торсия Уайтхеда

В геометрической топологии , области в математике, препятствием к гомотопической эквивалентности конечных CW-комплексов, являющихся простой гомотопической эквивалентностью, является их кручение Уайтхеда , которое является элементом в группе Уайтхеда . Эти концепции названы в честь математика Дж. Х. К. Уайтхеда . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \tau (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {Wh} (\pi _{1}(Y))}$

Кручение Уайтхеда важно для применения теории хирургии к неодносвязным многообразиям размерности > 4: для односвязных многообразий группа Уайтхеда исчезает, и, таким образом, гомотопические эквивалентности и простые гомотопические эквивалентности одинаковы. Приложения применяются к дифференцируемым многообразиям, PL-многообразиям и топологическим многообразиям. Доказательства были впервые получены в начале 1960-х годов Стивеном Смейлом для дифференцируемых многообразий. Развитие теории handlebody позволило получить во многом те же доказательства в дифференцируемых и PL-категориях. Доказательства намного сложнее в топологической категории, требуя теории Робиона Кирби и Лорана К. Зибенмана . Ограничение на многообразия размерности больше четырех обусловлено применением трюка Уитни для удаления двойных точек.

При обобщении теоремы об h -кобордизме , которая является утверждением об односвязных многообразиях, на неодносвязные многообразия необходимо различать простые гомотопические эквивалентности и непростые гомотопические эквивалентности. В то время как h -кобордизм W между односвязными замкнутыми связными многообразиями M и N размерности n  > 4 изоморфен цилиндру (соответствующая гомотопическая эквивалентность может быть принята как диффеоморфизм, PL-изоморфизм или гомеоморфизм соответственно), теорема об s -кобордизме утверждает, что если многообразия не являются односвязными, h -кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения обращается в нуль. ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Группа Уайтхеда

Группа Уайтхеда связного CW-комплекса или многообразия M равна группе Уайтхеда фундаментальной группы M. ${\displaystyle \operatorname {Wh} (\pi _{1}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$

Если G — группа, то группа Уайтхеда определяется как коядро отображения , которое переводит ( g , ±1) в обратимую (1,1)-матрицу (± g ). Вот групповое кольцо группы G . Напомним, что K-группа K ₁ ( A ) кольца A определяется как фактор GL(A) по подгруппе, порожденной элементарными матрицами . Группа GL( A ) является прямым пределом конечномерных групп GL( n , A ) → GL( n +1, A ); конкретно, группа обратимых бесконечных матриц, которые отличаются от единичной матрицы только конечным числом коэффициентов. Элементарная матрица здесь — это трансвекция : такая, что все элементы главной диагонали равны 1 и есть не более одного ненулевого элемента не на диагонали. Подгруппа, порожденная элементарными матрицами, является в точности производной подгруппой , другими словами, наименьшей нормальной подгруппой, такой что фактор по ней абелев. ${\displaystyle \operatorname {Wh} (G)}$ ${\displaystyle G\times \{\pm 1\}\to K_{1}(\mathbb {Z} [G])}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

Другими словами, группа Уайтхеда группы G является частным от деления по подгруппе, порожденной элементарными матрицами, элементами G и . Обратите внимание, что это то же самое, что и частное от деления редуцированной K-группы по G . ${\displaystyle \operatorname {Wh} (G)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (\mathbb {Z} [G])}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{1}(\mathbb {Z} [G])}$

Примеры

• Группа Уайтхеда тривиальной группы тривиальна. Поскольку групповое кольцо тривиальной группы равно , мы должны показать, что любая матрица может быть записана как произведение элементарных матриц на диагональную матрицу; это легко следует из того факта, что является евклидовой областью . ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Группа Уайтхеда свободной абелевой группы тривиальна, результат 1964 года Хаймана Басса , Алекса Хеллера и Ричарда Свона . Это довольно трудно доказать, но важно, поскольку это используется в доказательстве того, что s -кобордизм размерности не менее 6, концы которого являются торами, является произведением. Это также ключевой алгебраический результат, используемый в классификации теории хирургии кусочно-линейных многообразий размерности не менее 5, которые гомотопически эквивалентны тору ; это существенный ингредиент структурной теории Кирби–Зибенмана 1969 года топологических многообразий размерности не менее 5.

• Группа Уайтхеда группы кос (или любой подгруппы группы кос) тривиальна. Это доказали Ф. Томас Фаррелл и Сайед К. Рушон.

• Группа Уайтхеда циклическая группа тривиальна тогда и только тогда, когда она имеет порядок 2, 3, 4 или 6.

• Группа Уайтхеда циклической группы порядка 5 — это . Это было доказано в 1940 году Грэмом Хигманом . Пример нетривиальной единицы в групповом кольце возникает из тождества , где t — генератор циклической группы порядка 5. Этот пример тесно связан с существованием единиц бесконечного порядка (в частности, золотого сечения ) в кольце целых чисел циклотомического поля, порожденного корнями пятой степени из единицы. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (1-t-t^{4})(1-t^{2}-t^{3})=1,}$

• Группа Уайтхеда любой конечной группы G конечно порождёна, её ранг равен числу неприводимых действительных представлений G минус число неприводимых рациональных представлений . Это было доказано в 1965 году Бассом.

• Если G — конечная циклическая группа, то она изоморфна единицам группового кольца относительно детерминантного отображения, поэтому Wh( G ) — это просто группа единиц по модулю группы «тривиальных единиц», порожденных элементами G и −1. ${\displaystyle K_{1}(\mathbb {Z} [G])}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

• Хорошо известна гипотеза, что группа Уайтхеда любой группы без кручения должна исчезнуть.

