющее этот шаблон инвариантным, может быть разложено на сдвиг ( x , y ) ↦ ( n + x , y ) , за которым необязательно следует отражение по любой горизонтальной оси ( x , y ) ↦ ( x , - y ) или вертикальная ось, ( x , y ) ↦ (- x , y ) , при условии, что эта ось выбрана через или посередине между двумя точками, или поворот на 180 °, ( x , y ) ↦ (- x , − y ) (то же самое). Поэтому в каком-то смысле эта группа фризов содержит «самые большие» группы симметрии, состоящие из всех подобных преобразований.
Включение условия дискретности заключается в исключении группы, содержащей все переводы, и групп, содержащих сколь угодно малые сдвиги (например, группу горизонтальных сдвигов на рациональные расстояния). Даже если не считать масштабирования и сдвига, существует бесконечно много случаев, например, при рассмотрении рациональных чисел, знаменателями которых являются степени заданного простого числа.
Включение условия бесконечности заключается в исключении групп, не имеющих переводов:
В дискретной группе фризов есть семь различных подгрупп (вплоть до масштабирования и смещения узоров), создаваемых перемещением, отражением (вдоль одной оси) и поворотом на 180°. Каждая из этих подгрупп представляет собой группу симметрии фриза, а образцы рисунков показаны на рис. 1. Семь различных групп соответствуют 7 бесконечным сериям осевых точечных групп в трех измерениях с n = ∞. [3]
Они идентифицированы в таблице ниже с использованием нотации Германа-Могена (или нотации IUC ), [4] нотации Коксетера , нотации Шенфлиса , орбифолдной нотации , прозвищ, созданных математиком Джоном Х. Конвеем , и, наконец, описания с точки зрения перевода, отражений и вращения.
Из семи групп фризов с точностью до изоморфизма только четыре . Два из них являются единственно порожденными и изоморфны ; четыре из них двукратно порождены, среди которых один абелев и три неабелевых и изоморфны бесконечной группе диэдра ; и один из них имеет три генератора. [6]
Группы можно классифицировать по типу двумерной сетки или решетки. [7] Наклонная решетка означает, что второе направление не обязательно должно быть ортогональным направлению повторения.
Существуют программные графические инструменты, которые создают 2D-узоры с использованием групп фризов. Обычно весь шаблон обновляется автоматически в ответ на изменения исходной полосы.
