Козет

Непересекающиеся подмножества одинакового размера базового набора группы.

G — группа (ℤ/8ℤ, +) , целые числа по модулю 8 при сложении. Подгруппа H содержит только 0 и 4. Есть четыре левых смежных класса H : сама H , 1 + H , 2 + H и 3 + H (записаны с использованием аддитивных обозначений, поскольку это аддитивная группа ). Вместе они разбивают всю группу G на непересекающиеся множества одинакового размера. Индекс [ G  : H ] равен 4.

В математике , особенно в теории групп , подгруппа H группы G может использоваться для разложения основного набора G на непересекающиеся подмножества одинакового размера, называемые смежными классами . Существуют левые и правые смежные классы . Классы смежности (как левые , так и правые) имеют то же количество элементов ( мощность ), что и H. Более того, H сам по себе является одновременно левым и правым смежным классом. Количество левых классов класса H в G равно количеству правых классов класса H в G . Это общее значение называется индексом H в G и обычно обозначается [ G  : H ] .

Классы смежности — основной инструмент изучения групп; например, они играют центральную роль в теореме Лагранжа , которая утверждает, что для любой конечной группы G количество элементов каждой подгруппы H группы G делит количество элементов G . Смежные классы подгруппы определенного типа ( нормальной подгруппы ) могут использоваться как элементы другой группы, называемой факторгруппой или факторгруппой . Классы смежности также появляются в других областях математики, таких как векторные пространства и коды, исправляющие ошибки .

Определение

Пусть H — подгруппа группы G , операция которой записана мультипликативно (сопоставление означает групповую операцию). Учитывая элемент g из G , левые смежные классы H в G — это множества, полученные путем умножения каждого элемента H на фиксированный элемент g из G (где g — левый множитель). В символах это:

gH = { gh  : h элемент H } для g в G.

Правые смежные классы определяются аналогично, за исключением того, что элемент g теперь является правым множителем, т.е.

Hg = { hg  : h элемент H } для g в G .

Поскольку g меняется в группе, может показаться, что будет создано много смежных классов (правых или левых). Тем не менее оказывается, что любые два левых смежных класса (соответственно правых) либо не пересекаются, либо тождественны как множества. ^[1]

Если групповая операция записывается аддитивно, как это часто бывает, когда группа абелева , используемые обозначения меняются на g + H или H + g соответственно.

Первый пример

Пусть G — группа диэдра шестого порядка . Его элементы могут быть представлены как { I , a , a ² , b , ab , a ² b } . В этой группе a ³ = b ² = I и ba = a ² b . Этой информации достаточно, чтобы заполнить всю таблицу Кэли :

Пусть T — подгруппа { I , b } . (Отдельные) левые классы T :

• IT знак равно Т знак равно { я , б } ,
• aT = { a , ab } и
• а ² Т знак равно { а ² , а ² б } .

Поскольку все элементы G теперь появились в одном из этих классов, последующая генерация не может дать новые классы; любой новый смежный класс должен иметь общий элемент с одним из них и, следовательно, быть идентичен одному из этих смежных классов. Например, abT = { ab , a } = aT .

Правые смежные классы T :

• ТИ = Т = { я , б } ,
• Та знак равно { а , ба } знак равно { а , а ² б } , и
• Та ² знак равно { а ² , ба ² } знак равно { а ² , ab } .

В этом примере, за исключением T , ни один левый смежный класс не является также правым смежным классом.

Пусть H — подгруппа { I , a , a ² } . Левые смежные классы H — это IH = H и bH = { b , ba , ba ² } . Правыми смежными классами H являются HI = H и Hb = { b , ab , a ² b } = { b , ba ² , ba } . В этом случае каждый левый смежный класс H также является правым смежным классом H . ^[2]

Пусть H — подгруппа группы G и предположим _{, что} g1 , g2 ∈ G. Следующие утверждения эквивалентны: ^[3]

• г ₁ Ч = г ₂ Ч
• ртуть _1-1 = ртуть _2-1 ^{_ _}
• г ₁ Ч ⊂ г ₂ Ч
• г ₂ ∈ г ₁ Ч
• г ₁ ⁻¹ г ₂ ∈ H

Характеристики

Дизъюнктность нетождественных смежных классов является результатом того, что если x принадлежит gH , то gH = xH . Ведь если x ∈ gH , то должно существовать a ∈ H такое, что ga = x . Таким образом, xH знак равно ( ga ) ЧАС знак равно грамм ( aH ) . Более того, поскольку H — группа, умножение слева на a является биекцией и aH = H .

