Нормальная подгруппа

Инвариант подгруппы относительно сопряжения

В абстрактной алгебре нормальная подгруппа (также известная как инвариантная подгруппа или самосопряженная подгруппа ) ^[1] — это подгруппа , которая инвариантна относительно сопряжения членами группы , частью которой она является. Другими словами, подгруппа группы нормальна тогда и только тогда, когда для всех и Обычные обозначения этого отношения: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gng^{-1}\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle n\in N.}$ ${\displaystyle N\triangleleft G.}$

Нормальные подгруппы важны, потому что они (и только они) могут использоваться для построения факторгрупп данной группы. Более того, нормальные подгруппы являются в точности ядрами групповых гомоморфизмов с областью определения , что означает, что их можно использовать для внутренней классификации этих гомоморфизмов. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$

Эварист Галуа был первым, кто осознал важность существования нормальных подгрупп. ^[2]

Определения

Подгруппа группы называется нормальной подгруппой , если она инвариантна относительно сопряжения ; то есть сопряжение элемента элемента всегда находится в ^[3]. Обычное обозначение этого отношения: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle N\triangleleft G.}$

Эквивалентные условия

Для любой подгруппы следующие условия эквивалентны тому, что она является нормальной подгруппой. Следовательно, любое из них можно принять в качестве определения. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G.}$

• Образ сопряжения любым элементом из является подмножеством ^[4] , т.е. для всех . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$ ${\displaystyle g\in G}$
• Образ сопряжения любым элементом из равен ^[4] , т. е. для всех . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$ ${\displaystyle g\in G}$
• Для всех левых и правых смежных классов и равны. ^[4] ${\displaystyle g\in G,}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle Ng}$
• Множества левых и правых смежных классов по in совпадают. ^[4] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$
• Умножение в сохраняет отношение эквивалентности «находится в том же левом смежном классе, что и». То есть для каждого удовлетворяющего и имеем ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g,g',h,h'\in G}$ ${\displaystyle gN=g'N}$ ${\displaystyle hN=h'N}$ ${\displaystyle (gh)N=(g'h')N.}$
• Существует группа на множестве левых смежных классов, где умножение любых двух левых смежных классов и дает левый смежный класс . (Эта группа называется факторгруппой по модулю , обозначается .) ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle hN}$ ${\displaystyle (gh)N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$
• ${\displaystyle N}$является объединением классов сопряженности из ^[2] ${\displaystyle G.}$
• ${\displaystyle N}$сохраняется внутренними автоморфизмами из ^[5] ${\displaystyle G.}$
• Существует некоторый групповой гомоморфизм , ядро ​​которого есть ^[2] ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N.}$
• Существует групповой гомоморфизм , слои которого образуют группу, где единичным элементом является умножение любых двух слоев и дает слой . (Эта группа аналогична упомянутой выше.) ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1})}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{2})}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1}h_{2})}$ ${\displaystyle G/N}$
• Существует некоторое отношение конгруэнтности, для которого класс эквивалентности единичного элемента равен . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$
• Ибо все и коммутатор находится в ^{[ нужна цитата} ] ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle g\in G,}$ ${\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$ ${\displaystyle N.}$
• Любые два элемента коммутируют по модулю нормального отношения принадлежности к подгруппе. То есть для всех тогда и только ^{тогда , когда} ${\displaystyle g,h\in G,}$ ${\displaystyle gh\in N}$ ${\displaystyle hg\in N.}$

Примеры

Для любой группы тривиальная подгруппа , состоящая только из единичного элемента, всегда является нормальной подгруппой. Аналогично, сама по себе всегда является нормальной подгруппой (если это единственные нормальные подгруппы, то она называется простой .) ^[6] Другое с именем нормальные подгруппы произвольной группы включают центр группы (множество элементов, которые коммутируют со всеми другими элементами) и коммутант ^{[7] [8]} В более общем смысле, поскольку сопряжение является изоморфизмом, любая характеристическая подгруппа является нормальной подгруппой. . ^[9] ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G,G].}$

Если абелева группа , то каждая подгруппа нормальна , т.к. в более общем смысле для любой группы каждая подгруппа центра нормальна в . (В особом случае, который является абелевым, центром является весь , отсюда тот факт, что все подгруппы абелевой группы нормальны.) Группа, которая не является абелевой, но для которой каждая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой группой . ^[10] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Конкретным примером нормальной подгруппы является подгруппа симметрической группы , состоящая из единицы и обоих трициклов. В частности, можно проверить, что каждый смежный класс либо равен самому себе, либо равен С другой стороны, подгруппа не является нормальной , поскольку ^[11] Это иллюстрирует общий факт, что любая подгруппа индекса два нормальна. ${\displaystyle N=\{(1),(123),(132)\}}$ ${\displaystyle S_{3},}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (12)N=\{(12),(23),(13)\}.}$ ${\displaystyle H=\{(1),(12)\}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle (123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123).}$ ${\displaystyle H\leq G}$

