Повторяющийся предел

В многомерном исчислении итеративный предел — это предел последовательности или предел функции в форме

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\left(\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\right)}$,

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{y\to b}\left(\lim _{x\to a}f(x,y)\right)}$,

или другие подобные формы.

Итеративный предел определяется только для выражения, значение которого зависит как минимум от двух переменных. Чтобы оценить такой предел, берут предельный процесс, когда одна из двух переменных приближается к некоторому числу, получая выражение, значение которого зависит только от другой переменной, а затем берут предел, когда другая переменная приближается к некоторому числу.

Типы повторяющихся пределов

В этом разделе вводятся определения итерационных пределов в двух переменных. Они могут быть легко обобщены на несколько переменных.

Повторяемый предел последовательности

Для каждого пусть будет действительной двойной последовательностью. Тогда есть две формы итерированных пределов, а именно ${\displaystyle n,m\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$.

Например, пусть

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$.

Затем

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }1=1}$, и

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }0=0}$.

Повторный предел функции

Пусть . Тогда также существуют две формы повторных пределов, а именно ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$.

Пусть, например, такое, что ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}$.

Затем

${\displaystyle \lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{y\to 0}0=0}$, и

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}1=1}$. ^[1]

Предел(ы) для x и/или y также могут быть взяты на бесконечности, т.е.

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$.

Повторный предел последовательности функций

Для каждого пусть будет последовательностью функций. Тогда есть две формы итерационных пределов, а именно ${\displaystyle n\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$.

Пусть, например, такое, что ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$.

Затем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to 1}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }1=1}$, и

${\displaystyle \lim _{x\to 1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to 1}0=0}$. ^[2]

Предел по x можно также взять на бесконечности, т.е.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$.

Пусть, например, такое, что ${\displaystyle f_{n}:(0,\infty )\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{n}}}}$.

Затем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }0=0}$, и

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to \infty }0=0}$.

Обратите внимание, что предел по n берется дискретно, тогда как предел по x берется непрерывно.

Сравнение с другими пределами в нескольких переменных

В этом разделе вводятся различные определения пределов в двух переменных. Они могут быть легко обобщены на несколько переменных.

Предел последовательности

Для двойной последовательности существует другое определение предела , которое обычно называют двойным пределом , обозначаемым как ${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$,

что означает, что для всех существуют такие, что подразумевает . ^[3] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n,m>N}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<\epsilon }$

Следующая теорема устанавливает связь между двойным пределом и повторными пределами.

Теорема 1. Если существует и равен L , существует для каждого большого m и существует для каждого большого n , то и также существуют, и они равны L , т.е. ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$. ^{[4] [5]}

Доказательство . В силу существования для любого существует такое, что влечет . ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N_{1}=N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n,m>N_{1}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

Пусть для каждого такого, что существует, существует такое, что влечет . ${\displaystyle n>N_{0}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=A_{n}}$ ${\displaystyle N_{2}=N_{2}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m>N_{2}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-A_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

Оба приведенных выше утверждения верны для и . Объединяя уравнения из двух приведенных выше, для любого существует для всех , ${\displaystyle n>\max(N_{0},N_{1})}$ ${\displaystyle m>\max(N_{1},N_{2})}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle \left|A_{n}-L\right|<\epsilon }$,

что доказывает, что . Аналогично для доказываем: . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}\displaystyle }$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$

Например, пусть

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}}$.

Так как , , и , то мы имеем ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{m}}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=0}$.

Эта теорема требует, чтобы были сошлись единичные пределы и . Это условие нельзя отбросить. Например, рассмотрим ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

${\displaystyle a_{n,m}=(-1)^{m}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)}$.

Тогда мы можем увидеть, что

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=0}$,

но не существует. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

Это потому, что его изначально не существует. ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

Предел функции

Для функции двух переменных существуют два других типа пределов . Один из них — обычный предел , обозначаемый как ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$,

что означает, что для всех существуют такие, что подразумевает . ^[6] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$ ${\displaystyle 0<{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}<\delta }$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

Чтобы этот предел существовал, f ( x , y ) можно сделать сколь угодно близкой к L вдоль каждого возможного пути, приближающегося к точке ( a , b ). В этом определении точка ( a , b ) исключена из путей. Поэтому значение f в точке ( a , b ), даже если оно определено, не влияет на предел.

