Эварист Галуа

Французский математик (1811–1832).

Эварист Галуа ( / ɡ æ l ˈ w ɑː / ; ^[1] французский: [evaʁist ɡalwa] ; 25 октября 1811 — 31 мая 1832) — французский математик и политический деятель. Еще будучи подростком, он смог определить необходимое и достаточное условие разрешимости многочлена радикалами , решив тем самым проблему, которая была открыта в течение 350 лет . Его работа заложила основы теории Галуа и теории групп , ^[2] двух основных разделов абстрактной алгебры .

Галуа был убежденным республиканцем и принимал активное участие в политических беспорядках, окружавших Французскую революцию 1830 года . В результате своей политической активности его неоднократно арестовывали, отбывая тюремное заключение сроком на несколько месяцев. По причинам, которые остаются неясными, вскоре после освобождения из тюрьмы Галуа сражался на дуэли и умер от полученных ран. ^[3]

Жизнь

Ранний период жизни

Галуа родился 25 октября 1811 года в семье Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари (урожденной Деманте). ^{[2] [4]} Его отец был республиканцем и возглавлял либеральную партию Бур-ла-Рейн . Его отец стал мэром деревни ^[2] после того, как Людовик XVIII вернулся на престол в 1814 году. Его мать, дочь юриста , свободно читала латынь и классическую литературу и отвечала за образование сына в течение его первых двенадцати лет. .

Cour d'honneur лицея Луи-ле-Гран , который Галуа посещал еще мальчиком.

В октябре 1823 года он поступил в лицей Луи-ле-Гран, где его учитель Луи Поль Эмиль Ришар признал его талант. ^[5] В 14 лет он начал серьезно интересоваться математикой . ^[5]

Галуа нашел экземпляр « Элементов геометрии » Адриана-Мари Лежандра , который, как говорят, он прочитал «как роман» и освоил с первого прочтения. В 15 лет он читал оригинальные статьи Жозефа-Луи Лагранжа , такие как «Reflexions sur la resolution algébrique des équations» , которые, вероятно, мотивировали его более поздние работы по теории уравнений, ^[6] и «Leçons sur le Calcul des fonctions» , работу, предназначенную для профессиональных математики, однако его классная работа оставалась скучной, а учителя обвиняли его в том, что он выставляет себя гением. ^[4]

Начинающий математик

В 1828 году Галуа попытался сдать вступительный экзамен в Политехническую школу , самое престижное математическое учреждение во Франции в то время, без обычной подготовки по математике, и потерпел неудачу из-за отсутствия объяснений на устном экзамене. В том же году он поступил в Нормальную школу (тогда известную как подготовительная школа), гораздо худшее в то время учебное заведение по математическим исследованиям, где он нашел некоторых профессоров, симпатизировавших ему. ^{[ нужна цитата ]}

Огюстен-Луи Коши сделал обзор ранних математических работ Галуа.

В следующем году была опубликована первая статья Галуа о цепных дробях [ ^7] . Примерно в то же время он начал делать фундаментальные открытия в теории полиномиальных уравнений . Он представил в Академию наук две статьи по этой теме . Огюстен-Луи Коши рецензировал эти статьи, но отказался принять их к публикации по причинам, которые до сих пор остаются неясными. Однако, несмотря на многочисленные утверждения об обратном, широко распространено мнение, что Коши признал важность работы Галуа и что он просто предложил объединить две статьи в одну, чтобы принять участие в конкурсе на главный приз академии по математике. . Коши, выдающийся математик того времени, хотя и придерживавшийся политических взглядов, диаметрально противоположных взглядам Галуа, считал работу Галуа вероятным победителем. ^[8]

28 июля 1829 года отец Галуа покончил жизнь самоубийством после ожесточенного политического спора с деревенским священником. ^[9] Пару дней спустя Галуа предпринял вторую и последнюю попытку поступить в Политехнический институт, но снова потерпел неудачу. ^[9] Не подлежит сомнению, что Галуа был более чем квалифицирован; Мнения о том, почему он потерпел неудачу, расходятся. Более правдоподобные версии утверждают, что Галуа сделал слишком много логических скачков и сбил с толку некомпетентного эксперта, что привело Галуа в ярость. Недавняя смерть отца, возможно, также повлияла на его поведение. ^[4]

Получив отказ в приеме в Политехническую школу , Галуа сдал экзамены на степень бакалавра, чтобы поступить в Нормальную школу . ^[9] Он сдал экзамен, получив степень 29 декабря 1829 года. ^[9] Его экзаменатор по математике сообщил: «Этот ученик иногда неясно выражает свои идеи, но он умен и демонстрирует замечательный исследовательский дух».

