В математике внешняя группа автоморфизмов группы G — это фактор Aut ( G )/Inn( G ) , где Aut( G ) — группа автоморфизмов группы G , а Inn( G ) — подгруппа, состоящая из внутренних автоморфизмов . . Внешнюю группу автоморфизмов обычно обозначают Out( G ) . Если Out( G ) тривиален и G имеет тривиальный центр , то G называется полным .
Автоморфизм группы, не являющийся внутренним, называется внешним автоморфизмом . [1] Классы класса Inn ( G ) относительно внешних автоморфизмов являются тогда элементами Out( G ) ; это пример того факта, что факторы групп, вообще говоря, не являются подгруппами (изоморфными). Если группа внутренних автоморфизмов тривиальна (когда группа абелева), группа автоморфизмов и внешняя группа автоморфизмов естественным образом отождествляются; то есть внешняя группа автоморфизмов действует на группу.
Например, для знакопеременной группы An внешней группой автоморфизмов обычно является группа порядка 2, за исключениями, указанными ниже . Рассматривая An как подгруппу симметричной группы Sn , сопряжение любой нечетной перестановкой является внешним автоморфизмом An или , точнее , «представляет класс (нетривиального) внешнего автоморфизма An » , но внешний автоморфизм не соответствует сопряжению каким-либо конкретным нечетным элементом, и все сопряжения нечетными элементами эквивалентны с точностью до сопряжения четным элементом.
Гипотеза Шрайера утверждает , что Out( G ) всегда является разрешимой группой , если G — конечная простая группа . Теперь известно, что этот результат верен как следствие классификации конечных простых групп , хотя более простое доказательство не известно.
Внешняя группа автоморфизмов двойственна центру в следующем смысле: сопряжение элементом из G является автоморфизмом, дающим отображение σ : G → Aut( G ) . Ядро отображения сопряжения — это центр, а коядро — внешняя группа автоморфизмов (а образ — внутренняя группа автоморфизмов ). Это можно резюмировать точной последовательностью
Группа внешних автоморфизмов группы действует на классы сопряженности и, соответственно, на таблицу характеров . Подробности смотрите в таблице символов: внешние автоморфизмы .
Внешняя группа автоморфизмов важна в топологии поверхностей , потому что существует связь, обеспечиваемая теоремой Дена-Нильсена : расширенная группа классов отображений поверхности является внешней группой автоморфизмов ее фундаментальной группы .
Для внешних групп автоморфизмов всех конечных простых групп см. список конечных простых групп . Спорадические простые группы и знакопеременные группы (кроме знакопеременной группы А6 ; см. ниже) все имеют внешние группы автоморфизмов порядка 1 или 2. Внешняя группа автоморфизмов конечной простой группы лиева типа является расширением группы " диагональные автоморфизмы» (циклические , за исключением Dn ( q ) , когда он имеет порядок 4), группа «автоморфизмов полей» (всегда циклических) и группа «автоморфизмов графов» (порядка 1 или 2, за исключением D4 ). ( q ) , когда это симметрическая группа в 3 точках). Эти расширения не всегда являются полупрямыми произведениями , как показывает случай знакопеременной группы А6 ; Точный критерий того, чтобы это произошло, был дан в 2003 году. [2]
[ нужна цитата ]
Группа внешних автоморфизмов конечной простой группы в некотором бесконечном семействе конечных простых групп почти всегда может быть задана единой формулой, которая работает для всех элементов семейства. Из этого правила есть только одно исключение: [3] знакопеременная группа A6 имеет внешнюю группу автоморфизмов порядка 4, а не 2, как другие простые знакопеременные группы (данные путем сопряжения нечетной перестановкой ). Эквивалентно , симметрическая группа S6 — единственная симметрическая группа с нетривиальной внешней группой автоморфизмов.
Обратите внимание, что в случае G = A 6 = PSL(2, 9) последовательность 1 ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1 не расщепляется. Аналогичный результат верен для любого PSL(2, q 2 ) , q нечетного.
Пусть теперь G — связная редуктивная группа над алгебраически замкнутым полем . Тогда любые две борелевские подгруппы сопряжены внутренним автоморфизмом, поэтому для изучения внешних автоморфизмов достаточно рассмотреть автоморфизмы, фиксирующие данную борелевскую подгруппу. С подгруппой Бореля связан набор простых корней , и внешний автоморфизм может переставлять их, сохраняя при этом структуру ассоциированной диаграммы Дынкина . Таким образом, можно отождествить группу автоморфизмов диаграммы Дынкина группы G с подгруппой Out( G ) .
D 4 имеет очень симметричную диаграмму Дынкина, которая дает большую внешнюю группу автоморфизмов Spin(8) , а именно Out(Spin(8)) = S 3 ; это называется триальность .
Предыдущая интерпретация внешних автоморфизмов как симметрий диаграммы Дынкина следует из общего факта, что для комплексной или действительно простой алгебры Ли 𝔤 группа автоморфизмов Aut( 𝔤 ) является полупрямым произведением Inn ( 𝔤 ) и Out( 𝔤 ) ; т.е. короткая точная последовательность
расколы. В сложном простом случае это классический результат [4] , тогда как для вещественных простых алгебр Ли этот факт был доказан совсем недавно, в 2010 году. [5]
Термин «внешний автоморфизм» поддается игре слов : термин «внешний автоморфизм» иногда используется для обозначения внешнего автоморфизма , а конкретная геометрия , на которую действует Out( F n ) , называется внешним пространством .
