Простая группа

Группа без нормальных подгрупп, кроме тривиальной группы и самой себя.

В математике простая группа — это нетривиальная группа , единственными нормальными подгруппами которой являются тривиальная группа и сама группа. Непростую группу можно разбить на две меньшие группы, а именно на нетривиальную нормальную подгруппу и соответствующую факторгруппу . Этот процесс можно повторить, и для конечных групп в конечном итоге можно прийти к однозначно определенным простым группам по теореме Йордана – Гёльдера .

Полная классификация конечных простых групп , завершенная в 2004 году, является важной вехой в истории математики.

Примеры

Конечные простые группы

Циклическая группа классов конгруэнции по модулю 3 (см. модульную арифметику ) проста. Если является подгруппой этой группы, ее порядок (количество элементов) должен быть делителем порядка 3. Поскольку 3 простое число, ее единственные делители - 1 и 3, поэтому либо есть , либо является тривиальной группой . С другой стороны, группа непростая. Набор классов конгруэнтности 0, 4 и 8 по модулю 12 является подгруппой порядка 3 и является нормальной подгруппой, поскольку любая подгруппа абелевой группы нормальна. Точно так же аддитивная группа целых чисел не проста; множество четных целых чисел является нетривиальной собственной нормальной подгруппой. ^[1] ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{3}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /12\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{12}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$

Можно использовать те же рассуждения для любой абелевой группы, чтобы прийти к выводу, что единственными простыми абелевыми группами являются циклические группы простого порядка . Классификация неабелевых простых групп гораздо менее тривиальна. Наименьшая неабелева простая группа — знакопеременная группа порядка 60, а каждая простая группа порядка 60 изоморфна . ^[2] Вторая наименьшая неабелева простая группа — это проективная специальная линейная группа PSL(2,7) порядка 168, и каждая простая группа порядка 168 изоморфна PSL(2,7). ^{[3] [4]} ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle A_{5}}$

Бесконечные простые группы

Бесконечная знакопеременная группа , т. е. группа четных перестановок целых чисел с конечным носителем, проста. Эту группу можно записать как возрастающее объединение конечных простых групп относительно стандартных вложений . Другое семейство примеров бесконечных простых групп дается , где – бесконечное поле и . ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}\rightarrow A_{n+1}}$ ${\displaystyle PSL_{n}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Гораздо сложнее построить конечно порожденные бесконечные простые группы. Первый результат существования неявный; оно принадлежит Грэму Хигману и состоит из простых факторов группы Хигмана . ^[5] Явные примеры, которые оказываются конечно представленными, включают бесконечные группы Томпсона и . Конечно определенные бесконечные простые группы без кручения были построены Бюргером и Мозесом. ^[6] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

Классификация

Классификация общих (бесконечных) простых групп пока не известна и не предвидится. ^{[ нужна цитата ]}

Конечные простые группы

Конечные простые группы важны, потому что в определенном смысле они являются «основными строительными блоками» всех конечных групп, что в некоторой степени похоже на то, как простые числа являются основными строительными блоками целых чисел . Это выражено теоремой Джордана-Гельдера , которая утверждает, что любые два композиционных ряда данной группы имеют одинаковую длину и одинаковые множители с точностью до перестановки и изоморфизма . Благодаря огромным совместным усилиям классификация конечных простых групп была объявлена ​​завершенной в 1983 году Дэниелом Горенштейном , хотя всплыли некоторые проблемы (в частности, в классификации квазитонких групп , которые были закрыты в 2004 году).

Вкратце, конечные простые группы классифицируются как принадлежащие к одному из 18 семейств или входящие в одно из 26 исключений:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$– циклическая группа простого порядка
• ${\displaystyle A_{n}}$– переменная группа для ${\displaystyle n\geq 5}$

  Знакомые группы можно рассматривать как группы лиева типа над полем с одним элементом , объединяющим это семейство со следующим, и, таким образом, все семейства неабелевых конечных простых групп можно рассматривать как группы лиева типа.

• Одно из 16 семейств групп лиева типа.

  Такую форму обычно считают группой Титса , хотя, строго говоря, она не лиева типа, а скорее индекса 2 в группе лиева типа.

• Одно из 26 исключений — спорадические группы , из которых 20 являются подгруппами или подгруппами группы монстров и называются «Счастливой семьей», а остальные 6 — париями .

Структура конечных простых групп

Знаменитая теорема Фейта и Томпсона утверждает , что любая группа нечетного порядка разрешима . Следовательно, каждая конечная простая группа имеет четный порядок, если только она не является циклической простого порядка.

Гипотеза Шрайера утверждает, что группа внешних автоморфизмов любой конечной простой группы разрешима. Это можно доказать с помощью классификационной теоремы.

История конечных простых групп

В истории конечных простых групп есть две нити — открытие и построение конкретных простых групп и семейств, проходившее от работ Галуа в 1820-х годах до построения «Монстра» в 1981 году; и доказательство того, что этот список был полным, которое началось в 19 веке, наиболее значимо имело место в период с 1955 по 1983 год (когда была первоначально объявлена ​​победа), но было общепринято завершить его только в 2004 году. По состоянию на 2010 год ^[update]работа над улучшением доказательств и понимание продолжается; см. (Silvestri 1979) историю простых групп XIX века.

Строительство

Простые группы изучались, по крайней мере, со времен ранней теории Галуа , когда Эварист Галуа понял, что тот факт, что чередующиеся группы в пяти или более точках являются простыми (и, следовательно, неразрешимыми), что он доказал в 1831 году, был причиной того, что нельзя решить квинтику в радикалах. Галуа также построил проективную специальную линейную группу плоскости над простым конечным полем PSL(2, p ) и заметил, что они просты для p , а не для 2 или 3. Это содержится в его последнем письме Шевалье ^[7] и являются следующим примером конечных простых групп. ^[8]

Следующие открытия были сделаны Камиллой Жорданом в 1870 году. ^[9] Джордан нашел 4 семейства простых матричных групп над конечными полями простого порядка, которые теперь известны как классические группы .