Галуа несколько раз представлял свои мемуары по теории уравнений, но при его жизни они ни разу не были опубликованы. Хотя его первая попытка была отклонена Коши, в феврале 1830 года по предложению Коши он представил ее секретарю академии Жозефу Фурье ^[9] для рассмотрения на Гран-при академии. К сожалению, вскоре после этого Фурье умер, ^[9] и мемуары были утеряны. ^[9] В этом году премия будет вручена посмертно Нильсу Хенрику Абелю , а также Карлу Густаву Якобу Якоби . Несмотря на утерянные мемуары, Галуа в том же году опубликовал три статьи. Один заложил основы теории Галуа . ^[10] Второй был о численном разрешении уравнений ( нахождение корня в современной терминологии). ^[11] Третий был важным в теории чисел , в котором впервые была сформулирована концепция конечного поля . ^[12]

Политический смутьян

Битва за Ратушу Жан -Виктор Шнец . Галуа, как убежденный республиканец, хотел бы принять участие в Июльской революции 1830 года, но ему помешал директор Нормальной школы.

Галуа жил во время политических потрясений во Франции. Карл X сменил Людовика XVIII в 1824 году, но в 1827 году его партия потерпела серьезное поражение на выборах , и к 1830 году оппозиционная либеральная партия стала большинством . Карл, столкнувшись с политической оппозицией со стороны палат, устроил государственный переворот и издал свои пресловутые июльские указы , положившие начало Июльской революции ^[9] , которая закончилась тем, что Луи-Филипп стал королем. Пока их коллеги из Политехнического института творили историю на улицах, Галуа из Нормальной школы был заперт директором школы. Галуа был возмущен и написал резкое письмо с критикой директора, которое он представил в Gazette des Écoles , подписав письмо своим полным именем. Хотя редактор «Газеты » не поставил подпись для публикации, Галуа был исключен. ^[13]

Хотя формально его исключение должно было вступить в силу 4 января 1831 года, Галуа немедленно бросил школу и присоединился к стойкому республиканскому артиллерийскому подразделению Национальной гвардии . Он делил свое время между математической работой и политической деятельностью. Из-за разногласий вокруг подразделения, вскоре после того, как Галуа стал его членом, 31 декабря 1830 года, артиллерия Национальной гвардии была расформирована из-за опасений, что они могут дестабилизировать правительство. Примерно в то же время девятнадцать офицеров бывшего подразделения Галуа были арестованы и обвинены в заговоре с целью свержения правительства.

В апреле 1831 года с офицеров были сняты все обвинения, а 9 мая 1831 года в их честь был устроен банкет, на котором присутствовало много выдающихся людей, таких как Александр Дюма . Разбирательство приняло буйный характер. В какой-то момент Галуа встал и произнес тост , в котором сказал: «За Луи-Филиппа », с кинжалом над чашкой. Республиканцы на банкете истолковали тост Галуа как угрозу жизни короля и аплодировали. На следующий день он был арестован в доме своей матери и содержался под стражей в тюрьме Сент-Пелажи до 15 июня 1831 года, когда над ним состоялся суд. ^[8] Защитник Галуа ловко заявил, что Галуа на самом деле сказал: «Луи-Филиппу, если он предаст », но это уточнение было заглушено аплодисментами. Прокурор задал еще несколько вопросов, и, возможно, под влиянием молодости Галуа, присяжные в тот же день оправдали его. ^{[8] [9] [13] [14]}

