Алгебраическое уравнение

Полиномиальное уравнение, обычно одномерное

В математике алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение — это уравнение вида , где P — многочлен с коэффициентами в некотором поле , часто в поле рациональных чисел . Например, – алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами и ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0}$

— многомерное полиномиальное уравнение над рациональными числами. Для многих авторов термин « алгебраическое уравнение» относится только к одномерному случаю, то есть к полиномиальным уравнениям, в которых участвует только одна переменная . С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных ( многомерный случай), и в этом случае обычно предпочтительнее использовать термин « полиномиальное уравнение» .

Некоторые, но не все полиномиальные уравнения с рациональными коэффициентами имеют решение, представляющее собой алгебраическое выражение , которое можно найти с помощью конечного числа операций, в которых задействованы только те же типы коэффициентов (то есть можно решить алгебраически ). Это можно сделать для всех таких уравнений первой, второй, третьей или четвертой степени ; но для пятой и более степени это можно сделать только для некоторых уравнений, а не для всех . Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективно точных аппроксимаций действительных или комплексных решений одномерного алгебраического уравнения (см. Алгоритм поиска корней ) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).

Терминология

Термин «алгебраическое уравнение» возник в то время, когда основной проблемой алгебры было решение одномерных полиномиальных уравнений. Эта проблема была полностью решена в XIX веке; см. Фундаментальную теорему алгебры , теорему Абеля–Руффини и теорию Галуа .

С тех пор сфера применения алгебры значительно расширилась. В частности, оно включает в себя изучение уравнений, содержащих корни n- й степени , и, в более общем плане, алгебраических выражений . Это делает термин «алгебраическое уравнение» двусмысленным вне контекста старой проблемы. Поэтому термин «полиномиальное уравнение» обычно предпочтительнее, когда может возникнуть такая двусмысленность, особенно при рассмотрении многомерных уравнений.

История

Изучение алгебраических уравнений, вероятно, так же старо, как и математика: вавилонские математики еще в 2000 году до нашей эры могли решать некоторые виды квадратных уравнений (изображенных на старовавилонских глиняных табличках ).

Одномерные алгебраические уравнения над рациональными числами (т. е. с рациональными коэффициентами) имеют очень долгую историю. Древние математики хотели найти решения в форме радикальных выражений , например, для положительного решения . Древние египтяне умели решать таким способом уравнения второй степени. Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. н.э.) подробно описал квадратную формулу в своем трактате «Брахмаспхутасиддханта», опубликованном в 628 г. н.э., но написанном словами, а не символами. В 9 веке Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми и другие исламские математики вывели квадратичную формулу , общее решение уравнений второй степени, и признали важность дискриминанта . В эпоху Возрождения в 1545 году Джероламо Кардано опубликовал решение Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья для уравнений 3-й степени и решение Лодовико Феррари для уравнений 4-й степени . Наконец , Нильс Хенрик Абель в 1824 году доказал, что уравнения степени 5 и выше не имеют общих решений с использованием радикалов. Теория Галуа , названная в честь Эвариста Галуа , показала, что некоторые уравнения по крайней мере степени 5 не имеют даже своеобразного решения в радикалах, и дала критерии для определения того, действительно ли уравнение разрешимо с использованием радикалов. ${\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$

Области обучения

Алгебраические уравнения составляют основу ряда областей современной математики: Алгебраическая теория чисел — это изучение (одномерных) алгебраических уравнений над рациональными числами (то есть с рациональными коэффициентами). Теория Галуа была введена Эваристом Галуа для определения критериев, позволяющих решить, можно ли решить алгебраическое уравнение в терминах радикалов. В теории поля алгебраическое расширение — это расширение, в котором каждый элемент является корнем алгебраического уравнения над основным полем. Трансцендентная теория чисел — это изучение действительных чисел, которые не являются решениями алгебраического уравнения над рациональными числами. Диофантово уравнение — это (обычно многомерное) полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами, для которого интересуют целочисленные решения. Алгебраическая геометрия — это исследование решений в алгебраически замкнутом поле многомерных полиномиальных уравнений.

Два уравнения эквивалентны, если они имеют одинаковый набор решений . В частности, уравнение эквивалентно . Отсюда следует, что изучение алгебраических уравнений эквивалентно изучению многочленов. ${\displaystyle P=Q}$ ${\displaystyle P-Q=0}$

Полиномиальное уравнение над рациональными числами всегда можно преобразовать к эквивалентному, в котором коэффициенты являются целыми числами . Например, умножив на 42 = 2·3·7 и сгруппировав его члены в первом члене, ранее упомянутое полиномиальное уравнение примет вид ${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.}$

Поскольку синус , возведение в степень и 1/ T не являются полиномиальными функциями,

${\displaystyle e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0}$

не является полиномиальным уравнением от четырех переменных x , y , z и T над рациональными числами. Однако это полиномиальное уравнение от трех переменных x , y и z над полем элементарных функций от переменной T.

Теория

Полиномы

Дано уравнение с неизвестным x

${\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}$,

с коэффициентами в поле K , можно эквивалентно сказать, что решения (E) в K являются корнями в K многочлена

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]}$.

Можно показать, что многочлен степени n в поле имеет не более n корней. Таким образом, уравнение (E) имеет не более n решений.

