К-теория

Отделение математики

В математике K-теория — это , грубо говоря, исследование кольца , порожденного векторными расслоениями над топологическим пространством или схемой . В алгебраической топологии это теория когомологий, известная как топологическая K-теория . В алгебре и алгебраической геометрии это называется алгебраической К-теорией . Это также фундаментальный инструмент в области операторных алгебр . Его можно рассматривать как изучение определенных видов инвариантов больших матриц . ^[1]

К-теория предполагает построение семейств К - функторов , отображающих топологические пространства или схемы в ассоциированные кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и в случае с функторами групп в алгебраической топологии, причина этого функториального отображения заключается в том, что некоторые топологические свойства легче вычислить на основе отображенных колец, чем на основе исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных на основе подхода K-теории, включают теорему Гротендика-Римана-Роха , периодичность Ботта , теорему об индексе Атьи-Зингера и операции Адамса .

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, скрученная K-теория появились в теории струн типа II , где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны , напряженности полей Рамона-Рамонда , а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях . В физике конденсированного состояния К-теория использовалась для классификации топологических изоляторов , сверхпроводников и стабильных поверхностей Ферми . Подробнее см. К-теория (физика) .

Завершение Гротендика

Пополнение Гротендиком абелева моноида в абелеву группу является необходимым ингредиентом для определения K-теории, поскольку все определения начинаются с построения абелева моноида из подходящей категории и превращения его в абелеву группу посредством этой универсальной конструкции. Пусть задан абелев моноид – отношение on, определяемое формулой ${\displaystyle (A,+')}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle A^{2}=A\times A}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})}$

если существует такое, что Тогда множество имеет структуру группы, где : ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.}$ ${\displaystyle G(A)=A^{2}/\sim }$ ${\displaystyle (G(A),+)}$

${\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].}$

Классы эквивалентности этой группы следует понимать как формальные различия элементов абелева моноида. Этой группе также соответствует моноидный гомоморфизм, заданный формулой, который обладает некоторым универсальным свойством . ${\displaystyle (G(A),+)}$ ${\displaystyle i:A\to G(A)}$ ${\displaystyle a\mapsto [(a,0)],}$

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелева моноида . Здесь мы будем обозначать единичный элемент через так, чтобы он был единичным элементом First для любого , поскольку мы можем установить и применить уравнение из отношения эквивалентности, чтобы получить. Это подразумевает ${\displaystyle (A,+)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [(0,0)]}$ ${\displaystyle (G(A),+).}$ ${\displaystyle (0,0)\sim (n,n)}$ ${\displaystyle n\in A}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle n=n.}$

${\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]}$

следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в . Это должно дать нам намек на то, что мы должны думать о классах эквивалентности как о формальных различиях. Еще одним полезным наблюдением является инвариантность классов эквивалентности при масштабировании: ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle [(a,b)]}$ ${\displaystyle a-b.}$

${\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)}$для любого ${\displaystyle k\in A.}$

Пополнение Гротендика можно рассматривать как функтор , и оно обладает тем свойством, что оно сопряжено слева с соответствующим функтором забвения. Это означает, что для данного морфизма абелева моноида в основной абелев моноид абелевой группы существует единственная абелева группа. морфизм ${\displaystyle G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} ,}$ ${\displaystyle U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .}$ ${\displaystyle \phi :A\to U(B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle G(A)\to B.}$

Пример для натуральных чисел

Показательным примером является пополнение Гротендиком . Мы видим, что для любой пары мы можем найти минимальный представитель , используя инвариантность при масштабировании. Например, из масштабной инвариантности мы можем видеть, что ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+).}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a',b')}$

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

В общем, если тогда ${\displaystyle k:=\min\{a,b\}}$

${\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}$который имеет вид или ${\displaystyle (c,0)}$ ${\displaystyle (0,d).}$

Это показывает, что мы должны думать о целых положительных числах и об отрицательных целых числах. ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle (0,b)}$

Определения

Существует несколько основных определений К-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Группа Гротендика для компактных хаусдорфовых пространств.