В следующий День взятия Бастилии (14 июля 1831 г.) Галуа возглавил протест, одетый в форму расформированной артиллерии, и пришел тяжеловооруженный, с несколькими пистолетами, заряженной винтовкой и кинжалом. Его снова арестовали. ^[9] Во время своего пребывания в тюрьме Галуа однажды впервые употребил алкоголь под подстрекательством своих сокамерников. Один из этих заключенных, Франсуа-Венсан Распай , записал в письме от 25 июля слова Галуа, будучи пьяным. Выдержка из письма: ^[8]

И я вам говорю, я погибну на дуэли по случаю какой-нибудь coquette de bas étage . Почему? Потому что она пригласит меня отомстить за ее честь, которую другой скомпрометировал.
Знаешь, чего мне не хватает, друг мой? Я могу довериться в этом только тебе: это тот, кого я могу любить и любить только духом. Я потерял отца, и никто никогда не заменил его, ты меня слышишь...?

Распай продолжает, что Галуа, все еще находясь в бреду, предпринял попытку самоубийства, и что ему это удалось бы, если бы его сокамерники не остановили его силой. ^[8] Несколько месяцев спустя, когда 23 октября состоялся суд над Галуа, он был приговорен к шести месяцам тюремного заключения за незаконное ношение униформы. ^{[9] [15] [16]} Находясь в тюрьме, он продолжал развивать свои математические идеи. Он был освобожден 29 апреля 1832 года.

Последние дни

Симеон Дени Пуассон рассмотрел статью Галуа по теории уравнений и назвал ее «непонятной».

Галуа вернулся к математике после исключения из Нормальной школы , хотя продолжал проводить время в политической деятельности. После того, как его исключение стало официальным в январе 1831 года, он попытался открыть частный класс продвинутой алгебры, что вызвало некоторый интерес, но этот интерес пошел на убыль, поскольку казалось, что его политическая активность имела приоритет. ^{[4] [8]} Симеон Дени Пуассон попросил его представить свою работу по теории уравнений , что он и сделал 17 января 1831 года. Примерно 4 июля 1831 года Пуассон объявил работу Галуа «непонятной», заявив, что «аргумент [Галуа] ни достаточно ясно, ни достаточно развито, чтобы мы могли судить о его строгости»; однако отчет об отказе заканчивается на обнадеживающей ноте: «Тогда мы бы предложили автору опубликовать всю свою работу, чтобы сформировать окончательное мнение». ^[17] Хотя отчет Пуассона был сделан до ареста Галуа 14 июля, Галуа попал в тюрьму только в октябре. Неудивительно, учитывая его характер и ситуацию в то время, что Галуа бурно отреагировал на письмо с отказом и решил отказаться от публикации своих статей через академию и вместо этого публиковать их в частном порядке через своего друга Огюста Шевалье. Однако, судя по всему, Галуа не проигнорировал совет Пуассона: он начал собирать все свои математические рукописи еще в тюрьме и продолжал шлифовать свои идеи до своего освобождения 29 апреля 1832 г. ^[13] , после чего его каким-то образом уговорили на дуэль. ^[9]

Роковая дуэль Галуа состоялась 30 мая. ^[18] Истинные мотивы дуэли неясны. О них ходило много спекуляций. Известно лишь то, что за пять дней до смерти он написал Шевалье письмо, в котором явно намекает на разорванную любовную связь. ^[8]

Некоторые архивные исследования оригинальных писем позволяют предположить, что женщиной, представлявшей романтический интерес, была Стефани-Фелиси Потерен дю Мотель, ^[19] дочь врача общежития, где Галуа останавливался в последние месяцы своей жизни. Доступны фрагменты ее писем, скопированные самим Галуа (многие части, такие как ее имя, либо стерты, либо намеренно опущены). ^[20] В письмах намекается, что Потерен дю Мотель рассказала Галуа о некоторых своих проблемах, и это могло побудить его самому спровоцировать дуэль от ее имени. Эту гипотезу подтверждают и другие письма, которые Галуа позже написал своим друзьям в ночь перед своей смертью. Двоюродный брат Галуа, Габриэль Деманте, когда его спросили, знает ли он причину дуэли, упомянул, что Галуа «оказался в присутствии предполагаемых дяди и предполагаемого жениха, каждый из которых спровоцировал дуэль». Сам Галуа воскликнул: «Я стал жертвой гнусной кокетки и двух ее обманщиков». ^[13]

