Закрытый набор

Complement of an open subset

В геометрии , топологии и смежных разделах математики замкнутое множество — это множество , дополнением которого является открытое множество . ^{[1] [2]} В топологическом пространстве замкнутое множество можно определить как множество, содержащее все свои предельные точки . В полном метрическом пространстве замкнутое множество — это множество, замкнутое относительно операции предела . Это не следует путать с замкнутым многообразием .

Эквивалентные определения

По определению подмножество топологического пространства называется замкнутым , если его дополнение является открытым подмножеством ; то есть, если Множество замкнуто в тогда и только тогда, когда оно равно своему замыканию в Эквивалентно, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки . Еще одно эквивалентное определение состоит в том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки . Каждое подмножество всегда содержится в своем (топологическом) замыкании в , в котором обозначается то есть, если то Более того, является замкнутым подмножеством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus A\in \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A;}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} _{X}A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A.}$

Альтернативная характеристика замкнутых множеств доступна через последовательности и сети . Подмножество топологического пространства замкнуто в тогда и только тогда, когда каждый предел каждой сети элементов из также принадлежит В пространстве с первой счетностью (таком как метрическое пространство) достаточно рассматривать только сходящиеся последовательности , а не все сети. Одно из значений этой характеристики состоит в том, что ее можно использовать в качестве определения в контексте пространств сходимости , которые являются более общими, чем топологические пространства. Обратите внимание, что эта характеристика также зависит от окружающего пространства, поскольку сходимость последовательности или сети в зависит от того, какие точки присутствуют в Точка в называется близкой к подмножеству, если (или, что эквивалентно, если принадлежит замыканию в топологическом подпространстве , то есть где наделено топологией подпространства, индуцированной на нем ^{[примечание 1]} ). Поскольку замыкание в , таким образом, множество всех точек в , которые близки к , эта терминология позволяет описать замкнутые подмножества на простом английском языке: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\},}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$

Подмножество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит каждую близкую к нему точку.

В терминах сетевой сходимости точка близка к подмножеству тогда и только тогда, когда существует некоторая сеть (со значениями) в , которая сходится к Если является топологическим подпространством некоторого другого топологического пространства , в этом случае называется топологическим суперпространством , то может существовать некоторая точка в , которая близка к (хотя и не является элементом ), что является причиной того, что подмножество может быть замкнутым в , но не быть замкнутым в «большем» окружающем суперпространстве Если и если является любым топологическим суперпространством , то всегда является (потенциально собственным) подмножеством , которое обозначает замыкание в Действительно, даже если является замкнутым подмножеством (что происходит тогда и только тогда, когда ), тем не менее, все еще возможно для быть собственным подмножеством Однако является замкнутым подмножеством , если и только если для некоторого (или, что эквивалентно , для каждого) топологического суперпространства ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y\setminus X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Замкнутые множества также могут быть использованы для характеристики непрерывных функций : отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества ; это можно перефразировать на простом английском языке как: непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества отображает точки, которые близки к , к точкам, которые близки к Аналогично, непрерывно в фиксированной заданной точке тогда и только тогда, когда близко к подмножеству , то близко к ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

Подробнее о закрытых наборах

Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытых множеств , концепция, которая имеет смысл для топологических пространств , а также для других пространств, которые несут топологические структуры, таких как метрические пространства , дифференцируемые многообразия , равномерные пространства и калибровочные пространства .

Замкнутость множества зависит от пространства, в которое оно вложено. Однако компактные хаусдорфовы пространства являются « абсолютно замкнутыми », в том смысле, что если вложить компактное хаусдорфово пространство в произвольное хаусдорфово пространство , то всегда будет замкнутым подмножеством ; «окружающее пространство» здесь не имеет значения. Компактификация Стоуна–Чеха , процесс, который превращает полностью регулярное хаусдорфово пространство в компактное хаусдорфово пространство, может быть описана как присоединение пределов некоторых неконвергентных сетей к пространству. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

Более того, каждое замкнутое подмножество компактного пространства компактно, а каждое компактное подпространство хаусдорфова пространства замкнуто.

Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая совокупность непустых замкнутых подмножеств с пустым пересечением допускает конечную подсовокупность с пустым пересечением. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Топологическое пространство несвязно, если существуют непересекающиеся, непустые, открытые подмножества , объединение которых равно Кроме того, является полностью несвязным, если оно имеет открытую базу, состоящую из замкнутых множеств. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Замкнутое множество содержит свою собственную границу . Другими словами, если вы находитесь «вне» замкнутого множества, вы можете переместиться на небольшое расстояние в любом направлении и все равно остаться вне множества. Это также верно, если граница — пустое множество, например, в метрическом пространстве рациональных чисел, для множества чисел, квадрат которых меньше ${\displaystyle 2.}$

• Любое пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто (сюда входят пересечения бесконечного числа замкнутых множеств).
• Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто .
• Пустой набор закрыт .
• Весь комплекс закрыт.

Фактически, если задано множество и набор подмножеств , такие, что элементы обладают перечисленными выше свойствами, то существует единственная топология на , такая, что замкнутые подмножества являются в точности теми множествами, которые принадлежат Свойство пересечения также позволяет определить замыкание множества в пространстве , которое определяется как наименьшее замкнутое подмножество , являющееся надмножеством . В частности, замыкание может быть построено как пересечение всех этих замкнутых надмножеств. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X}$

Множества, которые могут быть построены как объединение счетного числа замкнутых множеств, обозначаются как множества F σ . Эти множества не обязательно должны быть замкнутыми.

Примеры

• Замкнутый интервал действительных чисел является замкнутым. (См. Интервал (математика) для объяснения обозначений квадратных и круглых скобок.) ${\displaystyle [a,b]}$
• Единичный интервал замкнут в метрическом пространстве действительных чисел, а множество рациональных чисел между и (включительно) замкнуто в пространстве рациональных чисел, но не замкнуто в действительных числах. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$
• Некоторые множества не являются ни открытыми, ни закрытыми, например, полуоткрытый интервал в действительных числах. ${\displaystyle [0,1)}$
• Некоторые множества являются как открытыми, так и закрытыми и называются открыто-замкнутыми множествами .
• Луч закрыт . ${\displaystyle [1,+\infty )}$
• Множество Кантора является необычным замкнутым множеством в том смысле, что оно полностью состоит из граничных точек и нигде не является плотным.
• Точки-одиночки ( и, следовательно, конечные множества) замкнуты в _{пространствах} T1 и пространствах Хаусдорфа .
• Множество целых чисел представляет собой бесконечное и неограниченное замкнутое множество действительных чисел. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Если — функция между топологическими пространствами, то она непрерывна тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств в замкнуты в ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Смотрите также

• Закрытое множество  – подмножество, которое одновременно открыто и замкнуто.
• Закрытая карта  – функция, которая отправляет открытые (соответственно, закрытые) подмножества в открытые (соответственно, закрытые) подмножества.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Замкнутая область  – Связное открытое подмножество топологического пространства.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Открытое множество  – базовое подмножество топологического пространства.
• Окрестность  – открытое множество, содержащее заданную точку.
• Регион (математика)  – Связное открытое подмножество топологического пространства.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Регулярный закрытый набор

Примечания

1. В частности, то, является ли близость к зависит только от подпространства , а не от всего окружающего пространства (например , или любого другого пространства, содержащего в качестве топологического подпространства). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$

Ссылки

1. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054235-X.
2. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.