Метрическое пространство

Математическое пространство с понятием расстояния

Плоскость (набор точек) может быть оснащена разными метриками . В метрике такси красный, желтый и синий пути имеют одинаковую длину (12), и все они являются кратчайшими путями. В евклидовой метрике зеленый путь имеет длину и является уникальным кратчайшим путем, тогда как красный, желтый и синий пути по-прежнему имеют длину 12. ${\displaystyle 6{\sqrt {2}}\approx 8.49}$

В математике метрическое пространство представляет собой множество с понятием расстояния между его элементами , обычно называемыми точками . Расстояние измеряется функцией , называемой метрикой или функцией расстояния . ^[1] Метрические пространства являются наиболее общей средой для изучения многих концепций математического анализа и геометрии .

Самый известный пример метрического пространства — трехмерное евклидово пространство с обычным понятием расстояния. Другими известными примерами являются сфера , снабженная угловым расстоянием , и гиперболическая плоскость . Метрика может соответствовать метафорическому, а не физическому понятию расстояния: например, набор 100-символьных строк Юникода может быть снабжен расстоянием Хэмминга , которое измеряет количество символов, которые необходимо изменить, чтобы получить из одного строка к другому.

Поскольку метрические пространства очень общие, они являются инструментом, используемым во многих различных областях математики. Многие типы математических объектов имеют естественное понятие расстояния и поэтому допускают структуру метрического пространства, включая римановы многообразия , нормированные векторные пространства и графы . В абстрактной алгебре p - адические числа возникают как элементы пополнения метрической структуры рациональных чисел . Метрические пространства также самостоятельно изучаются в метрической геометрии ^[2] и анализе метрических пространств . ^[3]

Многие из основных понятий математического анализа , включая шары , полноту , а также равномерную , липшицеву и непрерывность по Гельдеру , могут быть определены в рамках метрических пространств. Другие понятия, такие как непрерывность , компактность , а также открытые и замкнутые множества , могут быть определены для метрических пространств, но также и в еще более общей ситуации топологических пространств .

Определение и иллюстрация

Мотивация

Диаграмма, показывающая расстояние по большому кругу (голубой цвет) и расстояние по прямой (красный цвет) между двумя точками P и Q на сфере.

Чтобы увидеть полезность различных представлений о расстоянии, рассмотрим поверхность Земли как набор точек. Мы можем измерить расстояние между двумя такими точками длиной кратчайшего пути вдоль поверхности , « по прямой »; это особенно полезно для судоходства и авиации. Мы также можем измерить расстояние по прямой между двумя точками внутри Земли; это понятие, например, естественно в сейсмологии , поскольку оно примерно соответствует продолжительности времени, которое требуется сейсмическим волнам для прохождения между этими двумя точками.

К понятию расстояния, закодированному аксиомами метрического пространства, предъявляется относительно мало требований. Эта общность дает метрическим пространствам большую гибкость. В то же время это понятие достаточно сильное, чтобы закодировать множество интуитивных фактов о том, что означает расстояние. Это означает, что общие результаты о метрических пространствах могут применяться во многих различных контекстах.

Как и многие фундаментальные математические концепции, метрику в метрическом пространстве можно интерпретировать по-разному. Конкретную метрику лучше всего рассматривать не как измерение физического расстояния, а как стоимость перехода из одного состояния в другое (как в случае с метрикой Вассерштейна в пространствах мер ) или степень различия между двумя объектами (например, расстояние Хэмминга между двумя строками символов или расстояние Громова–Хаусдорфа между самими метрическими пространствами).

Определение

Формально метрическое пространство — это упорядоченная пара ( M , d ) , где M — множество, а d — метрика на M , т. е. функция

$${\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} }$$

^{[4] [5]} ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. Расстояние от точки до самой себя равно нулю:
   $${\displaystyle d(x,x)=0}$$
2. (Позитивность) Расстояние между двумя различными точками всегда положительно:
   $${\displaystyle {\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)>0}$$
3. ( Симметрия ) Расстояние от x до y всегда такое же, как расстояние от y до x :
   $${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$$
4. Неравенство треугольника имеет место:
   $${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$$
   Это естественное свойство как физических, так и метафорических представлений о расстоянии: вы можете прийти к z из x , пройдя через y , но это не сделает ваше путешествие быстрее, чем по кратчайшему пути.

Если метрика d однозначна, то часто, злоупотребляя обозначениями, называют «метрическое пространство М ».