Гораздо более подробные предположения, основанные на этих скудных исторических деталях, были интерполированы многими биографами Галуа, например, часто повторяемое предположение о том, что весь инцидент был срежиссирован полицией и фракциями роялистов для устранения политического врага. ^{[ нужна цитата ]}

Что касается своего противника на дуэли, Александр Дюма называет Пешо д'Эрбенвиля, ^[14] который на самом деле был одним из девятнадцати артиллерийских офицеров, чье оправдание праздновалось на банкете, повлекшем за собой первый арест Галуа. ^[21] Однако Дюма одинок в этом утверждении, и если бы он был прав, неясно, почему д'Эрбинвиль был замешан в этом. Было высказано предположение, что в то время он был «предполагаемым женихом» Потерен дю Мотель (в конечном итоге она вышла замуж за кого-то другого), но не было найдено четких доказательств, подтверждающих это предположение. С другой стороны, сохранившиеся газетные вырезки, сделанные всего через несколько дней после дуэли, дают описание его противника (обозначенного инициалами «ЛД»), которое, по-видимому, более точно относится к одному из друзей Галуа-республиканца, скорее всего, Эрнесту Дюшатле, который был заключен в тюрьму вместе с Галуа по тем же обвинениям. ^[22] Учитывая противоречивую информацию, истинная личность его убийцы вполне может быть потеряна для истории.

Какими бы ни были причины дуэли, Галуа был настолько убежден в своей неминуемой смерти, что не спал всю ночь, писал письма своим друзьям-республиканцам и сочинял то, что впоследствии стало его математическим завещанием: знаменитое письмо Огюсту Шевалье, излагающее его идеи, и три прилагаемых рукописи. . ^[23] Математик Герман Вейль сказал об этом завещании: «Это письмо, если судить по новизне и глубине содержащихся в нем идей, является, пожалуй, самым существенным произведением во всей литературе человечества». Однако легенда о Галуа, изложив свои математические мысли на бумаге в ночь перед смертью, похоже, преувеличена. ^[8] В этих заключительных статьях он обрисовал грубые черты некоторой аналитической работы, которую он проделал, и аннотировал копию рукописи, представленной в академию, и другие документы.

Мемориал Галуа на кладбище Бур-ла-Рейн . Эварист Галуа был похоронен в братской могиле, точное местонахождение которого неизвестно.

Рано утром 30 мая 1832 года он был ранен в живот , ^[18] был оставлен противниками и собственными секундантами и был найден проходящим мимо фермером. Он умер на следующее утро ^[18] в десять часов в больнице Кочин (вероятно, от перитонита ), отказавшись от должности священника. Его похороны закончились беспорядками. ^[18] Были планы поднять восстание во время его похорон, но в то же время лидеры узнали о смерти генерала Жана Максимилиана Ламарка , и восстание было отложено без какого-либо восстания до 5 июня . Только младший брат Галуа был уведомлен о событиях до смерти Галуа. ^[24] Галуа было 20 лет. Его последними словами младшему брату Альфреду были:

«Ne pleure pas, Альфред! J’ai besoin de tout mon мужество pour mourir à vingt ans!»
(Не плачь, Альфред! Мне нужно все мое мужество, чтобы умереть в двадцать лет!)

2 июня Эварист Галуа был похоронен в братской могиле на кладбище Монпарнас , точное местонахождение которого неизвестно. ^{[18] [16]} На кладбище его родного города – Бур-ла-Рейн – кенотаф в его честь был установлен рядом с могилами его родственников. ^[25]

Эварист Галуа умер в 1832 году. Жозеф Лиувилль начал изучать неопубликованные статьи Галуа в 1842 году и признал их ценность в 1843 году. Неясно, что произошло за 10 лет между 1832 и 1842 годами и что в конечном итоге вдохновило Жозефа Лиувилля начать читать статьи Галуа. Йеспер Лютцен довольно подробно исследует эту тему в главе XIV « Теория Галуа» своей книги о Жозефе Лиувилле, не придя к каким-либо окончательным выводам. ^[26]