Таким образом, каждый элемент G принадлежит ровно одному левому смежному классу подгруппы H , ^[1] и H сам является левым смежным классом (и тем, который содержит единицу). ^[2]

Два элемента, находящиеся в одном левом смежном классе, также обеспечивают естественное отношение эквивалентности . Определите два элемента G , x и y , чтобы они были эквивалентны относительно подгруппы H, если xH = yH (или, что то же самое, если x ⁻¹ y принадлежит H ). Классы эквивалентности этого отношения являются левыми смежными классами H . ^[4] Как и любой набор классов эквивалентности, они образуют часть базового набора. Представитель смежного класса является представителем в смысле класса эквивалентности. Совокупность представителей всех смежных классов называется трансверсалью . В группе существуют и другие типы отношений эквивалентности, например сопряженность, которые образуют разные классы, не обладающие обсуждаемыми здесь свойствами.

Аналогичные утверждения применимы и к правым смежным классам.

Если G — абелева группа , то g + H = H + g для каждой подгруппы H группы G и каждого элемента g группы G. Для общих групп, учитывая элемент g и подгруппу H группы G , правый класс H по g также является левым смежным классом сопряженной подгруппы g ⁻¹ Hg относительно g , то есть Hg = g ( г ^-1 ртути ) .

Нормальные подгруппы

Подгруппа N группы G является нормальной подгруппой G тогда и только тогда, когда для всех элементов g из G соответствующие левые и правые смежные классы равны, то есть gN = Ng . Так обстоит дело с подгруппой H в первом примере выше. Более того, смежные классы N в G образуют группу, называемую факторгруппой или факторгруппой G / N .

Если H не является нормальным в G , то его левые смежные классы отличаются от правых смежных классов. То есть в G существует элемент a такой, что ни один элемент b не удовлетворяет условию aH = Hb . Это означает, что разбиение G на левые классы класса H отличается от разделения G на правые классы класса H . Это иллюстрируется подгруппой T в первом примере выше. ( Некоторые смежные классы могут совпадать. Например, если a находится в центре G , то aH = Ha . )

С другой стороны, если подгруппа N нормальна, множество всех смежных классов образует группу, называемую факторгруппой G / N , с операцией ∗ , определяемой формулой ( aN ) ∗ ( bN ) = abN . Поскольку каждый правый смежный класс является левым, нет необходимости отличать «левые смежные классы» от «правых смежных классов».

Индекс подгруппы

Каждый левый или правый смежный класс H имеет то же количество элементов (или мощность в случае бесконечного H ), что и сам H. Кроме того, количество левых смежных классов равно количеству правых смежных классов и известно как индекс H в G , записываемый как [ G  : H ] . Теорема Лагранжа позволяет вычислить индекс в случае, когда G и H конечны:

$${\displaystyle |G|=[G:H]|H|.}$$

Больше примеров

Целые числа

Пусть G — аддитивная группа целых чисел, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) и H — подгруппа (3 Z , +) = ({ ..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +) . Тогда смежными классами H в G являются три множества 3 Z , 3 Z + 1 и 3 Z + 2 , где 3 Z + a = {..., −6 + a , −3 + a , a , 3 + а , 6 + а , ...} . Эти три множества разделяют множество Z , поэтому других правых смежных классов H нет . Ввиду коммутативности сложения H + 1 = 1 + H и H + 2 = 2 + H . То есть каждый левый смежный класс группы H также является правым смежным классом, поэтому H — нормальная подгруппа. ^[5] (То же рассуждение показывает, что каждая подгруппа абелевой группы нормальна. ^[6] )

Этот пример можно обобщить. Снова пусть G — аддитивная группа целых чисел, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) , и теперь пусть H — подгруппа ( m Z , + ) = ({..., −2 m , − m , 0, m , 2 m , ...}, +) , где m — целое положительное число. Тогда смежными классами H в G являются m множеств m Z , m Z + 1 , ..., m Z + ( m − 1) , где m Z + a = {..., −2 m + a , − м + а , а , м + а , 2 м + а , ...} . Существует не более m смежных классов, поскольку m Z + m = m ( Z + 1) = m Z . Смежный класс ( m Z + a , +) — это класс сравнения по модулю m . ^[7] Подгруппа m Z нормальна в Z , поэтому ее можно использовать для формирования факторгруппы Z / m Z группы целых чисел по модулю m .

Векторы

Другой пример смежного класса приходит из теории векторных пространств . Элементы (векторы) векторного пространства образуют абелеву группу при сложении векторов . Подпространства векторного пространства являются подгруппами этой группы . Для векторного пространства V , подпространства W и фиксированного вектора a в V множества

$${\displaystyle \{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}}$$

аффинными подпространствамигеометрическихпараллельныеплоскость R ²m^O ,mR2PR2P + mm ^′ ,mP. ^[8]

Матрицы

Пусть G — мультипликативная группа матриц, ^[9]

$${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},}$$

HG

$${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.}$$

G

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}}$$

GHG

$${\displaystyle T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$$

G.

