Кляйна четыре группы

Математическая абелева группа

В математике четырехгруппа Клейна — это абелева группа из четырех элементов, в которой каждый элемент является самоинверсным (составление его с самим собой дает тождество) и в которой составление любых двух из трех нетождественных элементов дает третий. . Его можно описать как группу симметрии неквадратного прямоугольника (три неидентичных элемента — горизонтальное отражение , вертикальное отражение и вращение на 180 градусов ), как группу поразрядных операций исключающего или над двухбитовыми двоичными значениями. или, более абстрактно , как ℤ ₂ × ℤ ₂ , прямое произведение двух копий циклической группы порядка 2 по Фундаментальной теореме о конечно порожденных абелевых группах . Его назвали Vierergruppe ( нем. [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə]). ^ⓘ ), что означает четыре группы)Феликсом Кляйномв 1884 году.^[1]Ее также называютгруппой Клейнаи часто обозначают буквойVилиK₄.

Четырехгруппа Клейна с четырьмя элементами — наименьшая нециклическая группа . С точностью до изоморфизма существует только одна группа четвертого порядка: циклическая группа четвертого порядка. Обе группы абелевы.

Презентации

Таблица Кэли группы Кляйна представлена:

Четырехгруппа Клейна также определяется представлением группы

${\displaystyle V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .}$

Все неединичные элементы группы Клейна имеют порядок 2, поэтому в приведенном выше представлении генераторами могут служить любые два неединичных элемента. Четырехгруппа Клейна — наименьшая нециклическая группа . Однако это абелева группа и изоморфна группе диэдра порядка (мощности) 4, обозначаемой D ₄ (или D ₂ , используя геометрическое соглашение); кроме группы порядка 2, это единственная группа диэдра, которая является абелевой.

Четырехгруппа Клейна также изоморфна прямой сумме ℤ ₂ ⊕ ℤ ₂ , так что ее можно представить в виде пар {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1 )} при покомпонентном сложении по модулю 2 (или, что эквивалентно, битовые строки {00, 01, 10, 11} при побитовом исключающем ИЛИ ), где (0,0) является идентификационным элементом группы. Таким образом, четырехгруппа Клейна является примером элементарной абелевой 2-группы , которую также называют булевой группой . Таким образом, четырехгруппа Клейна также является группой, порожденной симметричной разностью как бинарной операцией над подмножествами степенного набора из двух элементов, то есть над полем множеств с четырьмя элементами, например { ∅, { α }, { β }, { α , β } }; в этом случае пустой набор является идентификационным элементом группы.

Другая численная конструкция четырехгруппы Клейна - это набор {1, 3, 5, 7} с операцией умножения по модулю 8 . Здесь a равно 3, b равно 5, а c = ab равно 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

Четырехгруппа Клейна также имеет представление в виде вещественных матриц 2 × 2 с операцией умножения матриц:

${\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad }$

${\displaystyle b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

На кубике Рубика узор «4 точки» можно сделать тремя способами, в зависимости от пары граней, которые остались пустыми; эти три позиции вместе с решенной позицией образуют пример группы Клейна, где решенная позиция служит тождеством.

Геометрия

V — группа симметрии этого креста: переворачивание его по горизонтали ( a ), по вертикали ( b ) или по обоим направлениям ( ab ) оставляет его неизменным. Четверть оборота меняет ситуацию.

В двух измерениях четырехгруппа Клейна представляет собой группу симметрии ромба и прямоугольников , не являющихся квадратами , причем четыре элемента представляют собой идентичность, вертикальное отражение, горизонтальное отражение и поворот на 180 °.

В трех измерениях существуют три различные группы симметрии, которые алгебраически являются четырехгруппой Клейна:

• один с тремя перпендикулярными осями двукратного вращения: D 2
• один с осью вращения 2-го порядка и перпендикулярной плоскостью отражения: C _2h = D _1d
• один с осью вращения 2-го порядка в плоскости отражения (и, следовательно, также в перпендикулярной плоскости отражения): C _2v = D _1h .

Представление перестановок

Тождество и двойные транспозиции четырех объектов образуют V.

Другие перестановки четырех объектов также могут образовывать V.

Три элемента второго порядка в четырехгруппе Клейна взаимозаменяемы: группа автоморфизмов V , таким образом, является группой перестановок этих трех элементов, то есть S 3 .

Перестановки собственных элементов четырехгруппы Клейна можно абстрактно рассматривать как ее представление перестановок в четырех точках:

V = { (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) }

В этом представлении V — нормальная подгруппа знакопеременной группы A ₄ (а также симметрической группы S ₄ ) на четырех буквах. Фактически, это ядро ​​сюръективного гомоморфизма групп из S ₄ в S ₃ .

Другими представлениями в S ₄ являются:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }

Они не являются нормальными подгруппами S ₄ .

Алгебра

Согласно теории Галуа , существование четырёхгруппы Клейна (и, в частности, её перестановочного представления) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнений четвертой степени в терминах радикалов , установленной Лодовико Феррари : отображение S ₄ → S ₃ соответствует резольвентной кубике в терминах резольвент Лагранжа .

При построении конечных колец восемь из одиннадцати колец с четырьмя элементами имеют в качестве аддитивной подструктуры четырехгруппу Клейна.

Если ℝ ^× обозначает мультипликативную группу ненулевых вещественных чисел и ℝ ⁺ мультипликативную группу положительных вещественных чисел , то ℝ ^× × ℝ ^× — это группа единиц кольца ℝ × ℝ, а ℝ ⁺ × ℝ ⁺ — подгруппа ℝ ^× × ℝ ^× (на самом деле это компонента тождества ℝ ^× × ℝ ^× ) . Факторгруппа (ℝ × ^× ℝ ^× ) / (ℝ ⁺ × ℝ ⁺ ) изоморфна четырёхгруппе Клейна. Аналогичным образом группа единиц расщепленного комплексного числового кольца , разделенная на ее единичный компонент, также приводит к четырехгруппе Клейна.

Теория графов

Среди простых связных графов самым простым (в смысле наличия наименьшего количества сущностей), который допускает четырехгруппу Клейна в качестве группы автоморфизмов, является ромбовидный граф, показанный ниже. Это также группа автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в том смысле, что в них меньше сущностей. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остается простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединенными друг с другом двумя ребрами, который остается связным, но теряет простоту.

Музыка

В музыкальной композиции четверка — основная группа перестановок в двенадцатитоновой технике . В этом случае таблица Кэли записывается ^[2]

Смотрите также

• Группа кватернионов
• Список малых групп

Рекомендации

1. Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени)
2. Бэббит, Милтон . (1960) «Двенадцатитоновые инварианты как композиционные детерминанты», Musical Quarterly 46 (2): 253 Специальный выпуск: Проблемы современной музыки: Принстонский семинар по передовым музыкальным исследованиям (апрель): 246–59, Oxford University Press

дальнейшее чтение

• М. А. Армстронг (1988) Группы и симметрия , Springer Verlag , стр. 53.
• У. Э. Барнс (1963) Введение в абстрактную алгебру , DC Heath & Co., стр. 20.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Vierergruppe». Математический мир .