Вполне возможно, что математики (в том числе Лиувилль) не хотели публиковать работы Галуа, потому что Галуа был республиканским политическим активистом, который умер за 5 дней до Июньского восстания , неудачного антимонархического восстания парижских республиканцев. В некрологе Галуа его друг Огюст Шевалье почти обвинил академиков Политехнической школы в убийстве Галуа, поскольку, если бы они не отвергли его работу, он стал бы математиком и не посвятил бы себя республиканской политической активности, в которую некоторые верили. он был убит. ^[26]

Учитывая, что Франция все еще жила в тени правления террора и наполеоновской эпохи , Лиувилль мог бы подождать, пока утихнут политические волнения Июньского восстания , прежде чем обратить свое внимание на документы Галуа. ^[26]

Лиувилль наконец опубликовал рукописи Галуа в номере журнала Journal de Mathématiques Pures et Appliquées за октябрь – ноябрь 1846 года . ^{[27] [28]} Самым известным вкладом Галуа было новое доказательство того, что не существует формулы пятой степени , то есть что уравнения пятой и более высоких степеней обычно не могут быть решены радикалами. Хотя Нильс Хенрик Абель уже доказал радикалами невозможность «формулы квинтики» в 1824 году, а Паоло Руффини опубликовал в 1799 году решение, которое оказалось ошибочным, методы Галуа привели к более глубокому исследованию того, что сейчас называется теорией Галуа , которая может использоваться для определения для любого полиномиального уравнения, имеет ли оно радикальное решение.

Вклад в математику

Последняя страница математического завещания Галуа, написанная его собственной рукой. Фраза «расшифровать весь этот бардак» («déchiffrer tout ce gâchis») находится на предпоследней строке.

Из заключительных строк письма Галуа своему другу Огюсту Шевалье от 29 мая 1832 года, за два дня до смерти Галуа: ^[23]

Tu prieras publiquement Jacobi или Gauss de donner leur avis, not sur la verite, mais sur l'importance des theorèmes.

После этого, его аура, я испытываю желание, люди, которые могут получить прибыль и получить эту прибыль.

(Попросите Якоби или Гаусса публично высказать свое мнение не об истинности, а о важности этих теорем. Позже, я надеюсь, найдутся люди, которым будет полезно расшифровать всю эту путаницу.)

Примерно на 60 страницах собрания сочинений Галуа содержится множество важных идей, имевших далеко идущие последствия почти для всех разделов математики. ^{[29] [30]} Его работу сравнивают с работой Нильса Хенрика Абеля (1802–1829), современного математика, который также умер в очень молодом возрасте, и большая часть их работ во многом пересекалась.

Алгебра

В то время как многие математики до Галуа рассматривали то, что сейчас известно как группы , именно Галуа был первым, кто использовал слово группа (по-французски groupe ) в смысле, близком к техническому смыслу, который понимается сегодня, что сделало его одним из основателей раздела алгебры, известного как теория групп . Он назвал разложение группы на левый и правый смежные классы правильным разложением , если левый и правый смежные классы совпадают, что сегодня известно как нормальная подгруппа. ^[23] Он также ввел понятие конечного поля (также известного как поле Галуа в его честь) по существу в той же форме, в которой оно понимается сегодня. ^[12]

В своем последнем письме Шевалье ^[23] и приложенных к нему рукописях, втором из трех, он провел фундаментальные исследования линейных групп над конечными полями:

• Он построил общую линейную группу над простым полем GL( ν , p ) и вычислил ^ее порядок при изучении группы Галуа общего уравнения степени pν . ^[31]
• Он построил проективную специальную линейную группу PSL(2, p ). Галуа построил их как дробные линейные преобразования и заметил, что они были простыми, за исключением случаев, когда p равнялось 2 или 3. ^[32] Это было второе семейство конечных простых групп после чередующихся групп . ^[33]
• Он отметил исключительный факт , что PSL(2, p ) прост и действует на p точках тогда и только тогда, когда p равно 5, 7 или 11. ^{[34] [35]}