Примерно в то же время было показано, что семейство из пяти групп, названное группами Матье и впервые описанное Эмилем Леонаром Матье в 1861 и 1873 годах, также является простым. Поскольку эти пять групп были построены методами, которые не давали бесконечно много возможностей, Уильям Бернсайд в своем учебнике 1897 года назвал их « спорадическими » .

Позже результаты Джордана о классических группах были обобщены на произвольные конечные поля Леонардом Диксоном после классификации сложных простых алгебр Ли Вильгельма Киллинга . Диксон также построил группы исключений типов G2 _и E6 , но не типов F4 _, E7 _или E8 ₍ Wilson 2009, стр. 2) . В 1950-х годах работа над группами лиева типа была продолжена: Клод Шевалле в статье 1955 года дал единую конструкцию классических групп и групп исключительного типа. При этом были опущены некоторые известные группы (проективные унитарные группы), полученные «перекручиванием» конструкции Шевалле. Остальные группы лиева типа были созданы Стейнбергом, Титсом и Герцигом (которые произвели ³ D ₄ ( q ) и ² E ₆ ( q )) и Сузуки и Ри ( группы Сузуки–Ри ).

Эти группы (группы лиева типа вместе с циклическими группами, знакопеременными группами и пятью исключительными группами Матье) считались полным списком, но после почти столетнего затишья со времени работы Матье в 1964 г. была открыта первая группа Янко , а остальные 20 спорадических групп были открыты или предположены в 1965–1975 годах, кульминацией которых стал 1981 год, когда Роберт Грис объявил, что он построил « группу монстров » Бернда Фишера . Монстр — крупнейшая спорадическая простая группа, имеющая порядок 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Монстр имеет точное 196 883-мерное представление в 196 884-мерной алгебре Грисса , что означает, что каждый элемент Монстра может быть выражен как матрица размером 196 883 на 196 883.

Классификация

Принято считать, что полная классификация начинается с теоремы Фейта-Томпсона 1962–63 годов и просуществовала в основном до 1983 года, но завершилась только в 2004 году.

Вскоре после постройки «Монстра» в 1981 году было представлено доказательство объемом более 10 000 страниц того, что теоретики групп успешно перечислили все конечные простые группы , причем победа была объявлена ​​в 1983 году Дэниелом Горенштейном. Это было преждевременно — позже были обнаружены некоторые пробелы, в частности, в классификации квазитоновых групп , которая в конечном итоге была заменена в 2004 году классификацией квазитоновых групп объемом 1300 страниц, которая сейчас общепринята как полная.

Тесты на непростоту

Тест Силова : пусть n — положительное целое число, не являющееся простым, и пусть p — простой делитель n . Если 1 — единственный делитель n , конгруэнтный 1 по модулю p , то не существует простой группы порядка n .

Доказательство: если n — степень простого числа, то группа порядка n имеет нетривиальный центр ^[10] и, следовательно, не является простой. Если n не является простой степенью, то каждая силовская подгруппа является собственной, и по третьей теореме Силова мы знаем, что количество силовских p -подгрупп в группе порядка n равно 1 по модулю p и делит n . Поскольку 1 — единственное такое число, силовская p -подгруппа единственна и, следовательно, нормальна. Поскольку это собственная неединичная подгруппа, группа не является простой.

Бернсайд : Неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся как минимум на три различных простых числа. Это следует из теоремы Бернсайда .

Смотрите также

• Почти простая группа
• Характерно простая группа
• Квазипростая группа
• Полупростая группа
• Список конечных простых групп

Рекомендации

Примечания

1. Кнапп (2006), с. 170
2. Ротман (1995), с. 226
3. Ротман (1995), с. 281
4. Смит и Табачникова (2000), с. 144
5. Хигман, Грэм (1951), «Конечно порожденная бесконечная простая группа», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 26 (1): 61–64, doi : 10.1112/jlms/s1-26.1.59, ISSN  0024 -6107, МР  0038348
6. Бургер, М.; Мозес, С. (2000). «Решетки в изделиях из деревьев». Опубл. Математика. ИХЕС . 92 : 151–194. дои : 10.1007/bf02698916. S2CID  55003601.
7. Галуа, Эварист (1846), «Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , XI : 408–415 , получено 4 февраля 2009 г. , PSL(2, p ) и простота обсуждаются на стр. . 411; исключительные действия по 5, 7 или 11 пунктам, обсуждаемым на стр. 411–412; GL( ν , p ), обсуждаемый на стр. 410{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
8. Уилсон, Роберт (31 октября 2006 г.), «Глава 1: Введение», Конечные простые группы
9. Джордан, Камилла (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques
10. См. , например, доказательство в p -group .

Учебники

• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN. 978-1-84800-987-5, Збл  1203.20012, препринт 2007 г. {{citation}}: Внешняя ссылка |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
• Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка , издательство Кембриджского университета

• Кнапп, Энтони В. (2006), Основная алгебра , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Тексты для аспирантов по математике, том. 148, Спрингер, ISBN 978-0-387-94285-8
• Смит, Джефф; Табачникова, Ольга (2000), Темы теории групп , Серия Springer по математике для студентов (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Статьи

• Сильвестри, Р. (сентябрь 1979 г.), «Простые группы конечного порядка в девятнадцатом веке», Архив истории точных наук , 20 (3–4): 313–356, doi : 10.1007/BF00327738, S2CID  120444304