Как орбиты группового действия

Подгруппу H группы G можно использовать для определения действия H на G двумя естественными способами . Правое действие , G × H → G, заданное ( g , h ) → gh , или левое действие , H × G → G, заданное ( h , g ) → hg . Орбитой g при правом действии является левый смежный класс gH , а орбитой при левом действии является правый смежный класс Hg . ^[10]

История

Понятие смежного класса восходит к работам Галуа 1830–1831 годов. Он ввел обозначения, но не дал названия концепции. Термин «комножество», по-видимому, впервые появляется в 1910 г. в статье Г. А. Миллера в « Ежеквартальном журнале чистой и прикладной математики» (т. 41, с. 382). Использовались различные другие термины, включая немецкую Nebengruppen ( Вебер ) и группу сопряжения ( Бернсайд ). ^[11] (Обратите внимание, что Миллер сократил свое самоцитирование до Ежеквартального журнала математики ; это не относится к одноименному журналу , который начал публиковаться только в 1930 году.)

Галуа был озабочен вопросом, когда данное полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах . Инструмент, который он разработал, заключался в том, чтобы отметить, что подгруппа H группы перестановок G индуцирует два разложения G (то, что мы теперь называем левым и правым смежными классами). Если эти разложения совпали, то есть если левые классы совпадают с правыми классами, то существовал способ свести проблему к работе над H вместо G . Камиль Жордан в своих комментариях к работам Галуа в 1865 и 1869 годах развил эти идеи и определил нормальные подгруппы, как мы это сделали выше, хотя он не использовал этот термин. ^[6]

Называя смежный класс gH левым смежным классом g по H , хотя это и наиболее распространено сегодня, ^[10] в прошлом не было универсально верным. Например, Холл (1959) назвал бы gH правым смежным классом , подчеркивая, что подгруппа находится справа.

Приложение из теории кодирования

Двоичный линейный код — это n -мерное подпространство C m - мерного векторного пространства V над двоичным полем GF(2) . Поскольку V — аддитивная абелева группа, C — подгруппа этой группы. Коды можно использовать для исправления ошибок, которые могут возникнуть при передаче. Когда кодовое слово (элемент C ) передается, некоторые из его битов могут быть изменены в процессе, и задача получателя состоит в том, чтобы определить наиболее вероятное кодовое слово, с которого могло начаться искаженное полученное слово . Эта процедура называется декодированием , и если при передаче допущено лишь несколько ошибок, ее можно эффективно выполнить с очень небольшим количеством ошибок. Один метод, используемый для декодирования, использует расположение элементов V (полученное слово может быть любым элементом V ) в стандартный массив . Стандартный массив представляет собой разложение смежных классов V , определенным образом представленное в табличной форме. А именно, верхняя строка массива состоит из элементов C , записанных в любом порядке, за исключением того, что нулевой вектор должен быть записан первым. Затем выбирается элемент V с минимальным числом единиц, которого еще нет в верхней строке, и смежный класс C , содержащий этот элемент, записывается как вторая строка (а именно, строка формируется путем взятия суммы этого элемент с каждым элементом C непосредственно над ним). Этот элемент называется лидером смежного класса , и при его выборе может существовать некоторый выбор. Теперь процесс повторяется, новый вектор с минимальным количеством единиц, который еще не появился, выбирается в качестве нового лидера смежного класса, а содержащий его смежный класс C является следующей строкой. Процесс заканчивается, когда все векторы V рассортированы по смежным классам.

Пример стандартного массива для 2-мерного кода C = {00000, 01101, 10110, 11011} в 5-мерном пространстве V (с 32 векторами) выглядит следующим образом:

Процедура декодирования заключается в том, чтобы найти полученное слово в таблице и затем прибавить к нему лидера смежного класса той строки, в которой оно находится. Поскольку в двоичной арифметике сложение — это та же операция, что и вычитание, в результате всегда получается элемент C. В случае, если ошибки передачи произошли именно в ненулевых позициях лидера смежного класса, результатом будет правильное кодовое слово. В этом примере при возникновении единичной ошибки метод всегда ее исправит, так как в массиве появляются все возможные лидеры смежных классов с единственной.