Взяв все аксиомы, кроме второй, можно показать, что расстояние всегда неотрицательно:

$${\displaystyle 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)}$$

^[6] ${\textstyle {\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)\neq 0}$ ${\textstyle d(x,y)=0\iff x=y}$

Простые примеры

Реальные цифры

Действительные числа с функцией расстояния, определяемой абсолютной разностью, образуют метрическое пространство. Многие свойства метрических пространств и функций между ними являются обобщениями понятий реального анализа и совпадают с этими понятиями применительно к вещественной прямой. ${\displaystyle d(x,y)=|y-x|}$

Метрики в евклидовых пространствах

Сравнение чебышевского, евклидова и таксистного расстояний для гипотенузы треугольника 3-4-5 на шахматной доске

Евклидова плоскость может быть оснащена множеством различных метрик. Евклидово расстояние , известное из школьной математики, можно определить по формуле ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$$

Расстояние такси или Манхэттена определяется _

$${\displaystyle d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|}$$

Максимальное расстояние , , или расстояние Чебышева определяется выражением ${\displaystyle L^{\infty }}$

$${\displaystyle d_{\infty }((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{|x_{2}-x_{1}|,|y_{2}-y_{1}|\}.}$$

корольшахматной доске

Фактически, эти три расстояния, хотя и имеют разные свойства, в некотором смысле схожи. Неформально, точки, близкие в одном, близки и в других. Это наблюдение можно выразить количественно с помощью формулы

$${\displaystyle d_{\infty }(p,q)\leq d_{2}(p,q)\leq d_{1}(p,q)\leq 2d_{\infty }(p,q),}$$

${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2}}$

Совершенно другое расстояние можно определить, установив

$${\displaystyle d(p,q)={\begin{cases}0,&{\text{if }}p=q,\\1,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

скобки Айверсона

$${\displaystyle d(p,q)=[p\neq q]}$$

дискретной метрике

Все эти показатели имеют смысл как для . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Подпространства

Учитывая метрическое пространство ( M , d ) и его подмножество , мы можем считать A метрическим пространством, измеряя расстояния так же, как мы это делали бы в M. Формально индуцированная метрика на A — это функция , определяемая формулой ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle d_{A}:A\times A\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle d_{A}(x,y)=d(x,y).}$$

S ²S ²(0, 1)[0, 1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

История

В 1906 году Морис Фреше представил метрические пространства в своей работе Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel ^[7] в контексте функционального анализа : его основной интерес заключался в изучении вещественных функций из метрического пространства, обобщая теорию функций нескольких или даже бесконечно много переменных, впервые предложенных такими математиками, как Чезаре Арсела . Идея была далее развита и помещена в надлежащий контекст Феликсом Хаусдорфом в его выдающемся труде « Принципы теории множеств» , который также ввел понятие (Хаусдорфа) топологического пространства . ^[8]

Общие метрические пространства стали фундаментальной частью математической учебной программы. ^[9] Яркие примеры метрических пространств в математических исследованиях включают римановы многообразия и нормированные векторные пространства, которые являются областью дифференциальной геометрии и функционального анализа соответственно. ^[10] Фрактальная геометрия является источником некоторых экзотических метрических пространств. Другие возникли как пределы в результате изучения дискретных или гладких объектов, включая масштабно-инвариантные пределы в статистической физике , пространства Александрова, возникающие как пределы Громова – Хаусдорфа последовательностей римановых многообразий, а также границы и асимптотические конусы в геометрической теории групп . Наконец, в информатике появилось множество новых приложений конечных и дискретных метрических пространств .

Основные понятия

Функции расстояния достаточно, чтобы определить понятия близости и конвергенции, которые впервые были разработаны в реальном анализе . Свойства, зависящие от структуры метрического пространства, называются метрическими свойствами . Каждое метрическое пространство также является топологическим пространством , и некоторые метрические свойства также можно перефразировать без ссылки на расстояние на языке топологии; то есть на самом деле они являются топологическими свойствами .

Топология метрического пространства

Для любой точки x в метрическом пространстве M и любого действительного числа r > 0 открытый шар радиуса r вокруг x определяется как набор точек, которые строго меньше расстояния r от x :

$${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.}$$

xокрестностьюxxrxr > 0 ${\displaystyle N\subseteq M}$

Открытое множество — это множество, являющееся окрестностью всех своих точек. Отсюда следует, что открытые шары образуют основу топологии на M . Другими словами, открытые множества M представляют собой в точности объединения открытых шаров. Как и в любой топологии, закрытые множества являются дополнениями к открытым. Множества могут быть как открытыми, так и закрытыми, а также ни открытыми, ни закрытыми.