Другой тип — двойной предел , обозначаемый как

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$,

что означает, что для всех существуют такие, что и подразумевает . ^[7] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta }$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

Для того чтобы этот предел существовал, f ( x , y ) можно сделать сколь угодно близким к L вдоль всех возможных путей, приближающихся к точке ( a , b ), за исключением линий x = a и y = b . Другими словами, значение f вдоль линий x = a и y = b не влияет на предел. Это отличается от обычного предела, где исключается только точка ( a , b ). В этом смысле обычный предел является более сильным понятием, чем двойной предел:

Теорема 2. Если существует и равен L , то существует и равен L , т.е. ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$.

Оба эти предела не предполагают сначала взятие одного предела, а затем другого. Это контрастирует с итерированными пределами, где процесс ограничения сначала выполняется в направлении x , а затем в направлении y (или в обратном порядке).

Следующая теорема устанавливает связь между двойным пределом и повторными пределами:

Теорема 3. Если существует и равен L , существует для каждого y вблизи b и существует для каждого x вблизи a , то и также существуют, и они равны L , т.е. ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$.

Например, пусть

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$.

Так как , и , то имеем ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad y\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad y=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad x=0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1}$.

(Обратите внимание, что в этом примере не существует.) ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$

Эта теорема требует существования единичных пределов и . Это условие не может быть опущено. Например, рассмотрим ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)=x\sin \left({\frac {1}{y}}\right)}$.

Тогда мы можем увидеть, что

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0}$,

но не существует. ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)}$

Это происходит потому, что изначально не существует для x вблизи 0. ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)}$

Объединяя теоремы 2 и 3, получаем следующее следствие:

Следствие 3.1 . Если существует и равен L , существует для каждого y вблизи b и существует для каждого x вблизи a , то и также существуют, и они равны L , т.е. ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$.

Предел на бесконечности функции

Для функции двух переменных мы также можем определить двойной предел на бесконечности ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$,

что означает, что для всех существуют такие, что и подразумевает . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M=M(\epsilon )>0}$ ${\displaystyle x>M}$ ${\displaystyle y>M}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

Аналогичные определения можно дать для пределов на отрицательной бесконечности.

Следующая теорема устанавливает связь между двойным пределом на бесконечности и повторными пределами на бесконечности:

Теорема 4. Если существует и равен L , существует для каждого большого y и существует для каждого большого x , то и также существуют, и они равны L , т.е. ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$.

Например, пусть

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x\sin y}{xy+y}}}$.

Так как , и , то имеем ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}(x,y)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)={\frac {\sin y}{y}}}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$.

Опять же, эта теорема требует существования единичных пределов и . Это условие не может быть опущено. Например, рассмотрим ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\cos x}{y}}}$.

Тогда мы можем увидеть, что

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$,

но не существует. ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

Это связано с тем, что для фиксированного y изначально не существует . ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

Неверные обратные теоремы

Обратные теоремы 1, 3 и 4 не выполняются, т. е. существование повторных пределов, даже если они равны, не подразумевает существование двойного предела. Контрпример:

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$

около точки (0, 0). С одной стороны,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0}$.

С другой стороны, двойной предел не существует. Это можно увидеть, взяв предел по пути ( x , y ) = ( t , t ) → (0,0), что дает ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}}$,

и по пути ( x , y ) = ( t , t ² ) → (0,0), что дает

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t^{2}\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t^{2})=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{3}}{t^{2}+t^{4}}}=0}$.

Теорема Мура-Осгуда для перестановки пределов

В приведенных выше примерах мы можем видеть, что перестановка пределов может давать или не давать тот же результат. Достаточное условие для перестановки пределов дается теоремой Мура-Осгуда . ^[8] Суть взаимозаменяемости зависит от равномерной сходимости .

Взаимозаменяемость пределов последовательностей

Следующая теорема позволяет нам поменять местами два предела последовательностей.

Теорема 5. Если равномерно (по m ), и для каждого большого n , то и то , и другое существует и равно двойному пределу, т.е. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=b_{m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}=c_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$. ^[3]

Доказательство . По равномерной сходимости для любого существуют такие, что для всех , следует . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n,k>N_{1}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-a_{k,m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Так как , то имеем , что означает, что есть последовательность Коши , которая сходится к пределу . Кроме того, так как , то имеем . ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle \left|c_{n}-c_{k}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \left|c_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

С другой стороны, если мы возьмем первое, то получим . ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-b_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

По поточечной сходимости для любых и существуют такие, что влечет . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n>N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}(\epsilon ,n)\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m>N_{2}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-c_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Тогда для этого фиксированного значения следует . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m>N_{2}}$ ${\displaystyle \left|b_{m}-L\right|\leq \left|b_{m}-a_{n,m}\right|+\left|a_{n,m}-c_{n}\right|+\left|c_{n}-L\right|\leq \epsilon }$

Это доказывает, что . ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=L=\lim _{n\to \infty }c_{n}}$

Также, взяв , мы видим, что этот предел также равен . ${\displaystyle N=\max\{N_{1},N_{2}\}}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$

Следствие касается взаимозаменяемости бесконечной суммы .

