Значение, к которому стремится бесконечная последовательность
По мере того как положительное целое число становится все больше и больше, значение становится сколь угодно близким к . Мы говорим, что «предел последовательности равен ».
В математике предел последовательности — это значение, к которому «стремятся» члены последовательности , и его часто обозначают с помощью символа (например, ). [1] Если такой предел существует, последовательность называется сходящейся . [2] Последовательность, которая не сходится, называется расходящейся . [3] Говорят, что предел последовательности является фундаментальным понятием, на котором в конечном итоге зиждется весь математический анализ . [1]
Грегуар де Сен-Венсан дал первое определение предела (конца) геометрической серии в своей работе Opus Geometricum (1647): «Конечная точка прогрессии — это конец ряда, которого не может достичь ни одна прогрессия, даже если она продолжается в бесконечности, но к которому она может приблизиться ближе, чем к данному отрезку». [4]
Пьетро Менголи предвосхитил современную идею ограничения последовательности своим исследованием квазипропорций в Geometriae speciosae elementa (1659 г.). Он использовал термин «квазибесконечный» для обозначения неограниченности и «квазинулевой» для обозначения исчезновения .
Ньютон рассматривал ряды в своих работах « Анализ с бесконечными рядами » (написан в 1669 г., распространен в рукописи, опубликован в 1711 г.), « Метод флюксий и бесконечных рядов » (написан в 1671 г., опубликован в английском переводе в 1736 г., латинский оригинал опубликован гораздо позже). и Tractatus de Quadratura Curvarum (написанный в 1693 году, опубликованный в 1704 году как приложение к его «Оптике» ). В последней работе Ньютон рассматривает биномиальное разложение , которое он затем линеаризует, принимая предел при стремлении к .
В 18 веке математикам , таким как Эйлер , удалось суммировать некоторые расходящиеся ряды, остановившись в нужный момент; их не очень заботило, существует ли предел, лишь бы его можно было вычислить. В конце века Лагранж в своей «Теории аналитических функций» (1797) высказал мнение, что отсутствие строгости препятствует дальнейшему развитию исчисления. Гаусс в своем этюде о гипергеометрических рядах (1813) впервые строго исследовал условия, при которых ряд сходится к пределу.
Современное определение предела (для любого существует индекс, так что...) было дано Бернаром Больцано ( «Der bomische Lehrsatz» , Прага, 1816 г., на которое в то время мало обращали внимания) и Карлом Вейерштрассом в 1870-х годах.
Вещественные числа
В действительных числах число является пределом последовательности , если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к , а не к какому-либо другому числу.
Примеры
Если для постоянного , то . [доказательство 1] [5]
Если , то . [доказательство 2] [5]
Если когда четное, а когда нечетное, то . (Тот факт, что всякий раз, когда является нечетным, не имеет значения.)
Учитывая любое действительное число, можно легко построить последовательность, сходящуюся к этому числу, используя десятичные приближения. Например, последовательность сходится к . Обратите внимание, что десятичное представление является пределом предыдущей последовательности, определяемой формулой
Нахождение предела последовательности не всегда очевидно. Двумя примерами являются (пределом которых является число e ) и среднее арифметико-геометрическое . Теорема о сжатии часто оказывается полезной при установлении таких пределов.
Определение
Назовем пределом последовательности , которая записана
Другими словами, для каждой меры близости члены последовательности в конечном итоге оказываются очень близки к пределу. Говорят, что последовательность сходится к пределу или стремится к нему .
Символически это:
.
Если последовательность сходится к некоторому пределу , то она сходится и является единственным пределом; в противном случае расходится . Последовательность, предел которой равен нулю, иногда называют нулевой последовательностью .
Иллюстрация
Пример последовательности, сходящейся к пределу .
Независимо от того, что у нас есть, индекс есть , так что последовательность впоследствии полностью лежит в эпсилон-трубке .
Существует также меньший индекс , чтобы последовательность впоследствии находилась внутри эпсилон-трубки .
Для каждого из них существует лишь конечное число членов последовательности вне эпсилон-трубки.
Характеристики
Некоторые другие важные свойства пределов реальных последовательностей включают следующее:
Если он существует, предел последовательности уникален. [5]
Пределы последовательностей хорошо ведут себя по отношению к обычным арифметическим операциям . Если и существует, то
[5]
[5]
[5]
предоставлено [5]
Для любой непрерывной функции если существует, то она тоже существует. Фактически, любая вещественная функция непрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет пределы последовательностей (хотя это не обязательно верно при использовании более общих понятий непрерывности).
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая подпоследовательность.
Если каждая подпоследовательность последовательности имеет свою собственную подпоследовательность, сходящуюся к той же точке, то исходная последовательность сходится к этой точке.
Эти свойства широко используются для доказательства пределов без необходимости непосредственно использовать громоздкое формальное определение. Например, как только доказано, что , становится легко показать, используя приведенные выше свойства, что (предполагая, что ).
Бесконечные пределы
Говорят, что последовательность стремится к бесконечности , записывается
, или
,
если имеет место следующее:
Для каждого действительного числа существует такое натуральное число, что для каждого натурального числа мы имеем ; то есть члены последовательности в конечном итоге больше любого фиксированного .
Символически это:
.
Аналогично мы говорим, что последовательность стремится к минус бесконечности , записывая
, или
,
если имеет место следующее:
Для каждого действительного числа существует такое натуральное число, что для каждого натурального числа мы имеем ; то есть члены последовательности в конечном итоге становятся меньше любого фиксированного .
Символически это:
.
Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс-минус бесконечности, и последовательность представляет собой один из таких примеров.
Метрические пространства
Определение
Точка метрического пространства является пределом последовательности , если:
Это совпадает с определением, данным для действительных чисел, когда и .