Эта топология не несет всей информации о метрическом пространстве. Например, определенные выше расстояния d ₁ , d ₂ и d _∞ индуцируют одну и ту же топологию на , хотя во многих отношениях они ведут себя по-разному. Аналогично, с евклидовой метрикой и ее подпространством интервал (0, 1) с индуцированной метрикой гомеоморфен , но имеет совершенно разные метрические свойства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

И наоборот, не каждому топологическому пространству можно задать метрику. Топологические пространства, совместимые с метрикой, называются метризуемыми и во многих отношениях особенно хорошо себя ведут: в частности, они являются паракомпактными ^[11] хаусдорфовыми пространствами (следовательно, нормальными ) и впервые счетными . ^[a] Теорема о метризации Нагаты – Смирнова дает характеристику метризуемости в терминах других топологических свойств без ссылки на метрику.

Конвергенция

Сходимость последовательностей в евклидовом пространстве определяется следующим образом:

Последовательность ( xn ) сходится к точке x , если для каждого ε > 0 существует целое число N такое, что для всех n _> N d ( xn , x ) _< ε .

Сходимость последовательностей в топологическом пространстве определяется следующим образом:

Последовательность ( xn ) сходится к точке x , если для любого открытого множества U, содержащего x, _{существует} целое число N такое, что для всех n > N , . ${\displaystyle x_{n}\in U}$

В метрических пространствах оба эти определения имеют смысл и эквивалентны. Это общая закономерность топологических свойств метрических пространств: хотя их можно определить чисто топологическим способом, часто существует способ, использующий метрику, которую легче сформулировать или которая более знакома из реального анализа.

Полнота

Неформально, метрическое пространство является полным , если в нем нет «недостающих точек»: каждая последовательность, которая выглядит так, будто должна к чему-то сходиться, на самом деле сходится.

Чтобы быть точным: последовательность ( x _n ) в метрическом пространстве M является Коши , если для каждого ε > 0 существует целое число N такое, что для всех m , n > N , d ( x _m , x _n ) < ε . Согласно неравенству треугольника, любая сходящаяся последовательность является Коши: если x _m и x _n находятся на расстоянии менее ε от предела, то они находятся на расстоянии менее 2ε друг от друга. Если верно обратное — каждая последовательность Коши в M сходится — то M полно.

Евклидовы пространства полны, как и другие метрики, описанные выше. Двумя примерами неполных пространств являются (0, 1) и рациональные числа, каждое из которых имеет метрику, индуцированную из . Можно думать о (0, 1) как о «отсутствующих» его конечных точках 0 и 1. В рациональных числах отсутствуют все иррациональные числа, поскольку любое иррациональное число имеет последовательность рациональных чисел, сходящую к нему (например, его последовательные десятичные приближения). Эти примеры показывают, что полнота не является топологическим свойством, поскольку полно, а гомеоморфное пространство (0, 1) — нет. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Это понятие «недостающих точек» можно уточнить. Фактически, каждое метрическое пространство имеет уникальное пополнение , которое представляет собой полное пространство, содержащее данное пространство как плотное подмножество. Например, [0, 1] — это завершение (0, 1) , а действительные числа — это завершение рациональных чисел.

Поскольку с полными пространствами обычно легче работать, пополнения важны в математике. Например, в абстрактной алгебре p -адические числа определяются как пополнение рациональных чисел при другой метрике. Завершение особенно распространено как инструмент функционального анализа . Часто у нас есть набор хороших функций и способ измерения расстояний между ними. Пополнение этого метрического пространства дает новый набор функций, который может быть менее приятным, но, тем не менее, полезным, поскольку во многих отношениях они ведут себя аналогично исходным хорошим функциям. Например, слабые решения дифференциальных уравнений обычно существуют в пополнении ( пространстве Соболева ), а не в исходном пространстве хороших функций, для которых дифференциальное уравнение действительно имеет смысл.

Ограниченные и вполне ограниченные пространства

Диаметр набора.

