Прямая сумма

Операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в «более сложные» объекты

Прямая сумма — это операция между структурами в абстрактной алгебре , разделе математики . Она определяется по-разному, но аналогично, для разных видов структур. Например, прямая сумма двух абелевых групп и — это еще одна абелева группа, состоящая из упорядоченных пар, где и . Чтобы сложить упорядоченные пары, мы определяем сумму как ; другими словами, сложение определяется покоординатно. Например, прямая сумма , где — действительное координатное пространство , — это декартова плоскость , . Похожий процесс можно использовать для формирования прямой суммы двух векторных пространств или двух модулей . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$ ${\displaystyle (a+c,b+d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Мы также можем образовывать прямые суммы с любым конечным числом слагаемых, например , при условии, что и являются одними и теми же видами алгебраических структур (например, все абелевы группы или все векторные пространства). Это основано на том факте, что прямая сумма ассоциативна с точностью до изоморфизма . То есть для любых алгебраических структур , и того же вида. Прямая сумма также коммутативна с точностью до изоморфизма, то есть для любых алгебраических структур и того же вида. ${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Прямая сумма конечного числа абелевых групп, векторных пространств или модулей канонически изоморфна соответствующему прямому произведению . Однако для некоторых алгебраических объектов, таких как неабелевы группы, это неверно.

В случае, когда объединяется бесконечно много объектов, прямая сумма и прямое произведение не изоморфны, даже для абелевых групп, векторных пространств или модулей. В качестве примера рассмотрим прямую сумму и прямое произведение (счетно) бесконечного числа копий целых чисел. Элемент в прямом произведении — это бесконечная последовательность, например (1,2,3,...), но в прямой сумме требуется, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю, поэтому последовательность (1,2,3,...) будет элементом прямого произведения, но не прямой суммы, в то время как (1,2,0,0,0,...) будет элементом обеих. Часто, если используется знак +, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю, в то время как если используется некоторая форма умножения, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны 1. На более техническом языке, если слагаемые равны , прямая сумма определяется как множество кортежей с таким, что для всех, кроме конечного числа i . Прямая сумма содержится в прямом произведении , но строго меньше, когда набор индексов бесконечен, поскольку элемент прямого произведения может иметь бесконечно много ненулевых координат. ^[1] ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$ ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Примеры

Плоскость xy , двумерное векторное пространство , можно рассматривать как прямую сумму двух одномерных векторных пространств, а именно осей x и y . В этой прямой сумме оси x и y пересекаются только в начале координат (нулевой вектор). Сложение определяется покоординатно, то есть , что то же самое, что и сложение векторов. ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

Если заданы две структуры и , их прямая сумма записывается как . Если задано индексированное семейство структур , индексированное с помощью , прямая сумма может быть записана как . Каждое A _i называется прямым слагаемым A . Если набор индексов конечен, прямая сумма совпадает с прямым произведением. В случае групп, если групповая операция записана как , используется фраза «прямая сумма», в то время как если групповая операция записана , используется фраза «прямое произведение». Когда набор индексов бесконечен, прямая сумма не совпадает с прямым произведением, поскольку прямая сумма имеет дополнительное требование, что все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle *}$

Внутренние и внешние прямые суммы

Проводится различие между внутренними и внешними прямыми суммами, хотя они изоморфны. Если сначала определяются слагаемые, а затем прямая сумма определяется через слагаемые, то мы имеем внешнюю прямую сумму. Например, если мы определяем действительные числа, а затем определяем прямую сумму, то говорят, что она является внешней. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

Если же, с другой стороны, мы сначала определяем некоторую алгебраическую структуру , а затем записываем как прямую сумму двух подструктур и , то прямая сумма называется внутренней. В этом случае каждый элемент из однозначно выражается как алгебраическая комбинация элемента из и элемента из . В качестве примера внутренней прямой суммы рассмотрим (целые числа по модулю шесть), элементами которых являются . Это выражается как внутренняя прямая сумма . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$

Виды прямой суммы

Прямая сумма абелевых групп

Прямая сумма абелевых групп является прототипическим примером прямой суммы. Даны две такие группы , и их прямая сумма совпадает с их прямым произведением . То есть, базовый набор является декартовым произведением , а групповая операция определяется покомпонентно: Это определение обобщается на прямые суммы конечного числа абелевых групп. ${\displaystyle (A,\circ )}$ ${\displaystyle (B,\bullet ),}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$

Для произвольного семейства групп, индексированного их прямой суммой ^[2], есть подгруппа прямого произведения, состоящая из элементов , имеющих конечный носитель , где по определению говорят, что имеет конечный носитель, если есть единичный элемент для всех, кроме конечного числа ^[3] Прямая сумма бесконечного семейства нетривиальных групп есть собственная подгруппа группы произведения ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$ ${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

Прямая сумма модулей

Прямая сумма модулей — конструкция, объединяющая несколько модулей в новый модуль.

Наиболее известные примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств , которые являются модулями над полем . Конструкция может быть также распространена на банаховы пространства и гильбертовы пространства .

Прямая сумма в категориях

Аддитивная категория является абстракцией свойств категории модулей. ^{[4] [5]} В такой категории конечные произведения и копроизведения согласуются, и прямой суммой является любое из них, ср. бипроизведение .

Общий случай: ^[2] В теории категорийПрямая сумма часто, но не всегда, является копроизведением в категории рассматриваемых математических объектов. Например, в категории абелевых групп прямая сумма является копроизведением. Это также верно в категории модулей.

