stringtranslate.com

Грассманиан

В математике грассманиан (названный в честь Германа Грассмана ) — это дифференцируемое многообразие , которое параметризует множество всех -мерных линейных подпространств -мерного векторного пространства над полем . Например, грассманиан это пространство прямых, проходящих через начало координат в , поэтому оно совпадает с проективным пространством на одну размерность ниже . [1] [2] Когда — действительное или комплексное векторное пространство, грассманиан — это компактные гладкие многообразия размерности . [3] В общем случае они имеют структуру неособого проективного алгебраического многообразия .

Самая ранняя работа по нетривиальному грассманиану принадлежит Юлиусу Плюккеру , который изучал множество проективных прямых в действительном проективном 3-пространстве, что эквивалентно , параметризуя их тем, что сейчас называется координатами Плюккера . (См. § Координаты Плюккера и соотношения Плюккера ниже.) Позднее Герман Грассман ввел эту концепцию в общем виде.

Обозначения для грассманианов различаются у разных авторов и включают , , , для обозначения грассманиана -мерных подпространств -мерного векторного пространства .

Мотивация

Придавая набору подпространств векторного пространства топологическую структуру, можно говорить о непрерывном выборе подпространств или открытых и замкнутых наборах подпространств. Придавая им далее структуру дифференцируемого многообразия , можно говорить о гладких выборах подпространства.

Естественный пример — касательные расслоения гладких многообразий, вложенных в евклидово пространство . Предположим, что у нас есть многообразие размерности, вложенное в . В каждой точке касательное пространство к можно рассматривать как подпространство касательного пространства , которое также является просто . Отображение, назначающее его касательному пространству, определяет отображение из M в . (Чтобы сделать это, мы должны перенести касательное пространство в каждом так, чтобы оно проходило через начало координат, а не , и, следовательно, определяет -мерное векторное подпространство. Эта идея очень похожа на отображение Гаусса для поверхностей в 3-мерном пространстве.)

Это можно с некоторыми усилиями распространить на все векторные расслоения над многообразием , так что каждое векторное расслоение порождает непрерывное отображение из в соответствующим образом обобщенный грассманиан — хотя для этого необходимо доказать различные теоремы вложения . Затем мы обнаруживаем, что свойства наших векторных расслоений связаны со свойствами соответствующих отображений. В частности, мы обнаруживаем, что векторные расслоения, индуцирующие гомотопные отображения в грассманиан, изоморфны . Здесь определение гомотопии опирается на понятие непрерывности и, следовательно, на топологию.

Низкие габариты

При k = 1 грассманиан Gr (1, n ) представляет собой пространство прямых, проходящих через начало координат в n -пространстве, поэтому оно совпадает с проективным пространством n − 1 измерений.

При k = 2 грассманиан — это пространство всех 2-мерных плоскостей, содержащих начало координат. В евклидовом 3-мерном пространстве плоскость, содержащая начало координат, полностью характеризуется одной и единственной прямой, проходящей через начало координат, которая перпендикулярна этой плоскости (и наоборот); следовательно, пространства Gr (2, 3) , Gr (1, 3) и P 2 ( проективная плоскость ) могут быть отождествлены друг с другом.

Простейшим грассманианом, не являющимся проективным пространством, является Gr (2, 4) .

Грассманиан как дифференцируемое многообразие

Чтобы наделить структурой дифференцируемое многообразие, выберем базис для . Это эквивалентно отождествлению с , со стандартным базисом, обозначенным , рассматриваемым как векторы-столбцы. Тогда для любого -мерного подпространства , рассматриваемого как элемент , мы можем выбрать базис, состоящий из линейно независимых векторов-столбцов . Однородные координаты элемента состоят из элементов прямоугольной матрицы максимального ранга , -й вектор-столбец которой равен , . Поскольку выбор базиса произволен, две такие прямоугольные матрицы максимального ранга и представляют один и тот же элемент тогда и только тогда, когда

для некоторого элемента общей линейной группы обратимых матриц с элементами в . Это определяет отношение эквивалентности между матрицами ранга , для которых классы эквивалентности обозначаются .