Теория Галуа

Самым значительным вкладом Галуа в математику является разработка теории Галуа. Он понял, что алгебраическое решение полиномиального уравнения связано со структурой группы перестановок , связанной с корнями многочлена, группой Галуа многочлена. Он обнаружил, что уравнение можно решить в радикалах , если можно найти серию подгрупп его группы Галуа, каждая из которых нормальна к своему преемнику с абелевым фактором, то есть его группа Галуа разрешима . Это оказался плодотворный подход, который позже математики адаптировали ко многим другим областям математики, помимо теории уравнений , к которой Галуа первоначально применил его. ^[29]

Анализ

Галуа также внес некоторый вклад в теорию абелевых интегралов и цепных дробей .

Как написано в своем последнем письме, ^[23] Галуа перешел от изучения эллиптических функций к рассмотрению интегралов наиболее общих алгебраических дифференциалов, называемых сегодня абелевыми интегралами. Он разделил эти интегралы на три категории.

Непрерывные дроби

В своей первой статье в 1828 году ^[7] Галуа доказал, что правильная цепная дробь, представляющая квадратичный иррационал ζ, является чисто периодической тогда и только тогда, когда ζ является приведенным иррационалом , то есть и ее сопряженная дробь удовлетворяет . ${\displaystyle \zeta >1}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle -1<\eta <0}$

На самом деле Галуа показал нечто большее. Он также доказал, что если ζ — приведенная квадратичная дробь, а η — ее сопряженная дробь, то цепные дроби для ζ и для (−1/ η ) являются чисто периодическими, а повторяющийся блок в одной из этих цепных дробей является зеркальным отображением. повторяющегося блока в другом. В символах мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}$

где ζ — любой приведенный квадратичный иррационал, а η — его сопряженное.

Из этих двух теорем Галуа можно вывести результат, уже известный Лагранжу. Если r  > 1 — рациональное число, не являющееся полным квадратом, то

${\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}$

В частности, если n — любое неквадратное положительное целое число, разложение √ n в правильную цепную дробь содержит повторяющийся блок длины m , в котором первые m  − 1 частичные знаменатели образуют палиндромную строку.