Для данного компактного хаусдорфова пространства рассмотрим множество классов изоморфизма конечномерных векторных расслоений над , обозначим и обозначим класс изоморфизма векторного расслоения . Поскольку классы изоморфизма векторных расслоений хорошо ведут себя по отношению к прямым суммам , мы можем записать эти операции над классами изоморфизма следующим образом: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle [E]}$

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

Должно быть ясно, что это абелев моноид, единица которого задается тривиальным векторным расслоением . Затем мы можем применить пополнение Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелева моноида. Это называется К-теорией и обозначается . ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$

Мы можем использовать теорему Серра-Свона и некоторую алгебру, чтобы получить альтернативное описание векторных расслоений над кольцом непрерывных комплекснозначных функций как проективных модулей . Тогда их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц . Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и сформировать абелев моноид . Его пополнение Гротендика также называют . Один из основных методов вычисления группы Гротендика для топологических пространств основан на спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха , что делает ее очень доступной. Единственные необходимые вычисления для понимания спектральных последовательностей — это вычисление группы сфер . ^{[2] стр. 51-110} ${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{0}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Группа Гротендика векторных расслоений в алгебраической геометрии

Аналогичная конструкция существует при рассмотрении векторных расслоений в алгебраической геометрии . Для нетеровой схемы существует множество всех классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений на . Тогда, как и прежде, корректно определена прямая сумма классов изоморфизмов векторных расслоений, дающая абелев моноид . Тогда группа Гротендика определяется применением конструкции Гротендика к этому абелеву моноиду. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$

Группа Гротендика когерентных пучков в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии ту же конструкцию можно применить к алгебраическим векторным расслоениям над гладкой схемой. Но для любой нетеровой схемы существует альтернативная конструкция . Если мы посмотрим на классы изоморфизма когерентных пучков, мы можем модифицироваться по соотношению, если существует короткая точная последовательность ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$ ${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

Это дает группу Гротендика , изоморфную группе if и гладкой. Группа особенная, поскольку существует еще и кольцевая структура: мы определяем ее как ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

Используя теорему Гротендика–Римана–Роха , мы имеем, что

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать теорию пересечений . ^[3] ${\displaystyle K_{0}(X)}$

История ранних веков

Можно сказать, что эта тема началась с Александра Гротендика (1957), который использовал ее для формулировки своей теоремы Гротендика-Римана-Роха . Свое название он получил от немецкого Klasse , что означает «класс». ^[4] Гротендику нужно было работать с когерентными пучками на алгебраическом многообразии X . Вместо того, чтобы работать непосредственно с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков в качестве генераторов группы, подчиняясь отношению, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Результирующая группа называется K ( X ), если используются только локально свободные пучки , или G ( X ), если все пучки являются когерентными. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика ; K ( X ) имеет когомологическое поведение, а G ( X ) имеет гомологическое поведение.

Если X — гладкое многообразие , эти две группы одинаковы. Если это гладкое аффинное многообразие , то все расширения локально свободных пучков расщепляются, поэтому группа имеет альтернативное определение.

В топологии , применив ту же конструкцию к векторным расслоениям , Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили K ( X ) для топологического пространства X в 1959 году и, используя теорему о периодичности Ботта , сделали его основой экстраординарной теории когомологий . Он сыграл важную роль во втором доказательстве теоремы об индексе Атьи – Зингера (около 1962 г.). Более того, этот подход привел к некоммутативной К-теории для С*-алгебр .

Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал аналогию векторных расслоений с проективными модулями , чтобы сформулировать гипотезу Серра , которая утверждает, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов свободен ; это утверждение верно, но оно было подтверждено только 20 лет спустя. ( Теорема Свона — еще один аспект этой аналогии.)