Характеристики
Когда он существует, предел последовательности уникален, поскольку отдельные точки разделены некоторым положительным расстоянием, поэтому на расстоянии менее половины этого расстояния члены последовательности не могут находиться на расстоянии от обеих точек.
Для любой непрерывной функции f , если она существует, то . Фактически, функция f непрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет пределы последовательностей.
Последовательности Коши
Последовательность Коши — это последовательность, члены которой в конечном итоге становятся сколь угодно близкими друг к другу после того, как было отброшено достаточно много начальных членов. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе . Одним из особенно важных результатов реального анализа является критерий Коши сходимости последовательностей : последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши. Это остается верным и в других полных метрических пространствах .
Топологические пространства
Определение
Точка топологического пространства – этоограничить илипредельная точка [7][8]последовательности, если:
Для каждой окрестности существует такая , что для каждой мы имеем . [9]
Это совпадает с определением, данным для метрических пространств, если - метрическое пространство и - топология, порожденная .
В хаусдорфовом пространстве пределы последовательностей уникальны, если они существуют. Обратите внимание, что это не обязательно должно быть так в нехаусдорфовых пространствах; в частности, если две точки и топологически неразличимы , то любая последовательность, которая сходится к, должна сходиться к и наоборот.
Гиперреальные числа
Определение предела с использованием гипердействительных чисел формализует интуитивное представление о том, что для «очень большого» значения индекса соответствующий член «очень близок» к пределу. Точнее, действительная последовательность стремится к L , если для каждого бесконечного сверхъестественного член бесконечно близок к (т. е. разница бесконечно мала ). Эквивалентно, L является стандартной частью :
.
Таким образом, предел можно определить по формуле
.
где предел существует тогда и только тогда, когда правая часть не зависит от выбора бесконечности .
Последовательность более чем одного индекса
Иногда можно также рассмотреть последовательность с более чем одним индексом, например, двойную последовательность . Эта последовательность имеет предел , если она становится все ближе и ближе к моменту, когда и n , и m становятся очень большими.
Пример
Если для постоянного , то .
Если , то .
Если , то предела не существует. В зависимости от относительной «скорости роста» и эта последовательность может приблизиться к любому значению между и .
Другими словами, для каждой меры близости члены последовательности в конечном итоге оказываются очень близки к пределу. Говорят, что последовательность сходится к пределу или стремится к нему .
Символически это:
.
Обратите внимание, что двойной предел отличается от ограничения сначала в n , а затем в m . Последний известен как итерированный предел . Учитывая, что существуют и двойной предел, и повторный предел, они имеют одно и то же значение. Однако возможно, что один из них существует, а другой нет.
Бесконечные пределы
Говорят, что последовательность стремится к бесконечности , записывается
, или
,
если имеет место следующее:
Для каждого действительного числа существует такое натуральное число, что для каждой пары натуральных чисел мы имеем ; то есть члены последовательности в конечном итоге больше любого фиксированного .
Символически это:
.
Аналогично, последовательность стремится к минус бесконечности , записанная
, или
,
если имеет место следующее:
Для каждого действительного числа существует такое натуральное число, что для каждой пары натуральных чисел мы имеем ; то есть члены последовательности в конечном итоге становятся меньше любого фиксированного .
Символически это:
.
Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс-минус бесконечности, и последовательность представляет собой один из таких примеров.
Поточечные пределы и равномерные пределы
Для двойной последовательности мы можем взять предел по одному из индексов, скажем, чтобы получить одинарную последовательность . Фактически, существует два возможных значения этого предела. Первый из них называется поточечным пределом и обозначается
, или
,
что значит:
Для каждого действительного числа и каждого фиксированного натурального числа существует такое натуральное число, что для каждого натурального числа имеем . [11]
Символически это:
.
Когда такой предел существует, мы говорим, что последовательность сходится поточечно к .
Второй называется равномерным пределом и обозначается
В этом определении выбор не зависит от . Другими словами, выбор единообразно применим ко всем натуральным числам . Следовательно, легко видеть, что равномерная сходимость является более сильным свойством, чем поточечная сходимость: существование равномерного предела подразумевает существование и равенство поточечного предела:
Если равномерно, то точечно.
Когда такой предел существует, мы говорим, что последовательность сходится равномерно к .
Повторный предел
Для двойной последовательности мы можем взять предел по одному из индексов, скажем, чтобы получить одинарную последовательность , а затем ограничить другой индекс, а именно , чтобы получить число . Символически,
.
Этот предел известен как итерированный предел двойной последовательности. Обратите внимание, что порядок взятия пределов может повлиять на результат, т.е.
в общем.
Достаточное условие равенства дается теоремой Мура-Осгуда , которая требует, чтобы предел был равномерным по . [10]
^ Вайсштейн, Эрик В. «Сходящаяся последовательность». mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 г.
^ Курант (1961), с. 39.
^ Ван Лой, Х. (1984). Хронология и исторический анализ математических рукописей Грегориуса Санкто Винченцио (1584–1667). История математики, 11 (1), 57–75.
^ abcdefg «Пределы последовательностей | Блестящая вики по математике и наукам» . блестящий.орг . Проверено 18 августа 2020 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Предел». mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 г.
^ Дугунджи 1966, стр. 209–210.
^ Часар 1978, с. 61.
^ Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 29. ISBN978-0-387-94422-7.
^ аб Закон, Элиас (2011). «Глава 4. Пределы функций и непрерывность». Математический анализ, том I. п. 223. ИСБН9781617386473.
^ Аб Хабил, Эйсса (2005). «Двойные последовательности и двойные серии» . Проверено 28 октября 2022 г.
Доказательства
^ Доказательство : Выбирайте . Для каждого ,
^ Доказательство : выберите ( функция пола ). Для каждого , .