Метрическое пространство M ограничено , если существует r такое, что ни одна пара точек в M не находится на расстоянии более чем r друг от друга. ^[b] Наименьшее такое r называетсядиаметр М.__

Пространство M называется предкомпактным или вполне ограниченным, если для любого r > 0 существует конечное покрытие M открытыми шарами радиуса r . Всякое вполне ограниченное пространство ограничено. Чтобы убедиться в этом, начнём с конечного покрытия r -шарами для некоторого произвольного r . Поскольку подмножество M , состоящее из центров этих шаров, конечно, оно имеет конечный диаметр, скажем D . По неравенству треугольника диаметр всего пространства не превосходит D + 2 r . Обратное неверно: примером метрического пространства, которое ограничено, но не полностью ограничено, является (или любое другое бесконечное множество) с дискретной метрикой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Компактность

Компактность — топологическое свойство, обобщающее свойства замкнутого и ограниченного подмножества евклидова пространства. Существует несколько эквивалентных определений компактности в метрических пространствах:

1. Метрическое пространство M называется компактным, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие (обычное топологическое определение).
2. Метрическое пространство M компактно, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. (Для общих топологических пространств это называется секвенциальной компактностью и не эквивалентно компактности.)
3. Метрическое пространство M называется компактным, если оно полное и вполне ограниченное. (Это определение записано в терминах метрических свойств и не имеет смысла для общего топологического пространства, но тем не менее оно топологически инвариантно, поскольку эквивалентно компактности.)

Одним из примеров компакта является замкнутый интервал [0, 1] .

Компактность важна по тем же причинам, что и полнота: она позволяет легко находить пределы. Другим важным инструментом является лемма Лебега о числах , которая показывает, что для любого открытого покрытия компакта каждая точка находится относительно глубоко внутри одного из множеств покрытия.

Функции между метрическими пространствами

Диаграмма Эйлера типов функций между метрическими пространствами.

В отличие от топологических пространств или алгебраических структур, таких как группы или кольца , между метрическими пространствами не существует единственного «правильного» типа функции, сохраняющей структуру . Вместо этого человек работает с различными типами функций в зависимости от своих целей. В этом разделе предположим, что и — два метрических пространства. Слова «функция» и «карта» используются как взаимозаменяемые. ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Изометрии

Одна из интерпретаций карты, «сохраняющей структуру», — это карта, которая полностью сохраняет функцию расстояния:

Функция сохраняет расстояние ^[12] , если для каждой пары точек x и y в M ₁ , ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$

$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y).}$$

Из аксиом метрического пространства следует, что функция, сохраняющая расстояние, инъективна. Биективная функция, сохраняющая расстояние, называется изометрией . ^[13] Одним из, возможно, неочевидных примеров изометрии между пространствами, описанными в этой статье, является карта, определяемая формулой ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{2},d_{1})\to (\mathbb {R} ^{2},d_{\infty })}$

$${\displaystyle f(x,y)=(x+y,x-y).}$$

Если между пространствами M1 и M2 существует изометрия _{, то} они называются изометрическими . Метрические пространства, которые являются изометрическими, по существу идентичны .

Непрерывные карты

На другом конце спектра можно полностью забыть о метрической структуре и изучать непрерывные отображения , которые сохраняют только топологическую структуру. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности метрических пространств. Наиболее важными являются:

• Топологическое определение. Функция непрерывна, если для любого открытого множества U из M 2 _{прообраз} открыт . ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$
• Последовательная непрерывность . Функциянепрерывна, если всякий раз, когда последовательность ( x _n ) сходится к точке x в M ₁ , эта последовательностьсходится к точке f ( x ) в M ₂ . ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots }$

(Эти первые два определения не эквивалентны для всех топологических пространств.)

• определение ε–δ. Функция непрерывна, если для каждой точки _x из M1 и любого ε > 0 существует δ > 0 _такое , что для всех y из M1 имеем ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$
  $${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

Гомеоморфизм — это непрерывная биекция , обратная которой также непрерывна; если между M1 и M2 существует гомеоморфизм _, они называются _{гомеоморфными} . Гомеоморфные пространства одинаковы с точки зрения топологии, но могут иметь совершенно разные метрические свойства. Например, является неограниченным и полным, а (0, 1) ограниченным, но не полным. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Равномерно непрерывные карты

Функция является равномерно непрерывной, если для каждого действительного числа ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех точек x и y в M ₁ таких, что , имеем ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle d(x,y)<\delta }$

$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

Единственное различие между этим определением и определением непрерывности ε–δ — это порядок кванторов: выбор δ должен зависеть только от ε, а не от точки x . Однако это тонкое изменение имеет большое значение. Например, равномерно непрерывные отображения переводят последовательности Коши из M ₁ в последовательности Коши из M ₂ . Другими словами, равномерная непрерывность сохраняет некоторые метрические свойства, которые не являются чисто топологическими.

С другой стороны, теорема Гейне-Кантора утверждает, что если _M1 компактно , то любое непрерывное отображение равномерно непрерывно. Другими словами, равномерная непрерывность не может отличать какие-либо нетопологические особенности компактных метрических пространств.