Следствие 5.1 . Если сходится равномерно (по m ), и сходится для каждого большого n , то . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$

Доказательство . Прямое применение теоремы 5 на . ${\displaystyle S_{k,\ell }=\sum _{m=1}^{k}\sum _{n=1}^{\ell }a_{n,m}}$

Взаимозаменяемость пределов функций

Аналогичные результаты справедливы для многомерных функций.

Теорема 6. Если равномерно (по y ) на , и для каждого x вблизи a , то оба существуют и равны двойному пределу, т.е. ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)=g(y)}$ ${\displaystyle Y\setminus \{b\}}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)=h(x)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$. ^[9]

Здесь a и b могут быть равны бесконечности .

Доказательство . По равномерному пределу существования, для любого существуют такие, что для всех , и влечет . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta _{1}(\epsilon )>0}$ ${\displaystyle y\in Y\setminus \{b\}}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{1}}$ ${\displaystyle 0<\left|w-a\right|<\delta _{1}}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-f(w,y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Так как , то имеем . По критерию Коши существует и равно числу . Кроме того, так как , то имеем . ${\displaystyle y\to b}$ ${\displaystyle \left|h(x)-h(w)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle w\to a}$ ${\displaystyle \left|h(x)-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

С другой стороны, если мы возьмем первое, то получим . ${\displaystyle w\to a}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-g(y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

В силу существования поточечного предела для любого и вблизи существуют такие, что влечет . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta _{2}(\epsilon ,x)>0}$ ${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-h(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Тогда для этого фиксированного значения следует . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$ ${\displaystyle \left|g(y)-L\right|\leq \left|g(y)-f(x,y)\right|+\left|f(x,y)-h(x)\right|+\left|h(x)-L\right|\leq \epsilon }$

Это доказывает, что . ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)=L=\lim _{x\to a}h(x)}$

Также, взяв , мы видим, что этот предел также равен . ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

Обратите внимание, что эта теорема не подразумевает существование . Контрпример находится вблизи (0,0). ^[10] ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$

Перестановка пределов последовательностей функций

Важная вариация теоремы Мура-Осгуда предназначена специально для последовательностей функций.

Теорема 7. Если равномерно (по x ) на , и для каждого большого n , то оба и существуют и равны, т.е. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)=L_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }L_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$. ^[11]

Здесь « а» может означать бесконечность.

Доказательство . По равномерной сходимости для любого существуют такие, что для всех , следует . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle x\in D\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle n,m>N}$ ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Так как , то имеем , что означает, что есть последовательность Коши , которая сходится к пределу . Кроме того, так как , то имеем . ${\displaystyle x\to a}$ ${\displaystyle \left|L_{n}-L_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle \left|L_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

С другой стороны, если мы возьмем первое, то получим . ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

В силу существования поточечного предела для любых и существуют такие, что влечет . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \delta (\epsilon ,n)>0}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-L_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Тогда для этого фиксированного значения следует . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|\leq \left|f(x)-f_{n}(x)\right|+\left|f_{n}(x)-L_{n}\right|+\left|L_{n}-L\right|\leq \epsilon }$

Это доказывает, что . ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L=\lim _{n\to \infty }L_{n}}$

Следствием является теорема о непрерывности для равномерной сходимости следующего вида:

Следствие 7.1 . Если равномерно (по x ) на , и непрерывны при , то также непрерывны при . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle x=a\in X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

Другими словами, равномерный предел непрерывных функций непрерывен.

Доказательство . По теореме 7, . ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=f(a)}$

Другое следствие касается взаимозаменяемости предела и бесконечной суммы .

Следствие 7.2 . Если сходится равномерно (по x ) на и существует для каждого большого n , то . ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$ ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)}$

Доказательство . Прямое применение теоремы 7 на близком к . ${\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}f_{n}(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

Приложения

Сумма бесконечных элементов в матрице

Рассмотрим матрицу бесконечных записей

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1&0&0&\cdots \\0&1&-1&0&\cdots \\0&0&1&-1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$.