Декодирование синдромов можно использовать для повышения эффективности этого метода. Это метод вычисления правильного смежного класса (строки), в котором будет находиться полученное слово. Для n -мерного кода C в m -мерном двоичном векторном пространстве матрица проверки четности представляет собой матрицу ( m − n ) × m. H , обладающий тем свойством, что x H ^T = 0 тогда и только тогда, когда x находится в C . ^[12] Вектор xHT называется синдромом x , и по линейности каждый ^вектор в одном и том же смежном классе будет иметь один и тот же синдром. При декодировании поиск теперь сводится к поиску лидера смежного класса, имеющего тот же синдром, что и полученное слово. ^[13]

Двойные классы

Учитывая две подгруппы, H и K (которые не обязательно должны быть различными) группы G , двойные классы H и K в G являются множествами вида HgK = { hgk  : h — элемент H , k — элемент K } . Это левые классы K и правые классы H , когда H = 1 и K = 1 соответственно. ^[14]

Два двойных класса HxK и HyK либо не пересекаются, либо совпадают. ^[15] Множество всех двойных смежных классов для фиксированных H и K образует разбиение G .

Двойной класс HxK содержит полные правые классы H (в G ) формы Hxk , где k является элементом K , и полные левые классы K (в G ) формы hxK , с h в H. ^[15]

Обозначения

Пусть G — группа с подгруппами H и K. Некоторые авторы, работающие с этими множествами, разработали для своей работы специальные обозначения, где ^{[16] [17]}

• G / H обозначает множество левых смежныхклассов { gH : g в G } группы H в G.
• H \ G обозначает множество правых смежныхклассов { Hg  : g в G } группы H в G.
• K \ G / H обозначает набор двойных смежных классов { KgH  : g в G } для H и K в G , иногда называемый пространством двойных смежных классов .
• G // H обозначает двойное смежное пространство H \ G / H подгруппы H в G .

Больше приложений

• Классы Q в R используются при построении множеств Витали , типа неизмеримого множества .
• Классы смежности занимают центральное место в определении передачи .
• Классы смежности важны в вычислительной теории групп. Например, алгоритм Тистлтуэйта для решения кубика Рубика в значительной степени опирается на смежные классы.
• В геометрии форма Клиффорда–Клейна представляет собой двойное смежное пространство Γ\ G / H , где G — редуктивная группа Ли , H — замкнутая подгруппа, а Γ — дискретная подгруппа (группы G ), которая действует надлежащим образом разрывно на однородной пространство Г / Ч .

Смотрите также

• Куча
• Перечисление смежных классов

Примечания

1. Ротман 2006, с. 156
2. Дин 1990, с. 100
3. "Косеты AATA" . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. Проверено 9 декабря 2020 г.
4. Ротман 2006, стр.155.
5. Фрэли 1994, с. 117
6. Fraleigh 1994, с. 169
7. Джоши 1989, с. 323
8. Ротман 2006, с. 155
9. Бертон 1988, стр. 128, 135.
10. Джейкобсон 2009, с. 52
11. Миллер 2012, с. 24 сноска
12. Матрица транспонирования используется для того, чтобы векторы можно было записать как векторы-строки.
13. Ротман 2006, с. 423
14. Скотт 1987, с. 19
15. Hall 1959, стр. 14–15.
16. Зейтц, Гэри М. (1998), «Двойные смежные классы в алгебраических группах», в Картере, RW; Саксл, Дж. (ред.), Алгебраические группы и их представление , Springer, стр. 241–257, doi : 10.1007/978-94-011-5308-9_13, ISBN 978-0-7923-5292-1
17. Дакворт, В. Итан (2004), «Бесконечность наборов двойных смежных классов в алгебраических группах», Journal of Algebra , Elsevier, 273 (2): 718–733, arXiv : math/0305256 , doi : 10.1016/j.jalgebra. 2003.08.011, S2CID  17839580

Рекомендации

• Бертон, Дэвид М. (1988), Абстрактная алгебра , Wm. Издательство C. Brown, ISBN 0-697-06761-0
• Дин, Ричард А. (1990), Классическая абстрактная алгебра , Харпер и Роу, ISBN 0-06-041601-7
• Фрэли, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-53467-2
• Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп , The Macmillan Company
• Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Основная алгебра I (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1
• Джоши, К.Д. (1989), «§5.2 Классы подгрупп», Основы дискретной математики, New Age International, стр. 322 и далее, ISBN 81-224-0120-1
• Миллер, Джорджия (2012) [1916], Теория и приложения конечных групп , Applewood Books, ISBN 9781458500700
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-186267-8
• Скотт, WR (1987), «§1.7 Классы смежности и индекс», Теория групп, Courier Dover Publications, стр. 19 и далее, ISBN 0-486-65377-3

дальнейшее чтение

• Зассенхаус, Ганс Дж. (1999), «Подгруппы §1.4», Теория групп, Courier Dover Publications, стр. 10 и далее, ISBN 0-486-40922-8

Внешние ссылки

• Николас Брэй. «Козет». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Левый школьник». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Правильный Козет». Математический мир .
• Иванова, О.А. (2001) [1994], «Козет в группе», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Козет в PlanetMath .
• Иллюстрированные примеры
• «Козет». групповой реквизит . Вики-страница свойств группы.