События

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Х. Уайтхеда и других над тем, что позже стало известно как кручение Уайтхеда .

Затем последовал период, когда существовали различные частичные определения высших функторов К-теории . Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Дэниелом Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 годах. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения алгебраической K-теории пространств, которая связана с изучением псевдоизотопий. . Многие современные исследования по высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивных когомологий .

Соответствующие конструкции, включающие вспомогательную квадратичную форму , получили общее название L-теории . Это главный инструмент теории хирургии .

В теории струн классификация K-теорией напряженностей полей Рамона–Рамонда и зарядов стабильных D-бран была впервые предложена в 1997 году. ^[5]

Примеры и свойства

К 0 поля

Самый простой пример группы Гротендика — группа Гротендика точки для поля . Поскольку векторное расслоение над этим пространством представляет собой просто конечномерное векторное пространство, которое является свободным объектом в категории когерентных пучков и, следовательно, проективным, моноид классов изоморфизма соответствует размерности векторного пространства. Несложно показать, что тогда группа Гротендика … ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

K 0 артиновой алгебры над полем

Одним из важных свойств группы Гротендика нетеровой схемы является то, что она инвариантна относительно редукции, следовательно . ^[6] Следовательно, группа Гротендика любой артиновой -алгебры представляет собой прямую сумму копий , по одной для каждой связной компоненты ее спектра. Например, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$$

K 0 проективного пространства

Одним из наиболее часто используемых вычислений группы Гротендика является вычисление проективного пространства над полем. Это связано с тем, что числа пересечений проектива можно вычислить путем встраивания и использования формулы двухтактного взаимодействия . Это позволяет выполнять конкретные расчеты с элементами без необходимости явно знать его структуру, поскольку ^[7] ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$ ${\displaystyle K(X)}$

$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}$$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}$$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$

$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}}$$

${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$

K 0 проективного расслоения

Другой важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения: ^[8] для векторного расслоения ранга r над нетеровой схемой группа Гротендика проективного расслоения является свободным -модулем ранга r с базисом . Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика . Это позволяет рассчитывать поверхности Хирцебруха. Кроме того, это можно использовать для вычисления группы Гротендика, наблюдая, что она представляет собой проективное расслоение над полем . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

K 0 сингулярных пространств и пространств с изолированными факторособенностями

Один из недавних методов вычисления группы пространств Гротендика с незначительными особенностями основан на оценке разницы между и , которая исходит из того факта, что каждое векторное расслоение может быть эквивалентно описано как когерентный пучок. Это делается с помощью группы Гротендика категории особенностей ^{[9] [10]} из производной некоммутативной алгебраической геометрии . Это дает длинную точную последовательность, начинающуюся с ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle D_{sg}(X)}$

$${\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}$$

высшей К-теории ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E\to X_{sm}}$ ${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle G_{i}}$

$${\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}$$

^{[10] стр. 3} ${\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$ ${\displaystyle n=\dim X}$

K 0 гладкой проективной кривой

Для гладкой проективной кривой группа Гротендика равна ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$

Пикараспектральной последовательности Брауна-Герстена-Квиллена ^{[11], стр. 72}K-теориирегулярной схемы ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}$$

^{[11] стр. 80} ${\displaystyle X^{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x:Y\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k(x)}$

$${\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)}$$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K_{0}(C)}$

$${\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0}$$

${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$ ${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}$$

Коэна-Маколея

Приложения

Виртуальные пакеты

Одним из полезных применений группы Гротендика является определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств , то существует короткая точная последовательность ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

где – конормальное расслоение в . Если у нас есть сингулярное пространство, вложенное в гладкое пространство, мы определяем виртуальное конормальное расслоение как ${\displaystyle C_{Y/X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

Другое полезное применение виртуальных расслоений связано с определением виртуального касательного расслоения пересечения пространств: Пусть – проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения как ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$ ${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ. ^[12]

Персонажи Черна

Классы Чженя можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Чженя ch определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

В более общем смысле, если это прямая сумма линейных расслоений, с первыми классами Чженя характер Чженя определяется аддитивно. ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

Символ Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. Характер Черна используется в теореме Хирцебруха–Римана–Роха .