В качестве примера нормальной подгруппы внутри группы матриц рассмотрим общую линейную группу всех обратимых матриц с вещественными элементами при операции умножения матриц и ее подгруппу всех матриц определителя 1 ( специальная линейная группа ). Чтобы понять, почему подгруппа нормальна в , рассмотрим любую матрицу в и любую обратимую матрицу . Затем, используя два важных тождества и , получим это , и так далее. Это средство замкнуто относительно сопряжения в , поэтому является нормальной подгруппой. ^[а] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$ ${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$ ${\displaystyle \det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1}$ ${\displaystyle AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$

В группе кубика Рубика подгруппы, состоящие из операций, которые влияют только на ориентацию угловых или реберных частей, являются нормальными. ^[12]

Группа трансляции — это нормальная подгруппа евклидовой группы в любом измерении. ^[13] Это означает: применение жесткого преобразования, за которым следует перевод, а затем обратное жесткое преобразование, имеет тот же эффект, что и одиночный перевод. Напротив, подгруппа всех вращений вокруг начала координат не является нормальной подгруппой евклидовой группы, если размерность не менее 2: сначала перемещение, затем вращение вокруг начала координат, а затем перемещение обратно, как правило, не фиксирует начало координат. и поэтому не будет иметь такого же эффекта, как одиночный поворот вокруг начала координат.

Характеристики

• Если является нормальной подгруппой и является подгруппой содержащей , то является нормальной подгруппой из ^[14] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K.}$
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязательно должна быть нормальной в группе. То есть нормальность не является транзитивным отношением . Наименьшая группа, демонстрирующая это явление, - это группа диэдра 8-го порядка. ^[15] Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы является нормальной. ^[16] Группа, в которой нормальность транзитивна, называется T-группой . ^[17]
• Две группы и являются нормальными подгруппами их прямого произведения. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times H.}$
• Если группа является полупрямым продуктом, то она нормальна, хотя и не обязательно должна быть нормальной в ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=N\rtimes H,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$
• Если и — нормальные подгруппы аддитивной группы такие, что и , то ^[18] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=M+N}$ ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$ ${\displaystyle G=M\oplus N.}$
• Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах; ^[19] , т. е. если — гомоморфизм сюръективной группы и нормален в, то образ нормален в ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle H.}$
• Нормальность сохраняется за счет инверсных изображений ; ^[19] , т. е. если — гомоморфизм группы и нормален в , то прообраз нормален в ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle f^{-1}(N)}$ ${\displaystyle G.}$
• Нормальность сохраняется при взятии прямых произведений ; ^[20] то есть если и тогда ${\displaystyle N_{1}\triangleleft G_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}\triangleleft G_{2},}$ ${\displaystyle N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}.}$
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. В более общем смысле, подгруппа конечного индекса в содержит подгруппу, нормальную в и с индексным делением, называемую нормальным ядром . В частности, если — наименьшее простое число, делящее порядок, то каждая подгруппа индекса нормальна. ^[21] ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle p}$
• Тот факт, что нормальные подгруппы являются в точности ядрами групповых гомоморфизмов, определенных на , объясняет некоторую важность нормальных подгрупп; они являются способом внутренней классификации всех гомоморфизмов, определенных в группе. Например, нетождественная конечная группа является простой тогда и только тогда, когда она изоморфна всем своим нетождественным гомоморфным образам, ^[22] конечная группа совершенна тогда и только тогда, когда она не имеет нормальных подгрупп простого индекса и группа несовершенна тогда и только тогда, когда производная подгруппа не дополняется какой-либо собственной нормальной подгруппой. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Решетка нормальных подгрупп

Учитывая две нормальные подгруппы, их пересечение и их произведение также являются нормальными подгруппами ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle N\cap M}$ ${\displaystyle NM=\{nm:n\in N\;{\text{ and }}\;m\in M\}}$ ${\displaystyle G.}$

Нормальные подгруппы образуют решетку при включении подмножества с наименьшим элементом и наибольшим элементом . Встреча двух нормальных подгрупп, и в этой решетке их пересечение, а соединение - их произведение. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\},}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$

Решетка является полной и модульной . ^[20]

Нормальные подгруппы, факторгруппы и гомоморфизмы

Если — нормальная подгруппа, мы можем определить умножение на смежные классы следующим образом: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N.}$$

${\displaystyle G/N\times G/N\to G/N.}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N.}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$ ${\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}.}$

$${\displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,}$$

нормальная ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n_{1}'\in N}$ ${\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'.}$

С помощью этой операции набор смежных классов сам по себе является группой, называемой факторгруппой и обозначаемой с помощью Существует естественный гомоморфизм , заданный следующим образом: Этот гомоморфизм отображается в единичный элемент, который является смежным классом ^[23] , то есть ${\displaystyle G/N.}$ ${\displaystyle f:G\to G/N,}$ ${\displaystyle f(a)=aN.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N,}$ ${\displaystyle eN=N,}$ ${\displaystyle \ker(f)=N.}$