Смотрите также

• Портал истории науки

• Список вещей, названных в честь Эвариста Галуа

Примечания

1. "Теория Галуа". Полный словарь Random House Webster .
2. C., Бруно, Леонард (ок. 2003 г.) [1999]. Математика и математики: история математических открытий во всем мире . Бейкер, Лоуренс В. Детройт, Мичиган: UX L. p. 171. ИСБН 978-0787638139. ОСЛК  41497065.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
3. К., Бруно, Леонард (2003) [1999]. Математика и математики: история математических открытий во всем мире . Бейкер, Лоуренс В. Детройт, Мичиган: UX L. стр. 171, 174. ISBN 978-0787638139. ОСЛК  41497065.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
4. Стюарт, Ян (1973). Теория Галуа . Лондон: Чепмен и Холл. стр. xvii – xxii. ISBN 978-0-412-10800-6.
5. C., Бруно, Леонард (2003) [1999]. Математика и математики: история математических открытий во всем мире . Бейкер, Лоуренс В. Детройт, Мичиган: UX L. p. 172. ИСБН 978-0787638139. ОСЛК  41497065.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
6. "Размышления о алгебраическом разрешении уравнений" . Британская энциклопедия .
7. Галуа, Эварист (1828). «Демонстрация теории по фракциям продолжается периодически». Анналы математических . XIX : 294.
8. Ротман, Тони (1982). «Гении и биографы: Художественная литература Эвариста Галуа». Американский математический ежемесячник . 89 (2): 84–106. дои : 10.2307/2320923. JSTOR  2320923 . Проверено 31 января 2015 г.
9. C., Бруно, Леонард (2003) [1999]. Математика и математики: история математических открытий во всем мире . Бейкер, Лоуренс В. Детройт, Мичиган: UX L. p. 173. ИСБН 978-0787638139. ОСЛК  41497065.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
10. Галуа, Эварист (1830). «Анализ памяти по алгебраическому разрешению уравнений». Бюллетень математических наук . XIII : 271.
11. Галуа, Эварист (1830). «Примечание к решению числовых уравнений». Бюллетень математических наук . XIII : 413.
12. Галуа, Эварист (1830). «Сюр-ла-теория чисел». Бюллетень математических наук . XIII : 428.
13. Дюпюи, Поль (1896). «Жизнь Эвариста Галуа». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 13 : 197–266. дои : 10.24033/asens.427 .
14. Дюма (отец), Александр. «ССИВ». Мои воспоминания . ISBN 978-1-4371-5595-2. Проверено 13 апреля 2010 г.
15. Белл, Эрик Темпл (1986). Мужчины математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN 978-0-671-62818-5.
16. Эскофье, Жан-Пьер (2001). Теория Галуа. Спрингер. стр. 222–224. ISBN 978-0-387-98765-1.
17. Татон, Р. (1947). «Отношения Эвариста Галуа с временными математиками». Revue d'Histoire des Sciences et de Leurs Applications . 1 (2): 114–130. дои : 10.3406/rhs.1947.2607.
18. C., Бруно, Леонард (2003) [1999]. Математика и математики: история математических открытий во всем мире . Бейкер, Лоуренс В. Детройт, Мичиган: UX L. p. 174. ИСБН 978-0787638139. ОСЛК  41497065.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
19. Инфантоцци, Карлос Альберти (1968). «Смерть Эвариста Галуа». Revue d'Histoire des Sciences et de Leurs Applications . 21 (2): 157. doi :10.3406/rhs.1968.2554.
20. Бургн, Р.; Ж.-П. Азра (1962). Écrits et mémoires mathématiques Эвариста Галуа . Париж: Готье-Виллар.
21. Блан, Луи (1844). История десяти лет, 1830–1840, Том 1. Лондон: Чепмен и Холл. п. 431.
22. Далмас, Андре (1956). Эварист Галуа: Революция и геометрия . Париж: Фаскель.
23. Галуа, Эварист (1846). «Письмо Галуа к Огюсту Шевалье». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . XI : 408–415 . Проверено 4 февраля 2009 г.
24. Коутиньо, Южная Каролина (1999). Математика шифров . Натик: AK Peters, Ltd., стр. 127–128. ISBN 978-1-56881-082-9.
25. Тоти Ригателли, Лаура (1996). Эварист Галуа, 1811–1832 (Vita mathematica, 11). Биркхойзер. п. 114. ИСБН 978-3-7643-5410-7.
26. Лютцен, Йеспер (1990). «Глава XIV: Теория Галуа». Жозеф Лиувилль 1809–1882: магистр чистой и прикладной математики . Исследования по истории математики и физических наук. Том. 15. Шпрингер-Верлаг. стр. 559–580. ISBN 3-540-97180-7.
27. Галуа, Эварист (1846). «Математические произведения Эвариста Галуа». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . XI : 381–444 . Проверено 4 февраля 2009 г.
28. Пьерпон, Джеймс (1899). «Обзор: Oeuvres mathématiques d'Evariste Galois; publiées sous les auspices de la Société Mathématique de France, с введением М. ЭМИЛЯ ПИКАРА. Париж, Готье-Виллар и Филс, 1897. 8vo, x + 63 стр.» (PDF ) . Бык. амер. Математика. Соц . 5 (6): 296–300. дои : 10.1090/S0002-9904-1899-00599-8 .В 1897 году Французское математическое общество переиздало публикацию 1846 года.
29. Ли, Софус (1895). «Влияние Галуа на развитие математики». Столетие нормальной школы 1795–1895 гг . Хашетт.
30. См. также: Софус Ли, «Влияние Галуа на развитие математики» в: Évariste Galois, Oeuvres Mathématiques publiées en 1846 dans le Journal de Liouville (Sceaux, Франция: Éditions Jacques Gabay, 1989), страницы приложения 1–9.
31. Письмо, с. 410
32. Письмо, с. 411
33. Уилсон, Роберт А. (2009). "Глава 1 Введение". Конечные простые группы . Тексты для аспирантов по математике . Том. 251. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. Збл  1203.20012.
34. Письмо, стр. 411–412.
35. «Последнее письмо Галуа в переводе» (PDF) .

