Карл Густав Якоб Якоби ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i / ; [2] немецкий: [jaˈkoːbi] ; 10 декабря 1804 — 18 февраля 1851) — немецкий математик , внесший фундаментальный вклад в изучение эллиптических функций , динамики , дифференциальных уравнений , определителей . и теория чисел . Его имя иногда пишется как Карол Густав Якобус Якоби в его латинских книгах, а его имя иногда дается как Карл .
Якоби родился в семье евреев-ашкенази в Потсдаме 10 декабря 1804 года. Он был вторым из четырех детей банкира Саймона Якоби. Его старший брат Мориц фон Якоби позже также стал известен как инженер и физик. Первоначально он обучался на дому у своего дяди Лемана, который обучал его классическим языкам и элементам математики. В 1816 году двенадцатилетний Якоби поступил в Потсдамскую гимназию , где ученикам преподавали все стандартные предметы: классические языки, историю, филологию, математику, естественные науки и т. д. В результате хорошего образования, полученного им у его дядя, а также его собственные замечательные способности, менее чем через полгода Якоби перевели в старший класс, несмотря на его юный возраст. Однако, поскольку университет не принимал студентов моложе 16 лет, ему пришлось оставаться в старшем классе до 1821 года. Это время он использовал для совершенствования своих знаний, проявляя интерес ко всем предметам, включая латынь, греческий язык, филологию, историю и математика. В этот период он также предпринял свои первые попытки исследований, пытаясь решить уравнение пятой степени с помощью радикалов . [3] [4]
В 1821 году Якоби отправился учиться в Берлинский университет , где первоначально разделил свое внимание между филологией и математикой . По филологии он участвовал в семинарах Бёкха , привлекая внимание профессора своим талантом. В то время Якоби нечасто посещал занятия по математике, считая уровень математики, преподаваемый в Берлинском университете, слишком элементарным. Вместо этого он продолжил частное изучение более продвинутых работ Эйлера , Лагранжа и Лапласа . К 1823 году он понял, что ему нужно сделать выбор между своими конкурирующими интересами, и решил посвятить все свое внимание математике. [5] В том же году он получил право преподавать в средней школе, и ему предложили должность в гимназии Иоахимсталя в Берлине. Вместо этого Якоби решил продолжить работу над получением университетской должности. В 1825 году получил степень доктора философии за диссертацию о частичном разложении рациональных дробей, защищенную перед комиссией под руководством Энно Дирксена . Он сразу же получил хабилитацию и в то же время обратился в христианство. Получив право преподавать в университете, 21-летний Якоби читал в 1825/26 году лекции по теории кривых и поверхностей в Берлинском университете. [5] [6]
В 1827 году Якоби стал профессором, а в 1829 году — штатным профессором математики Кенигсбергского университета и занимал кафедру до 1842 года. В 1843 году у него случился нервный срыв от переутомления. Затем он на несколько месяцев посетил Италию , чтобы поправить здоровье. По возвращении он переехал в Берлин, где прожил королевским пенсионером, за исключением очень короткого временного периода, до своей смерти. [7] Во время революции 1848 года Якоби принимал политическое участие и безуспешно выдвинул свою кандидатуру в парламент от имени либерального клуба. Это привело после подавления революции к тому, что его королевский грант был лишен – но его слава и репутация были таковы, что вскоре были возобновлены благодаря личному вмешательству Александра фон Гумбольдта .
Якоби умер в 1851 году от оспы . Его могила сохранилась на кладбище в районе Кройцберг в Берлине, Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde (улица Барутер, 61). Его могила находится рядом с могилой астронома Иоганна Энке . Его именем назван кратер Якоби на Луне .
Одним из величайших достижений Якоби была его теория эллиптических функций и их связи с эллиптической тэта-функцией . Это было развито в его великом трактате Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829 г.) и в более поздних статьях в журнале Crelle . Тета-функции имеют большое значение в математической физике из-за их роли в обратной задаче для периодических и квазипериодических течений. Уравнения движения интегрируются через эллиптические функции Якоби в известных случаях маятника , волчка Эйлера , симметричного волчка Лагранжа в гравитационном поле и задачи Кеплера (движение планет в центральном гравитационном поле).