В общем, групповой гомоморфизм переводит подгруппы в подгруппы . Кроме того, прообраз любой подгруппы является подгруппой. Мы называем прообраз тривиальной группы в ядре гомоморфизма и обозначаем его как оказывается, ядро всегда нормален и образ всегда изоморфен ( первая теорема об изоморфизме ) . ^[24] Фактически это соответствие является биекцией между множеством всех факторгрупп и множеством всех гомоморфных образов ( с точностью до изоморфизма). ^[25] Также легко видеть, что ядром фактор-отображения является оно само, поэтому нормальные подгруппы являются в точности ядрами гомоморфизмов с областью определения ^[26] ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ker f.}$ ${\displaystyle G,f(G),}$ ${\displaystyle G/\ker f}$ ${\displaystyle G,G/N,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to G/N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G.}$

Смотрите также

Операции перевода подгрупп в подгруппы

• Нормализатор
• Сопряженное закрытие
• Нормальное ядро

Свойства подгруппы, дополняющие (или противоположные) нормальности

• Ненормальная подгруппа
• Контранормальная подгруппа
• Аномальная подгруппа
• Самонормализующаяся подгруппа

Свойства подгруппы сильнее нормальности

• Характеристическая подгруппа
• Полностью характерная подгруппа

Свойства подгруппы слабее нормальности

• Субнормальная подгруппа
• Восходящая подгруппа
• Потомок подгруппы
• Квазинормальная подгруппа
• Полунормальная подгруппа
• Сопряженная перестановочная подгруппа
• Модульная подгруппа
• Пронормальная подгруппа
• Паранормальная подгруппа
• Полинормальная подгруппа
• C-нормальная подгруппа

Связанные понятия в алгебре

• Идеал (теория колец)
• Полугрупповой идеал

Примечания

1. На другом языке: — гомоморфизм из в мультипликативную подгруппу и — ядро. Оба аргумента также работают с комплексными числами или даже с произвольным полем . ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$

Рекомендации

1. Брэдли 2010, с. 12.
2. Кантрелл 2000, стр. 160.
3. Даммит и Фут 2004.
4. Хангерфорд 2003, с. 41.
5. Фрэли 2003, с. 141.
6. Робинсон 1996, с. 16.
7. Хангерфорд 2003, с. 45.
8. Холл 1999, с. 138.
9. Холл 1999, с. 32.
10. Холл 1999, с. 190.
11. Джадсон 2020, раздел 10.1.
12. Бергвалл и др. 2010, с. 96.
13. Терстон 1997, с. 218.
14. Хангерфорд 2003, с. 42.
15. Робинсон 1996, с. 17.
16. Робинсон 1996, с. 28.
17. Робинсон 1996, с. 402.
18. Хангерфорд 2013, с. 290.
19. Hall 1999, стр. 29.
20. Хангерфорд 2003, с. 46.
21. Робинсон 1996, с. 36.
22. Дымыси и Неханив 2004, с. 7.
23. Хангерфорд 2003, стр. 42–43.
24. Хангерфорд 2003, с. 44.
25. Робинсон 1996, с. 20.
26. Холл 1999, с. 27.

Библиография

• Бергвалль, Олоф; Хиннинг, Элин; Хедберг, Микаэль; Микелин, Джоэл; Масаве, Патрик (16 мая 2010 г.). «О кубике Рубика» (PDF) . КТХ . {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Кантрелл, компакт-диск (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59180-5.
• Дымыйси, Пал; Неханив, Кристофер Л. (2004). Алгебраическая теория автоматных сетей . Монографии SIAM по дискретной математике и приложениям. СИАМ.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-43334-9.
• Фрели, Джон Б. (2003). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-15608-2.
• Холл, Маршалл (1999). Теория групп . Провиденс: Издательство Челси. ISBN 978-0-8218-1967-8.
• Хангерфорд, Томас (2003). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер.
• Хангерфорд, Томас (2013). Абстрактная алгебра: введение . Брукс/Коул Сенгедж Обучение.
• Джадсон, Томас В. (2020). Абстрактная алгебра: теория и приложения.
• Робинсон, Дерек Дж.С. (1996). Курс теории групп . Тексты для аспирантов по математике. Том. 80 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-1-4612-6443-9. Збл  0836.20001.
• Терстон, Уильям (1997). Леви, Сильвио (ред.). Трехмерная геометрия и топология, Vol. 1 . Принстонская математическая серия. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08304-9.
• Брэдли, CJ (2010). Математическая теория симметрии твердых тел: теория представлений точечных и пространственных групп . Оксфорд Нью-Йорк: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. ОСЛК  859155300.

дальнейшее чтение

• И. Н. Херштейн , Вопросы по алгебре. Второе издание. Xerox College Publishing, Лексингтон, Массачусетс – Торонто, Онтарио, 1975. xi+388 стр.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальная подгруппа». Математический мир .
• Нормальная подгруппа в Математической энциклопедии Спрингера
• Роберт Эш: Основы групп в абстрактной алгебре. Основной выпускной год
• Тимоти Гауэрс, Нормальные подгруппы и факторгруппы
• Джон Баэз, Что такое нормальная подгруппа?