Рекомендации

• Артин, Эмиль (1998), Теория Галуа, Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-62342-9– Перепечатка второго исправленного издания 1944 года, издательство Университета Нотр-Дам.
• Астрюк, Александр (1994), Эварист Галуа , Grandes Biographys (на французском языке), Flammarion, ISBN 978-2-08-066675-8
• Белл, ET (1937), «Галуа», « Мужчины математики» , том. 2. Все еще в печати.
• Дезерабль, Франсуа-Анри (2015), Эварист (на французском языке), Галлимар, ISBN 9782070147045
• Эдвардс, Гарольд М. (май 1984 г.), Теория Галуа, Тексты для выпускников по математике 101, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90980-6- Этот учебник объясняет теорию Галуа с учетом исторического развития и включает английский перевод мемуаров Галуа.
• Эрхардт, Кэролайн (2011), Эварист Галуа, la Fabrication d'une icône mathématique , En temps etlieux (на французском языке), Editions de l'Ecole Pratiques de Hautes Etudes en Sciences Sociales, ISBN 978-2-7132-2317-4
• Инфельд, Леопольд (1948), Кого любят боги: история Эвариста Галуа , Серия классических произведений по математическому образованию , Рестон, Вирджиния : Национальный совет учителей математики , ISBN 978-0-87353-125-2– Классическая художественная биография физика Инфельда.
• Ливио, Марио (2006), «Уравнение, которое невозможно решить: как математический гений открыл язык симметрии», Physics Today , Souvenir Press, 59 (7): 50, Bibcode : 2006PhT....59g.. 50L, номер doi : 10.1063/1.2337831 , ISBN 978-0-285-63743-6
• Тоти Ригателли, Лаура (1996), Эварист Галуа , Биркхаузер, ISBN 978-3-7643-5410-7– Эта биография бросает вызов распространенному мифу о дуэли и смерти Галуа.
• Стюарт, Ян (1973), Теория Галуа , Чепмен и Холл , ISBN 978-0-412-10800-6– Этот всеобъемлющий текст по теории Галуа включает краткую биографию самого Галуа.
• Тиньоль, Жан-Пьер (2001), Теория Галуа алгебраических уравнений , Сингапур: World Scientific, ISBN 978-981-02-4541-2– Историческое развитие теории Галуа.
• Нойманн, Питер (2011). Математические сочинения Эвариста Галуа (PDF) . Цюрих, Швейцария: Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-104-0.

Внешние ссылки

• Работы Эвариста Галуа в Project Gutenberg
• Работы Эвариста Галуа или о нем в Internet Archive
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Эварист Галуа», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Архив Галуа (биография, письма и тексты на разных языках)
• Две статьи Галуа, опубликованные в Интернете и проанализированные на BibNum  : «Mémoire sur les Conditions de resolubilité des équations par radicaux» (1830 г.) (ссылка) [для анализа на английском языке нажмите «A télécharger»] ; «Démonstration d'un theorème sur les Fractions continue periodiques» (1829 г.) (ссылка) [для анализа на английском языке нажмите «A télécharger»]
• Ротман, Тони (1982). «Гении и биографы: Художественная литература Эвариста Галуа» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 89 (2): 84–106. дои : 10.2307/2320923. JSTOR  2320923.
• «Жизнь Эвариста Галуа» Поля Дюпюи. Первая и до сих пор одна из самых обширных биографий, на которую ссылается каждый второй серьезный биограф Галуа.
• «Œuvres Mathématiques», опубликованные в 1846 году в журнале «Journal de Liouville» , преобразованные в формат Djvu профессором Антуаном Шамбер-Луаром в Университете Ренна.
• Александр Дюма, Mes Mémoires, соответствующая глава мемуаров Александра Дюма, где он упоминает Галуа и банкет.
• Эварист Галуа в проекте «Математическая генеалогия»
• Театральный трейлер спектакля Университетского колледжа Утрехта "Évariste – En Garde"
• Музыкальное произведение, посвященное Эваристу Галуа, на YouTube.