Он также внес фундаментальный вклад в изучение дифференциальных уравнений и классической механики , особенно теории Гамильтона-Якоби .
Именно в развитии алгебры заключалась в основном особая сила Якоби, и он внес важный вклад такого рода во многие области математики, о чем свидетельствует его длинный список статей в «Журнале Крелля» и других изданиях, начиная с 1826 года. [7] Говорят, что он сказал своим студентам, что при поиске темы исследования следует «Инвертировать, всегда инвертировать» (немецкий оригинал: «man muss immer umkehren» ), отражая его веру в то, что инвертирование известных результатов может открыть новые. области для исследований, например, обращение эллиптических интегралов и сосредоточение внимания на природе эллиптических и тета-функций. [8]
В своей статье 1835 года Якоби доказал следующий основной результат, классифицирующий периодические (в том числе эллиптические) функции:
Если одномерная однозначная функция является кратно периодической , то такая функция не может иметь более двух периодов, а отношение периодов не может быть действительным числом.
Он открыл многие фундаментальные свойства тэта-функций, включая функциональное уравнение и формулу тройного произведения Якоби , а также многие другие результаты о q-рядах и гипергеометрических рядах .
Решение Вейерштрассом в 1854 г. задачи обращения Якоби для гиперэллиптического отображения Абеля потребовало введения гиперэллиптической тэта-функции, а затем и общей тэта-функции Римана для алгебраических кривых произвольного рода . Комплексный тор, сопоставленный с родовой алгебраической кривой, полученной факторизацией по решетке периодов, называется многообразием Якобиана . Этот метод обращения и его последующее распространение Вейерштрассом и Риманом на произвольные алгебраические кривые можно рассматривать как обобщение более высокого рода связи между эллиптическими интегралами и эллиптическими функциями Якоби или Вейерштрасса.
Якоби был первым, кто применил эллиптические функции к теории чисел , например, доказав теорему Ферма о двух квадратах и теорему Лагранжа о четырех квадратах , а также аналогичные результаты для 6 и 8 квадратов.
Другая его работа по теории чисел продолжила работу Гаусса : новые доказательства квадратичной взаимности и введение символа Якоби ; вклад в высшие законы взаимности, исследования непрерывных дробей и изобретение сумм Якоби .
Он также был одним из первых основателей теории детерминантов. [9] В частности, он изобрел определитель Якобиана , образованный из n 2 частных производных от n заданных функций от n независимых переменных, который играет важную роль в заменах переменных в кратных интегралах и во многих аналитических исследованиях. [7] В 1841 году он вновь ввел обозначение Лежандра в частной производной ∂ , которое должно было стать стандартом.
Он был одним из первых, кто ввел и изучил симметричные полиномы, которые теперь известны как полиномы Шура , дав для них так называемую биальтернантную формулу , которая является частным случаем формулы характера Вейля , и выведя тождества Якоби–Труди . Он также открыл формулу Деснано-Якоби для определителей , которая лежит в основе соотношений Плакера для грассманианов .
Студенты, изучающие векторные поля , теорию Ли , гамильтонову механику и операторные алгебры, часто сталкиваются с тождеством Якоби , аналогом ассоциативности для операции скобки Ли .
Планетарная теория и другие частные динамические проблемы также время от времени занимали его внимание. Внося свой вклад в небесную механику , он ввел интеграл Якоби (1836) для звездной системы координат . Его теория последнего множителя изложена в Vorlesungen über Dynamik под редакцией Альфреда Клебша (1866). [7]
Он оставил множество рукописей, части которых время от времени публиковались в журнале Crelle's Journal. Среди других его работ — Commentatio de Transforme Integralis Duplicis Indefiniti in Formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839) и Opuscula mathematica (1846–1857). Его Gesammelte Werke (1881–1891) были опубликованы Берлинской академией . [7]
