В математической области теории представлений действительное представление обычно является представлением в действительном векторном пространстве U , но оно может также означать представление в комплексном векторном пространстве V с инвариантной действительной структурой , т. е. антилинейное эквивариантное отображение.
который удовлетворяет
Две точки зрения эквивалентны, поскольку если U — действительное векторное пространство, на которое действует группа G (скажем), то V = U ⊗ C — представление в комплексном векторном пространстве с антилинейным эквивариантным отображением, заданным комплексным сопряжением . Наоборот, если V — такое комплексное представление, то U можно восстановить как множество неподвижных точек j ( собственное пространство с собственным значением 1).
В физике , где представления часто рассматриваются конкретно в терминах матриц, реальное представление — это такое представление, в котором элементы матриц, представляющих элементы группы, являются действительными числами. Эти матрицы могут действовать как на действительные, так и на комплексные векторы-столбцы.
Действительное представление на комплексном векторном пространстве изоморфно своему комплексно сопряженному представлению , но обратное неверно: представление, которое изоморфно своему комплексно сопряженному, но не является действительным, называется псевдодействительным представлением . Неприводимое псевдодействительное представление V обязательно является кватернионным представлением : оно допускает инвариантную кватернионную структуру , т. е. антилинейное эквивариантное отображение
который удовлетворяет
Прямая сумма действительных и кватернионных представлений в общем случае не является ни действительным, ни кватернионным.
Представление на комплексном векторном пространстве может быть также изоморфно дуальному представлению его комплексно сопряженного. Это происходит именно тогда, когда представление допускает невырожденную инвариантную полуторалинейную форму , например, эрмитову форму . Такие представления иногда называют комплексными или (псевдо)эрмитовыми.
Критерий (для компактных групп G ) реальности неприводимых представлений в терминах теории характеров основан на индикаторе Фробениуса-Шура, определяемом формулой
где χ — характер представления, а μ — мера Хаара с μ( G ) = 1. Для конечной группы это задается формулой
Индикатор может принимать значения 1, 0 или −1. Если индикатор равен 1, то представление является действительным. Если индикатор равен нулю, то представление является комплексным (эрмитовым), [1] а если индикатор равен −1, то представление является кватернионным.
Все представления симметрических групп являются действительными (и фактически рациональными), поскольку мы можем построить полный набор неприводимых представлений с помощью таблиц Юнга .
Все представления групп вращений на нечетномерных пространствах являются действительными, поскольку все они появляются как подпредставления тензорных произведений копий фундаментального представления, которое является действительным.
Другими примерами действительных представлений являются спинорные представления групп спинов в измерениях 8k − 1, 8k и 8k + 1 для k = 1, 2, 3... Эта периодичность по модулю 8 известна в математике не только в теории алгебр Клиффорда , но и в алгебраической топологии , в KO-теории ; см. спиновое представление и периодичность Ботта .