Теперь определим координатный атлас. Для любой однородной координатной матрицы мы можем применить элементарные операции над столбцами (что равносильно умножению на последовательность элементов ), чтобы получить ее сокращенную форму эшелона столбцов . Если первые строки линейно независимы, результат будет иметь вид

и аффинная координатная матрица с записями определяет . В общем случае первые строки не обязательно должны быть независимыми, но поскольку имеет максимальный ранг , существует упорядоченный набор целых чисел, такой что подматрица , строки которой являются -ыми строками, является невырожденной . Мы можем применить операции со столбцами, чтобы свести эту подматрицу к единичной матрице , а оставшиеся записи однозначно определяют . Следовательно, мы имеем следующее определение:

Для каждого упорядоченного набора целых чисел пусть будет набором элементов , для которого при любом выборе однородной координатной матрицы подматрица , -я строка которой является -й строкой , является невырожденной. Аффинные координатные функции на тогда определяются как элементы матрицы , строки которой являются строками матрицы, дополнительной к , записанными в том же порядке. Выбор однородной координатной матрицы при представлении элемента не влияет на значения аффинной координатной матрицы, представляющей w в координатной окрестности . Более того, координатные матрицы могут принимать произвольные значения, и они определяют диффеоморфизм из в пространство -значных матриц. Обозначим через

однородная координатная матрица, имеющая единичную матрицу в качестве подматрицы со строками и аффинную координатную матрицу в последовательных дополнительных строках. При перекрытии между любыми двумя такими координатными окрестностями значения аффинной координатной матрицы и связаны соотношениями перехода

где и обратимы. Это может быть эквивалентно записано как

где — обратимая матрица, чья строка — это строка . Поэтому функции перехода рациональны в матричных элементах , и дают атлас для как дифференцируемого многообразия, а также как алгебраического многообразия.

Грассманиан как набор ортогональных проекций

Альтернативный способ определения действительного или комплексного грассманиана как многообразия — рассматривать его как набор ортогональных проекционных операторов (Milnor & Stasheff (1974) проблема 5-C). Для этого выберите положительно определенное действительное или эрмитово скалярное произведение на , в зависимости от того, является ли оно действительным или комплексным. -мерное подпространство определяет уникальный ортогональный проекционный оператор , изображение которого разбивается на ортогональную прямую сумму

и его ортогональное дополнение и определение

Наоборот, каждый оператор проекции ранга определяет подпространство как свой образ. Поскольку ранг ортогонального оператора проекции равен его следу , мы можем отождествить многообразие Грассмана с множеством операторов ортогональной проекции ранга :

В частности, взяв или это дает совершенно явные уравнения для вложения грассманианов , в пространство действительных или комплексных матриц , , соответственно.

Поскольку это определяет грассманиан как замкнутое подмножество сферы, это один из способов увидеть, что грассманиан является компактным хаусдорфовым пространством. Эта конструкция также превращает грассманиан в метрическое пространство с метрикой

для любой пары -мерных подпространств, где обозначает норму оператора . Точное используемое скалярное произведение не имеет значения, поскольку другое скалярное произведение даст эквивалентную норму на , и, следовательно, эквивалентную метрику.

Для случая действительных или комплексных грассманианов ниже приведен эквивалентный способ выражения вышеприведенной конструкции в терминах матриц.

ГрассманианыГр(к,Рн) иГр(к,Сн) как аффинные алгебраические многообразия

Обозначим пространство действительных матриц и подмножество матриц, удовлетворяющих трем условиям:

Существует биективное соответствие между и грассманианом -мерных подпространств заданного путем отправки в -мерное подпространство , натянутое на его столбцы, и, наоборот, отправкой любого элемента в матрицу проекции

где — любой ортонормированный базис для , рассматриваемый как действительные компонентные векторы-столбцы.

Аналогичная конструкция применяется к комплексному грассманиану , отождествляя его биективно с подмножеством комплексных матриц, удовлетворяющих

где самосопряженность относится к эрмитову внутреннему произведению , в котором стандартные базисные векторы ортогональны. Формула для ортогональной проекционной матрицы на комплексное -мерное подпространство, охватываемое ортонормированными (унитарными) базисными векторами , имеет вид

Грассманиан как однородное пространство

Самый быстрый способ придать грассманиану геометрическую структуру — выразить его как однородное пространство . Во-первых, напомним, что общая линейная группа действует транзитивно на -мерных подпространствах . Поэтому, если мы выберем подпространство размерности , любой элемент можно выразить как

для некоторого элемента группы , где определяется только с точностью до правого умножения на элементы стабилизатора :

под действием.