Скручивание Уайтхеда

Сначала мы определяем кручение Уайтхеда для цепной гомотопической эквивалентности конечных базируемых свободных R -цепных комплексов. Мы можем сопоставить гомотопической эквивалентности ее конус отображения C _*  := cone _* (h _* ), который является стягиваемым конечным базируемым свободным R -цепным комплексом. Пусть будет любой цепной контракцией конуса отображения, т.е. для всех n . Мы получаем изоморфизм с ${\displaystyle \tau (h_{*})\in {\tilde {K}}_{1}(R)}$ ${\displaystyle h_{*}:D_{*}\to E_{*}}$ ${\displaystyle \gamma _{*}:C_{*}\to C_{*+1}}$ ${\displaystyle c_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ c_{n}=\operatorname {id} _{C_{n}}}$ ${\displaystyle (c_{*}+\gamma _{*})_{\mathrm {odd} }:C_{\mathrm {odd} }\to C_{\mathrm {even} }}$

${\displaystyle C_{\mathrm {odd} }:=\bigoplus _{n{\text{ odd}}}C_{n},\qquad C_{\mathrm {even} }:=\bigoplus _{n{\text{ even}}}C_{n}.}$

Определим , где A — матрица относительно заданных базисов. ${\displaystyle \tau (h_{*}):=[A]\in {\tilde {K}}_{1}(R)}$ ${\displaystyle (c_{*}+\gamma _{*})_{\rm {odd}}}$

Для гомотопической эквивалентности связных конечных CW-комплексов мы определяем кручение Уайтхеда следующим образом. Пусть будет подъемом на универсальное покрытие. Это индуцирует -цепные гомотопические эквивалентности . Теперь мы можем применить определение кручения Уайтхеда для цепной гомотопической эквивалентности и получить элемент, в котором мы отображаемся в Wh(π ₁ ( Y )). Это кручение Уайтхеда τ(ƒ) ∈ Wh(π ₁ ( Y )). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \tau (f)\in \operatorname {Wh} (\pi _{1}(Y))}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:{\tilde {X}}\to {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(Y)]}$ ${\displaystyle C_{*}({\tilde {f}}):C_{*}({\tilde {X}})\to C_{*}({\tilde {Y}})}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{1}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(Y)])}$

Характеристики

Гомотопическая инвариантность: Пусть — гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Если f и g гомотопны, то . ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \tau (f)=\tau (g)}$

Топологическая инвариантность: Если — гомеоморфизм конечных связных CW-комплексов, то . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \tau (f)=0}$

Формула композиции: Пусть , — гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Тогда . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ ${\displaystyle \tau (g\circ f)=g_{*}\tau (f)+\tau (g)}$

Геометрическая интерпретация

Теорема о s-кобордизме утверждает для замкнутого связного ориентированного многообразия M размерности n  > 4, что h-кобордизм W между M и другим многообразием N тривиален над M тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения равно нулю. Более того, для любого элемента в группе Уайтхеда существует h-кобордизм W над M , кручение Уайтхеда которого является рассматриваемым элементом. Доказательства используют разложения по ручкам . ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Существует гомотопический теоретик-аналог теоремы о s-кобордизме. Для заданного CW-комплекса A рассмотрим множество всех пар CW-комплексов ( X , A ) таких, что включение A в X является гомотопической эквивалентностью. Две пары ( X ₁ , A ) и ( X ₂ , A ) называются эквивалентными, если существует простая гомотопическая эквивалентность между X ₁ и X ₂ относительно A . Множество таких классов эквивалентности образуют группу, где сложение задается объединением X ₁ и X ₂ с общим подпространством A . Эта группа естественно изоморфна группе Уайтхеда Wh( A ) CW-комплекса A . Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы о s-кобордизме .

Смотрите также

• Алгебраическая К-теория
• кручение Рейдемейстера
• Теорема о s-кобордизме
• Обструкция конечности Стена

Ссылки

• Басс, Хайман ; Хеллер, Алекс; Свон, Ричард (1964), «Группа Уайтхеда полиномиального расширения», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 22 : 61–79, doi :10.1007/BF02684690, MR  0174605, S2CID  4649786
• Коэн, М. Курс простой гомотопической теории. Текст для аспирантов по математике, выпуск 10, Springer, 1973 г.
• Хигман, Грэм (1940), «Единицы групповых колец», Труды Лондонского математического общества , 2, 46 : 231–248, doi :10.1112/plms/s2-46.1.231, MR  0002137
• Кирби, Робион ; Зибенман, Лоран (1977), Основополагающие эссе о топологических многообразиях, сглаживаниях и триангуляциях , Annals of Mathematics Studies, т. 88, Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси; University of Tokyo Press , Токио
• Милнор, Джон (1966), «Крутение Уайтхеда», Бюллетень Американского математического общества , 72 (3): 358–426, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11484-2 , MR  0196736
• Смейл, Стивен (1962), «О структуре многообразий», American Journal of Mathematics , 84 (3): 387–399, doi :10.2307/2372978, JSTOR  2372978, MR  0153022
• Уайтхед, Дж. Х. К. (1950), «Простые гомотопические типы», Американский журнал математики , 72 (1): 1–57, doi : 10.2307/2372133, JSTOR  2372133, MR  0035437

Внешние ссылки

• Описание кручения Уайтхеда приведено во втором разделе.