Если K' является расширением поля K , можно рассматривать (E) как уравнение с коэффициентами в K , а решения (E) в K также являются решениями в K' (обратное, вообще говоря, не выполняется). Всегда можно найти расширение поля K , известное как поле разрыва многочлена P , в котором (E) имеет хотя бы одно решение.

Существование решений вещественных и сложных уравнений

Основная теорема алгебры гласит, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть все полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами и степенью не ниже одной имеют решение.

Отсюда следует, что все полиномиальные уравнения степени 1 и выше с действительными коэффициентами имеют комплексное решение. С другой стороны, такое уравнение как не имеет решения в (решениями являются мнимые единицы i и –i ). ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Хотя действительные решения реальных уравнений интуитивно понятны (они представляют собой координаты x точек, где кривая y = P ( x ) пересекает ось x ), существование комплексных решений реальных уравнений может быть неожиданным и трудным для понимания. визуализировать.

Однако унитарный многочлен нечетной степени обязательно должен иметь вещественный корень. Соответствующая полиномиальная функция по x является непрерывной и приближается по мере приближения x и приближения x к . Следовательно, согласно теореме о промежуточном значении , оно должно принимать нулевое значение в некотором вещественном x , которое тогда является решением полиномиального уравнения. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Связь с теорией Галуа

Существуют формулы, дающие решения действительных или комплексных многочленов степени меньше или равной четырем в зависимости от их коэффициентов. Абель показал, что такую ​​формулу вообще невозможно найти (используя только четыре арифметических действия и извлекая корни) для уравнений пятой степени и выше. Теория Галуа предоставляет критерий, который позволяет определить, может ли решение данного полиномиального уравнения быть выражено через радикалы.

Явное решение численных уравнений

Подход

Явное решение вещественного или комплексного уравнения степени 1 тривиально. Решение уравнения высшей степени n сводится к факторизации соответствующего многочлена, т. е. переписыванию (E) в виде

${\displaystyle a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0}$,

где решения, то . Проблема в том, чтобы выразить это в терминах . ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Этот подход применяется в более общем плане, если коэффициенты и решения принадлежат области целостности .

Общие методы

Факторинг

Если уравнение P ( x ) = 0 степени n имеет рациональный корень α , соответствующий многочлен можно разложить на множители и получить форму P ( X ) = ( X – α ) Q ( X ) (путем деления P ( X ) на X – α или записывая P ( X ) – P (α) как линейную комбинацию членов формы X ^k – α ^k и вынося X – α . Таким образом, решение P ( x ) = 0 сводится к решению степени n – 1 уравнение Q ( x ) = 0. См., например, случай n = 3 .

Устранение субдоминантного термина

Чтобы решить уравнение степени n ,

${\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}$,

Обычным предварительным шагом является исключение члена степени n - 1 : установив , уравнение (E) принимает вид ${\displaystyle x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}}$

${\displaystyle a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}y+b_{0}=0}$.

Леонард Эйлер разработал эту технику для случая n = 3 , но она также применима, например, к случаю n = 4 .

Квадратные уравнения

Для решения квадратного уравнения вида вычисляется дискриминант Δ, определяемый . ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$

Если полином имеет действительные коэффициенты, он имеет:

• два различных вещественных корня, если  ; ${\displaystyle \Delta >0}$
• один действительный двойной корень if  ; ${\displaystyle \Delta =0}$
• нет действительного корня, если , но есть два комплексно-сопряженных корня. ${\displaystyle \Delta <0}$

Кубические уравнения

Самый известный метод решения кубических уравнений путем записи корней через радикалы — это формула Кардано .

Уравнения четвертой степени

Подробное обсуждение некоторых методов решения см.:

• Преобразование Чирнхауса (общий метод, успех которого не гарантирован);
• метод Безу (общий метод, успех которого не гарантирован);
• метод Феррари (решения для степени 4);
• метод Эйлера (решения для степени 4);
• метод Лагранжа (решения для степени 4);
• метод Декарта (решения 2 или 4 степени);

Уравнение четвертой степени с можно свести к квадратному уравнению путем замены переменной при условии, что оно либо биквадратичное ( b = d = 0 ), либо квазипалиндромное ( e = a , d = b ). ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

Некоторые уравнения кубической и четвертой степени можно решить с помощью тригонометрии или гиперболических функций .

Уравнения высшей степени

Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель независимо друг от друга показали, что в общем многочлен степени 5 или выше не разрешим с помощью радикалов. Некоторые конкретные уравнения имеют решения, например, те, которые связаны с круговыми полиномами 5 и 17 степеней.

Чарльз Эрмит , с другой стороны, показал, что полиномы 5-й степени разрешимы с помощью эллиптических функций .

В противном случае можно найти численные аппроксимации корней, используя алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона .

Смотрите также

• Алгебраическая функция
• Алгебраическое число
• Нахождение корня
• Линейное уравнение (степень = 1)
• Квадратное уравнение (степень = 2)
• Кубическое уравнение (степень = 3)
• Уравнение четвертой степени (степень = 4)
• Уравнение пятой степени (степень = 5)
• Секстическое уравнение (степень = 6)
• Септическое уравнение (степень = 7)
• Система линейных уравнений
• Система полиномиальных уравнений
• Линейное диофантово уравнение
• Линейное уравнение над кольцом
• Теорема Крамера (алгебраические кривые) о количестве точек, обычно достаточном для определения двумерной кривой n -й степени.

Рекомендации

• «Алгебраическое уравнение», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическое уравнение». Математический мир .