Поэтому мы можем отождествить себя с фактор-пространством

левых смежных классов .

Если базовое поле есть или и рассматривается как группа Ли , эта конструкция делает грассманиан гладким многообразием относительно фактор-структуры. В более общем случае, над основным полем группа является алгебраической группой , и эта конструкция показывает, что грассманиан является неособым алгебраическим многообразием . Из существования вложения Плюккера следует , что грассманиан является полным как алгебраическое многообразие. В частности, является параболической подгруппой .

Над или также становится возможным использовать меньшие группы в этой конструкции. Чтобы сделать это над , зафиксируем евклидово скалярное произведение на . Действительная ортогональная группа действует транзитивно на множестве -мерных подпространств , а стабилизатор -пространства есть

,

где — ортогональное дополнение в . Это дает идентификацию как однородного пространства

.

Если мы возьмем и (первые компоненты), то получим изоморфизм

Над C , если мы выберем эрмитово скалярное произведение , унитарная группа действует транзитивно, и мы аналогично находим

или, для и ,

В частности, это показывает, что грассманиан компактен и имеет (действительную или комплексную) размерность k ( nk ) .

Грассманиан как схема

В области алгебраической геометрии грассманиан можно построить как схему , выразив его как представимый функтор . [4]

Представимый функтор

Пусть будет квазикогерентным пучком на схеме . Зафиксируем положительное целое число . Тогда каждой -схеме , грассманов функтор сопоставляет множество фактормодулей

локально свободный от ранга на . Обозначим это множество через .

Этот функтор представим с помощью отделенной -схемы . Последняя проективна , если конечно порождена. Когда - спектр поля , то пучок задается векторным пространством и мы восстанавливаем обычное грассманово многообразие сопряженного пространства , а именно: . По построению грассманова схема совместима с базовыми заменами: для любой -схемы мы имеем канонический изоморфизм

В частности, для любой точки канонический морфизм индуцирует изоморфизм из слоя в обычный грассманиан над полем вычетов .

Универсальная семья

Поскольку грассмановская схема представляет собой функтор, она поставляется с универсальным объектом, , который является объектом и, следовательно, фактор-модулем , локально свободным от ранга над . Фактор- гомоморфизм индуцирует замкнутое погружение из проективного расслоения:

Для любого морфизма S -схем:

это закрытое погружение вызывает закрытое погружение

Наоборот, любое такое замкнутое погружение происходит из сюръективного гомоморфизма -модулей из в локально свободный модуль ранга . [5] Следовательно, элементы из являются в точности проективными подрасслоениями ранга в

При таком отождествлении, когда есть спектр поля и задается векторным пространством , множество рациональных точек соответствует проективным линейным подпространствам размерности в , а образ в

это набор

Вложение Плюккера

Вложение Плюккера [ 6] является естественным вложением грассманиана в проективизацию -й внешней степени .

Предположим, что является -мерным подпространством -мерного векторного пространства . Чтобы определить , выберем базис для , и пусть будет проективизацией клинового произведения этих базисных элементов: где обозначает класс проективной эквивалентности.

Другой базис для даст другой продукт клина, но они будут отличаться только ненулевым скалярным множителем ( определителем изменения матрицы базиса ). Поскольку правая часть принимает значения в проективизированном пространстве, хорошо определена. Чтобы увидеть, что это вложение, обратите внимание, что можно восстановить из как охват множества всех векторов, таких что

.

Координаты Плюккера и соотношения Плюккера

Вложение Плюккера грассманиана удовлетворяет набору простых квадратичных соотношений, называемых соотношениями Плюккера . Они показывают, что грассманиан вкладывается как невырожденное проективное алгебраическое подмногообразие проективизации -й внешней степени и дают другой метод построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Плюккера, зафиксируем базис для , и пусть будет -мерным подпространством с базисом . Пусть будут компонентами относительно выбранного базиса , а -компонентные векторы-столбцы образуют транспонированную соответствующую однородную координатную матрицу:

Для любой упорядоченной последовательности положительных целых чисел пусть будет определителем матрицы со столбцами . Элементы называются координатами Плюккера элемента грассманиана (относительно базиса ) . Это линейные координаты образа под отображением Плюккера относительно базиса внешнего степенного пространства, порожденного базисом . Поскольку изменение базиса для приводит к умножению координат Плюккера на ненулевую константу (определитель матрицы изменения базиса), они определены только с точностью до проективной эквивалентности и, следовательно, определяют точку в .