Прямые суммы против копроизведений в категории групп

Однако прямая сумма (определяемая идентично прямой сумме абелевых групп) не является копроизведением групп и в категории групп . Поэтому для этой категории категориальную прямую сумму часто просто называют копроизведением, чтобы избежать возможной путаницы. ${\displaystyle S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Прямая сумма групповых представлений

Прямая сумма групповых представлений обобщает прямую сумму базовых модулей , добавляя к ней групповое действие . В частности, если заданы группа и два представления и (или, в более общем случае, два -модуля ), прямая сумма представлений имеет место с действием заданного покомпонентно, то есть Другой эквивалентный способ определения прямой суммы заключается в следующем: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V\oplus W}$ ${\displaystyle g\in G}$ $${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$$

Даны два представления и векторное пространство прямой суммы, а гомоморфизм задается выражением, где — естественное отображение, полученное покоординатным действием, как указано выше. ${\displaystyle (V,\rho _{V})}$ ${\displaystyle (W,\rho _{W})}$ ${\displaystyle V\oplus W}$ ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ ${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$ ${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$

Более того, если являются конечномерными, то, учитывая базис , и являются матричнозначными. В этом случае задается как ${\displaystyle V,\,W}$ ${\displaystyle V,\,W}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$ ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ $${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

Более того, если рассматривать и как модули над групповым кольцом , где — поле, то прямая сумма представлений и равна их прямой сумме как модулей. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$

Прямая сумма колец

Некоторые авторы говорят о прямой сумме двух колец, когда они имеют в виду прямое произведение , но этого следует избегать ^[6], поскольку не получает естественных кольцевых гомоморфизмов от и : в частности, отображение, отправляющее в , не является кольцевым гомоморфизмом, поскольку оно не отправляет 1 в (предполагая, что в ). Таким образом, не является копроизведением в категории колец и не должно быть записано как прямая сумма. (Копроизведение в категории коммутативных колец является тензорным произведением колец . ^[7] В категории колец копроизведение задается конструкцией, аналогичной свободному произведению групп.) ${\displaystyle R\oplus S}$ ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\to R\times S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle 0\neq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\times S}$

Использование терминологии и обозначений прямой суммы особенно проблематично при работе с бесконечными семействами колец: если — бесконечный набор нетривиальных колец, то прямую сумму базовых аддитивных групп можно снабдить почленным умножением, но это даст rng , то есть кольцо без мультипликативного тождества. ${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$

Прямая сумма матриц

Для любых произвольных матриц и прямая сумма определяется как блочно-диагональная матрица и , если обе матрицы являются квадратными (и как аналогичная блочная матрица , если нет). ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$$

Прямая сумма топологических векторных пространств

Топологическое векторное пространство (TVS), такое как банахово пространство , называется топологической прямой суммой двух векторных подпространств , и если отображение сложения является изоморфизмом топологических векторных пространств (что означает, что это линейное отображение является биективным гомеоморфизмом ), в этом случае и называются топологическими дополнениями в Это верно тогда и только тогда, когда при рассмотрении в качестве аддитивных топологических групп (поэтому скалярное умножение игнорируется), является топологической прямой суммой топологических подгрупп и Если это так и если является хаусдорфовым , то и обязательно являются замкнутыми подпространствами ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

Если — векторное подпространство действительного или комплексного векторного пространства , то всегда существует другое векторное подпространство из , называемое алгебраическим дополнением к в , такое, что является алгебраической прямой суммой и ( что происходит тогда и только тогда, когда отображение сложения является изоморфизмом векторного пространства ). В отличие от алгебраических прямых сумм, существование такого дополнения больше не гарантируется для топологических прямых сумм. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\times N\to X}$

Вектор подпространства называется ( топологически ) дополняемым подпространством , если существует некоторое векторное подпространство , такое что является топологической прямой суммой и Вектор подпространства называется недополняемым, если оно не является дополняемым подпространством. Например, каждое векторное подпространство хаусдорфовой TVS, которое не является замкнутым подмножеством, обязательно недополняемо. Каждое замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства дополняемо. Но каждое банахово пространство , которое не является гильбертовым пространством, обязательно обладает некоторым недополняемым замкнутым векторным подпространством. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

Гомоморфизмы

^{[ требуется разъяснение ]}

Прямая сумма снабжена проекционным гомоморфизмом для каждого j в I и копроекцией для каждого j в I . ^[8] При наличии другой алгебраической структуры (с той же дополнительной структурой) и гомоморфизмов для каждого j в I , существует единственный гомоморфизм , называемый суммой g _j , такой что для всех j . Таким образом, прямая сумма является копроизведением в соответствующей категории . ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g_{j}\colon A_{j}\to B}$ ${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$ ${\displaystyle g\alpha _{j}=g_{j}}$

Смотрите также

• Прямая сумма групп
• Прямая сумма перестановок
• Прямая сумма топологических групп
• Ограниченный продукт
• сумма Уитни
• Теорема Фефермана-Воота

Примечания

1. Томас В. Хангерфорд , Алгебра , стр. 60, Springer, 1974, ISBN  0387905189
2. Прямая сумма в n Lab
3. Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: Введение , стр. 177, Аллин и Бэкон, 1965
4. ""p.45"" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2013-05-22 . Получено 2014-01-14 .
5. "Приложение" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2006-09-17 . Получено 2014-01-14 .
6. Math StackExchange о прямой сумме колец против прямого произведения колец.
7. Ланг 2002, раздел I.11
8. Хойнен, Крис (2009). Категориальные квантовые модели и логика . Паллас Proefschriften. Издательство Амстердамского университета. п. 26. ISBN 978-9085550242.

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001