Тройное произведение Якоби

Математическое тождество, найденное Якоби в 1829 году.

В математике тройное произведение Якоби представляет собой математическое тождество:

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},}$

для комплексных чисел x и y , с | х | < 1 и у ≠ 0.

Он был введен Якоби  (1829) в его работе Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum .

Тождество тройного произведения Якоби — это тождество Макдональда для аффинной системы корней типа _A1 и формула знаменателя Вейля для соответствующей аффинной алгебры Каца–Муди .

Характеристики

В основе доказательства Якоби лежит теорема Эйлера о пятиугольных числах , которая сама по себе является частным случаем тройного тождества Якоби.

Пусть и . Тогда у нас есть ${\displaystyle x=q{\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

Тройное произведение Якоби также позволяет записать тета-функцию Якоби в виде бесконечного произведения следующим образом:

Пусть и ${\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle y=e^{i\pi z}.}$

Тогда тэта-функция Якоби

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}}$

можно записать в форме

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.}$

Используя тройную идентичность произведения Якоби, мы можем затем записать тэта-функцию как произведение

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].}$

Для выражения тройного произведения Якоби используется множество различных обозначений. Он принимает краткую форму, если выражается через символы q -Похгаммера :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}$

где – бесконечный символ q -Похгаммера. ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$

Оно приобретает особенно элегантную форму, когда выражается через тета-функцию Рамануджана . Ибо это можно записать как ${\displaystyle |ab|<1}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

Доказательство

Позволять ${\displaystyle f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{-2}\right)}$

Замена xy на y и умножение новых членов дает

${\displaystyle f_{x}(xy)={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)}$

Поскольку мероморфен для , он имеет ряд Лорана ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle |y|>0}$

${\displaystyle f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}}$

который удовлетворяет

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}}$

так что

${\displaystyle c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=\dots =c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}}$

и поэтому

${\displaystyle f_{x}(y)=c_{0}(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}}$

Оценка c 0 ( x )

Показать, что это техническая задача. Один из способов — установить и показать как числитель, так и знаменатель. ${\displaystyle c_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle y=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}(e^{2i\pi z})}}={\frac {\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }e^{2i\pi n^{2}z}}{\prod \limits _{m=1}^{\infty }(1-e^{2i\pi mz})(1+e^{2i\pi (2m-1)z})^{2}}}}$

являются модулярными с весом 1/2 относительно , ​​поскольку они также 1-периодичны и ограничены в верхней полуплоскости, частное должно быть постоянным, так что . ${\displaystyle z\mapsto -{\frac {1}{4z}}}$ ${\displaystyle c_{0}(x)=c_{0}(0)=1}$

Другие доказательства

Другое доказательство дает Дж. Э. Эндрюс, основанное на двух тождествах Эйлера. ^[1]

Об аналитическом случае см. Апостол. ^[2]

Рекомендации

1. Эндрюс, Джордж Э. (1 февраля 1965 г.). «Простое доказательство тройной идентичности произведения Якоби». Труды Американского математического общества . 16 (2): 333. doi : 10.1090/S0002-9939-1965-0171725-X . ISSN  0002-9939.
2. Глава 14, теорема 14.6 Апостола, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МР  0434929, Збл  0335.10001

• Питер Дж. Кэмерон, Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы, (1994) Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-45761-0 
• Якоби, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Перепечатано издательством Cambridge University Press, 2012 г.
• Карлитц , Л. (1962), Заметка о тета-формуле Якоби, Американское математическое общество.
• Райт, Э.М. (1965), «Перечислительное доказательство личности Якоби», Журнал Лондонского математического общества , Лондонское математическое общество : 55–57, doi : 10.1112/jlms/s1-40.1.55