Для любых двух упорядоченных последовательностей и положительных целых чисел, соответственно , справедливы следующие однородные квадратные уравнения, известные как соотношения Плюккера или соотношения Плюккера-Грассмана , которые определяют образ при вложении отображения Плюккера:

где обозначает последовательность с опущенным членом . Они согласованы, определяя невырожденное проективное алгебраическое многообразие , но они не являются алгебраически независимыми. Они эквивалентны утверждению, что является проективизацией полностью разложимого элемента .

Когда , и (простейший грассманиан, который не является проективным пространством), вышеизложенное сводится к одному уравнению. Обозначая однородные координаты изображения под отображением Плюккера как , это единственное соотношение Плюккера имеет вид

В общем случае для определения образа грассманиана в рамках вложения Плюккера требуется гораздо больше уравнений .

Двойственность

Каждое -мерное подпространство определяет -мерное факторпространство . Это дает естественную короткую точную последовательность :

Взяв двойственное к каждому из этих трех пространств и двойственные линейные преобразования, получаем включение в с фактором

Использование естественного изоморфизма конечномерного векторного пространства с его двойным дуальным показывает, что повторное взятие дуального восстанавливает исходную короткую точную последовательность. Следовательно, существует взаимно-однозначное соответствие между -мерными подпространствами и -мерными подпространствами . В терминах грассманиана это дает канонический изоморфизм

который сопоставляет каждому подпространству его аннулятор . Выбор изоморфизма с , таким образом, определяет (неканонический) изоморфизм между и . Изоморфизм с эквивалентен выбору скалярного произведения, поэтому относительно выбранного скалярного произведения этот изоморфизм грассманианов переводит любое -мерное подпространство в его }-мерное ортогональное дополнение .

клетки Шуберта

Детальное изучение грассманианов использует разложение на аффинные подпространства , называемые ячейками Шуберта , которые впервые были применены в исчислительной геометрии . Ячейки Шуберта для определяются в терминах заданного полного флага подпространств размерности . Для любого целочисленного разбиения

веса

состоящий из слабо убывающих неотрицательных целых чисел

диаграмма Юнга которой вписывается в прямоугольную , ячейка Шуберта состоит из тех элементов , пересечения которых с подпространствами имеют следующие размеры

Это аффинные пространства, а их замыкания (в топологии Зарисского ) известны как многообразия Шуберта .

В качестве примера техники рассмотрим задачу определения эйлеровой характеристики грассманиана k -мерных подпространств R n . Зафиксируем -мерное подпространство и рассмотрим разбиение на те k -мерные подпространства R n , которые содержат R , и те, которые не содержат. Первое есть , а второе есть ранговое векторное расслоение над . Это дает рекурсивные формулы:

Решение этих рекурсивных соотношений дает формулу: если четно и нечетно и

в противном случае.

Кольцо когомологий комплексного грассманиана

Каждая точка в комплексном многообразии Грассмана определяет -плоскость в -пространстве. Расслоение этих плоскостей над грассмановой плоскостью приводит к векторному расслоению , которое обобщает тавтологическое расслоение проективного пространства . Аналогично -мерные ортогональные дополнения этих плоскостей дают ортогональное векторное расслоение . Интегральные когомологии грассманианов порождаются, как кольцо , классами Черна . В частности, все интегральные когомологии имеют четную степень, как и в случае проективного пространства.

Эти генераторы подчиняются набору отношений, который определяет кольцо. Определяющие отношения легко выразить для большего набора генераторов, который состоит из классов Черна и . Тогда отношения просто утверждают, что прямая сумма расслоений и тривиальна. Функториальность полных классов Черна позволяет записать это отношение как

Квантовое когомологическое кольцо было вычислено Эдвардом Виттеном . [7] Генераторы идентичны генераторам классического когомологического кольца, но верхнее соотношение изменено на

отражая существование в соответствующей квантовой теории поля инстантона с фермионными нулевыми модами , который нарушает степень когомологий, соответствующих состоянию, на единицы .

Сопутствующая мера

Когда — -мерное евклидово пространство, мы можем определить равномерную меру на следующим образом. Пусть — единичная мера Хаара на ортогональной группе и зафиксируем . Тогда для множества , определим

Эта мера инвариантна относительно действия группы ; то есть,

для всех . Так как , то . Более того, является мерой Радона относительно топологии метрического пространства и является однородной в том смысле, что каждый шар того же радиуса (относительно этой метрики) имеет ту же меру.