Эквивариантная К-теория

Эквивариантная алгебраическая K-теория — это алгебраическая K-теория , связанная с категорией эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме с действием линейной алгебраической группы через Q-конструкцию Квиллена ; таким образом, по определению, ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

В частности, это группа Гротендика . Теория была разработана Р.В. Томасоном в 1980-х годах. ^[13] В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема о локализации. ${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$

Смотрите также

• Периодичность Ботта
• КК-теория
• КР-теория
• Список теорий когомологии
• Алгебраическая K-теория
• Топологическая К-теория
• Операторная К-теория
• Теорема Гротендика – Римана – Роха.

Примечания

1. Атья, Майкл (2000). «К-теория прошлого и настоящего». arXiv : math/0012213 .
2. Парк, Эфтон. (2008). Комплексная топологическая К-теория. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-511-38869-9. ОСЛК  227161674.
3. Гротендик. «SGA 6 - Формализм пересечений собственных алгебраических схем».
4. Каруби, 2006 г.
5. Рубен Минасян (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7) и Грегори Мур в K-теории и заряде Рамона – Рамона.
6. "Группа Гротендика для проективного пространства над двойственными числами". mathoverflow.net . Проверено 16 апреля 2017 г.
7. "Теория и гомологии kt.k - группа Гротендика для проективного пространства над двойственными числами". MathOverflow . Проверено 20 октября 2020 г.
8. Манин, Юрий I (1 января 1969). «Лекции о К-функторе в алгебраической геометрии». Российские математические обзоры . 24 (5): 1–89. Бибкод :1969РуМаС..24....1М. дои : 10.1070/rm1969v024n05abeh001357. ISSN  0036-0279.
9. "ag.алгебраическая геометрия - Является ли алгебраическая группа Гротендика взвешенного проективного пространства конечно порожденной?". MathOverflow . Проверено 20 октября 2020 г.
10. Павич, Небойша; Шиндер, Евгений (2021). «К-теория и категория особенностей факторособенностей». Анналы К-теории . 6 (3): 381–424. arXiv : 1809.10919 . дои :10.2140/акт.2021.6.381. S2CID  85502709.
11. Шринивас, В. (1991). Алгебраическая К-теория. Бостон: Биркхойзер. ISBN 978-1-4899-6735-0. ОСЛК  624583210.
12. Концевич, Максим (1995), «Перечисление рациональных кривых с помощью действий тора», Пространство модулей кривых (Texel Island, 1994) , Progress in Mathematics, vol. 129, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 335–368, arXiv : hep-th/9405035 , MR  1363062.
13. Чарльз А. Вейбель, Роберт В. Томасон (1952–1995).

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989). К-теория . Продвинутая книжная классика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-09394-0. МР  1043170.
• Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по К-теории . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. МР  2182598.
• Парк, Эфтон (2008). Комплексная топологическая К-теория . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 111. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-85634-8.
• Лебедь, Р.Г. (1968). Алгебраическая К-теория . Конспект лекций по математике. Том. 76. Спрингер . ISBN 3-540-04245-8.
• Каруби, Макс (1978). К-теория: введение . Классика по математике. Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2.
• Каруби, Макс (2006). «К-теория. Элементарное введение». arXiv : математика/0602082 .
• Хэтчер, Аллен (2003). «Векторные расслоения и К-теория».
• Вейбель, Чарльз (2013). К-книга: введение в алгебраическую К-теорию . Град. Исследования по математике. Том. 145. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-9132-2.

Внешние ссылки

• Гротендик-Риман-Рох
• Страница Макса Каруби
• Архив препринтов К-теории