Предположим, мы хотим найти сумму всех записей. Если мы сначала просуммируем столбец за столбцом, то обнаружим, что первый столбец дает 1, а все остальные дают 0. Следовательно, сумма всех столбцов равна 1. Однако, если мы сначала просуммируем строку за строкой, то обнаружим, что все строки дают 0. Следовательно, сумма всех строк равна 0.

Объяснение этого парадокса в том, что вертикальная сумма до бесконечности и горизонтальная сумма до бесконечности — это два предельных процесса, которые нельзя менять местами. Пусть — сумма записей до записей ( n , m ). Тогда имеем , но . В этом случае двойной предел не существует, и, таким образом, эта проблема не является хорошо определенной. ${\displaystyle S_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }S_{n,m}=1}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }S_{n,m}=0}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}S_{n,m}}$

Интеграция по неограниченному интервалу

По теореме об интегрировании для равномерной сходимости , как только мы имеем равномерно сходимость на , предел по n и интегрирование по ограниченному интервалу можно поменять местами: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [a,b]\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x}$.

Однако такое свойство может не выполняться для несобственного интеграла по неограниченному интервалу . В этом случае можно положиться на теорему Мура-Осгуда. ${\displaystyle [a,\infty )\subseteq X}$

Рассмотрим в качестве примера. ${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x}$

Сначала разложим подынтегральное выражение как для . (Здесь x = 0 является предельным случаем.) ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}={\frac {x^{2}e^{-x}}{1-e^{-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

С помощью исчисления можно доказать , что для и имеем . По М-тесту Вейерштрасса сходится равномерно на . ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle x^{2}e^{-kx}\leq {\frac {4}{e^{2}k^{2}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Тогда по теореме об интегрировании для равномерной сходимости, . ${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x}$

Чтобы еще больше заменить предел бесконечным суммированием , теорема Мура-Осгуда требует, чтобы бесконечный ряд был равномерно сходящимся. ${\displaystyle \lim _{b\to \infty }}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}$

Обратите внимание, что . Опять же, по М-тесту Вейерштрасса, сходится равномерно на . ${\displaystyle \int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x={\frac {2}{k^{3}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Тогда по теореме Мура-Осгуда, . (Здесь представлена ​​дзета-функция Римана .) ${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{k^{3}}}=2\zeta (3)}$

Смотрите также

• Предел последовательности
• Предел функции
• Равномерная сходимость
• Взаимообмен лимитирующими операциями

Примечания

1. Следует обратить внимание на тот факт,

   ${\displaystyle \lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}={\begin{cases}1&{\text{for }}x\neq 0\\0&{\text{for }}x=0\end{cases}}}$

   Но это незначительная проблема, так как скоро мы достигнем предела . ${\displaystyle \lim _{x\to 0}}$
2. Следует обратить внимание на тот факт,

   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{n}={\begin{cases}0&{\text{for }}x\in [0,1)\\1&{\text{for }}x=1\end{cases}}}$.

   Но это незначительная проблема, поскольку мы скоро достигнем предела , что неявно подразумевает, что . ${\displaystyle \lim _{x\to 1}}$ ${\displaystyle x\neq 1}$
3. Zakon, Elias (2011). "Глава 4. Пределы функций и непрерывность". Математический анализ, том I. стр. 223. ISBN 9781617386473.
4. Хабил, Эйсса (2005). "Двойные последовательности и двойные серии" . Получено 28 октября 2022 г.
5. Апостол, Том М. (2002). «Бесконечные ряды и бесконечные произведения». Математический анализ (2-е изд.). Narosa. стр. 199–200. ISBN 978-8185015668.
6. Стюарт, Джеймс (2020). «Глава 14.2 Пределы и непрерывность». Многомерное исчисление (9-е изд.). С. 952–953. ISBN 9780357042922.
7. Zakon, Elias (2011). "Глава 4. Пределы функций и непрерывность". Математический анализ, том I. стр. 219–220. ISBN 9781617386473.
8. Тейлор, Ангус Э. (2012). Общая теория функций и интегрирования . Серия Dover Books on Mathematics. С. 139–140. ISBN 9780486152141.
9. Кадельбург, Зоран (2005). "Поменять местами два предела" . Получено 29 октября 2022 г.
10. Гельбаум, Бернард; Олмстед, Джон (2003). "Глава 9. Функции двух переменных". Контрпримеры в анализе . С. 118–119. ISBN 0486428753.
11. Лоринг, Терри. «Теорема Мура-Осгуда об обмене пределами» (PDF) . Получено 28.10.2022 .