Ориентированный Грассманиан

Это многообразие, состоящее из всех ориентированных -мерных подпространств . Оно является двойным покрытием и обозначается .

Как однородное пространство его можно выразить как:

Ортогональные изотропные грассманианы

Для данной вещественной или комплексной невырожденной симметричной билинейной формы на -мерном пространстве (т.е. скалярного произведения) полностью изотропный грассманиан определяется как подмногообразие, состоящее из всех -мерных подпространств , для которых

Максимальные изотропные грассманианы относительно действительного или комплексного скалярного произведения тесно связаны с теорией спиноров Картана . [8] При вложении Картана их связные компоненты эквивариантно диффеоморфны проективизированной минимальной спинорной орбите в представлении спина, так называемому проективному чистому спинорному многообразию, которое, подобно образу вложения отображения Плюккера , вырезается как пересечение ряда квадрик, квадрик Картана . [8] [9] [10]

Приложения

Ключевое применение грассманианов — это «универсальное» пространство вложения для расслоений со связностями на компактных многообразиях. [11] [12]

Другим важным приложением является исчисление Шуберта , которое является исчислительной геометрией, участвующей в вычислении числа точек, прямых, плоскостей и т. д. в проективном пространстве, пересекающих заданный набор точек, прямых и т. д., с использованием теории пересечения многообразий Шуберта . Подмногообразия ячеек Шуберта также могут быть использованы для параметризации одновременных собственных векторов полных наборов коммутирующих операторов в квантовых интегрируемых спиновых системах, таких как модель Годена , с использованием метода анзаца Бете . [13]

Дальнейшее применение — решение иерархий классических полностью интегрируемых систем уравнений с частными производными, таких как уравнение Кадомцева–Петвиашвили и связанная с ним иерархия КП . Они могут быть выражены в терминах потоков абелевых групп на бесконечномерном многообразии Грассмана. [14] [15] [16] [17] Уравнения КП, выраженные в билинейной форме Хироты в терминах функции тау КП, эквивалентны соотношениям Плюккера . [18] [17] Аналогичная конструкция справедлива для решений интегрируемой иерархии BКП в терминах потоков абелевых групп на бесконечномерном максимальном изотропном многообразии Грассмана. [15] [16] [19]

Конечномерные положительные многообразия Грассмана могут быть использованы для выражения солитонных решений уравнений КП, которые являются несингулярными для действительных значений параметров потока КП. [20] [21] [22]

Амплитуды рассеяния субатомных частиц в максимально суперсимметричной супертеории Янга-Миллса могут быть рассчитаны в плоском пределе с помощью положительной грассмановой конструкции, называемой амплитуэдром . [23]

Многообразия Грассмана также нашли применение в задачах компьютерного зрения для распознавания лиц и форм на основе видео [24] и используются в технике визуализации данных, известной как « большой тур» .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Ли 2012, стр. 22, пример 1.36.
  2. ^ Шафаревич 2013, стр. 42, Пример 1.24.
  3. Милнор и Сташефф (1974), стр. 57–59.
  4. ^ Гротендик, Александр (1971). Элементы алгебраической геометрии . Том. 1 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8., Глава I.9
  5. ^ ЭГА , II.3.6.3.
  6. ^ Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 211, ISBN 0-471-05059-8, MR  1288523, Zbl  0836.14001
  7. ^ Виттен, Эдвард (1993). «Алгебра Верлинде и когомологии грассманиана». arXiv : hep-th/9312104 .
  8. ^ ab Картан, Эли (1981) [1938]. Теория спиноров. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-64070-9. МР  0631850.
  9. ^ Harnad, J.; Shnider, S. (1992). «Изотропная геометрия и твисторы в высших измерениях. I. Обобщенное соответствие Клейна и спинорные флаги в четных измерениях». Журнал математической физики . 33 (9). Американский институт физики: 3197–3208. Bibcode : 1992JMP....33.3197H. doi : 10.1063/1.529538.
  10. ^ Harnad, J.; Shnider, S. (1995). «Изотропная геометрия и твисторы в высших измерениях. II. Нечетные измерения, условия реальности и суперпространства твисторов». Журнал математической физики . 36 (9). Американский институт физики: 1945–1970. Bibcode : 1995JMP....36.1945H. doi : 10.1063/1.531096 .
  11. ^ Нарасимхан, М. С.; Раманан, С. (1961). «Существование универсальных связей». Американский журнал математики . 83 (3): 563–572. doi : 10.2307/2372896. hdl : 10338.dmlcz/700905 . JSTOR  2372896. S2CID  123324468.
  12. ^ Нарасимхан, М.С.; Раманан, С. (1963). «Существование универсальных связей II». Американский журнал математики . 85 (2): 223–231. doi :10.2307/2373211. JSTOR  2373211.
  13. ^ Мухин, Е.; Тарасов, В.; Варченко, А. (2009). «Исчисление Шуберта и представления общей линейной группы». J. Amer. Math. Soc . 22 (4). Американское математическое общество: 909–940. arXiv : 0711.4079 . doi : 10.1090/S0894-0347-09-00640-7 .
  14. ^ М. Сато, «Уравнения солитона как динамические системы на бесконечномерных многообразиях Грассмана», Kokyuroku, RIMS, Киотский ун-т , 30–46 (1981).
  15. ^ ab Date, Etsuro; Jimbo, Michio; Kashiwara, Masaki; Miwa, Tetsuji (1981). "Операторный подход к уравнению Кадомцева-Петвиашвили–Группы преобразований для солитонных уравнений III–". Журнал Физического общества Японии . 50 (11). Физическое общество Японии: 3806–3812. Bibcode : 1981JPSJ...50.3806D. doi : 10.1143/jpsj.50.3806. ISSN  0031-9015.
  16. ^ ab Jimbo, Michio; Miwa, Tetsuji (1983). «Солитоны и бесконечномерные алгебры Ли». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 19 (3). Издательство Европейского математического общества: 943–1001. doi : 10.2977/prims/1195182017 . ISSN  0034-5318.
  17. ^ ab Harnad, J. ; Balogh, F. (2021). Тау-функции и их приложения, главы 4 и 5 . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781108610902. ISBN 9781108610902. S2CID  222379146.
  18. ^ Сато, Микио (октябрь 1981 г.). «Солитонные уравнения как динамические системы на бесконечномерных грассмановых многообразиях (случайные системы и динамические системы) » . 439 : 30–46. hdl : 2433/102800.
  19. ^ Harnad, J. ; Balogh, F. (2021). Тау-функции и их приложения, Глава 7 . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781108610902. ISBN 9781108610902. S2CID  222379146.
  20. ^ Чакраварти, С.; Кодама, И. (июль 2009 г.). «Солитонные решения уравнения КП и их применение к волнам на мелководье». Исследования по прикладной математике . 123 : 83–151. arXiv : 0902.4433 . doi : 10.1111/j.1467-9590.2009.00448.x. S2CID  18390193.
  21. ^ Кодама, Юджи; Уильямс, Лорен (декабрь 2014 г.). «KP-солитоны и полная положительность для грассманиана». Inventiones Mathematicae . 198 (3): 637–699. arXiv : 1106.0023 . Bibcode : 2014InMat.198..637K. doi : 10.1007/s00222-014-0506-3. S2CID  51759294.
  22. ^ Хартнетт, Кевин (16 декабря 2020 г.). «Непредвиденное путешествие математика по физическому миру». Журнал Quanta . Получено 17 декабря 2020 г.
  23. ^ Аркани-Хамед, Нима; Трнка, Ярослав (2013). «Амплитуэдр». Журнал физики высоких энергий . 2014 (10): 30. arXiv : 1312.2007 . Бибкод : 2014JHEP...10..030A. дои : 10.1007/JHEP10(2014)030. S2CID  7717260.
  24. ^ Паван Турага, Ашок Вирарагхаван, Рама Челлаппа: Статистический анализ многообразий Штифеля и Грассмана с приложениями в компьютерном зрении , CVPR 23–28 июня 2008 г., Конференция IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2008 г., ISBN 978-1-4244-2242-5 , стр. 1–8 (аннотация, полный текст) 
  25. ^ Морель, Фабьен; Воеводский, Владимир (1999). «А1-гомотопическая теория схем» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 90 (90): 45–143. дои : 10.1007/BF02698831. ISSN  1618-1913. МР  1813224. S2CID  14420180 . Проверено 5 сентября 2008 г., см. раздел 4.3., стр. 137–140

Ссылки