Липшицевы карты и сокращения

Карта Липшица — это карта, которая растягивает расстояния не более чем в ограниченный раз. Формально для действительного числа K > 0 отображение K - липшицево , если ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\text{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}$$

^[14]спрямляема

1-липшицево отображение иногда называют нерасширяющим или метрическим отображением . Метрические отображения обычно считаются морфизмами категории метрических пространств .

K -липшицево отображение для K < 1 называется сжатием . Теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что если M — полное метрическое пространство, то каждое сжатие допускает единственную неподвижную точку . Если метрическое пространство M компактно, результат верен для несколько более слабого условия на f : отображение допускает единственную неподвижную точку, если ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle f:M\to M}$

$${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}.}$$

Квази-изометрии

Квазиизометрия — это карта, сохраняющая «крупномасштабную структуру» метрического пространства. Квазиизометрии не обязательно должны быть непрерывными. Например, и его подпространство квазиизометрично, хотя одно связно, а другое дискретно. Отношение эквивалентности квазиизометрии важно в геометрической теории групп : лемма Шварца – Милнора утверждает, что все пространства, на которых группа действует геометрически , квазиизометричны. ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Формально отображение является квазиизометрическим вложением, если существуют константы A ≥ 1 и B ≥ 0 такие, что ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ for all }}\quad x,y\in M_{1}.}$$

квазиизометрия,квазисюръективнаC ≥ 0C ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f(M_{1})}$

Понятия эквивалентности метрического пространства

Учитывая два метрических пространства и : ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

• Они называются гомеоморфными (топологически изоморфными), если между ними существует гомеоморфизм (т. е. непрерывная биекция с непрерывным обратным). Если и тождественное отображение является гомеоморфизмом, то и называются топологически эквивалентными . ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
• Они называются униформическими (равномерно изоморфными), если между ними существует равномерный изоморфизм (т. е. равномерно непрерывная биекция с равномерно непрерывной обратной).
• Они называются билипшицевыми гомеоморфными, если между ними существует билипшицева биекция (т. е. липшицева биекция с липшицевой обратной).
• Они называются изометрическими, если между ними существует (биективная) изометрия . В этом случае два метрических пространства по существу идентичны.
• Они называются квазиизометрическими, если между ними существует квазиизометрия .

Метрические пространства с дополнительной структурой

Нормированные векторные пространства

Нормированное векторное пространство — это векторное пространство, снабженное нормой , которая представляет собой функцию, измеряющую длину векторов. Норму вектора v обычно обозначают . Любое нормированное векторное пространство можно снабдить метрикой, в которой расстояние между двумя векторами x и y определяется выражением ${\displaystyle \lVert v\rVert }$

$${\displaystyle d(x,y)=\lVert x-y\rVert .}$$

d индуцирована^[16]d​​векторном пространстве X ${\displaystyle \lVert {\cdot }\rVert }$

• инвариант перевода: для каждого x , y и a в X ; и ${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$
• абсолютно однороден :для любыхxиyизXи вещественного числаα; ${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$

то это метрика, индуцированная нормой

$${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$$

полунормамипсевдометриками

Среди примеров метрик, индуцированных нормой, можно назвать метрики d ₁ , d ₂ и d _∞ on , которые индуцированы манхэттенской нормой , евклидовой нормой и максимальной нормой соответственно. В более общем смысле вложение Куратовского позволяет рассматривать любое метрическое пространство как подпространство нормированного векторного пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Бесконечномерные нормированные векторные пространства, в частности пространства функций, изучаются в функциональном анализе . Полнота особенно важна в этом контексте: полное нормированное векторное пространство известно как банахово пространство . Необычным свойством нормированных векторных пространств является то, что линейные преобразования между ними непрерывны тогда и только тогда, когда они липшицевы. Такие преобразования известны как ограниченные операторы .

Длина пробелов

Одно из возможных приближений длины дуги кривой. Аппроксимация никогда не превышает длину дуги, что оправдывает определение длины дуги как супремума .

Кривая в метрическом пространстве ( M , d ) является непрерывной функцией . Длина γ измеряется _ _ ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$

$${\displaystyle L(\gamma )=\sup _{0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=T}\left\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (x_{k-1}),\gamma (x_{k}))\right\}.}$$

спрямляемой^[17]γγгеодезической^[15][с]

Геодезическое метрическое пространство — это метрическое пространство, допускающее геодезическую между любыми двумя своими точками. Пространства и являются геодезическими метрическими пространствами. В России геодезические уникальны, но в России между двумя точками часто существует бесконечное количество геодезических, как показано на рисунке вверху статьи. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$

Пространство M является пространством длин (или метрика d является внутренней ), если расстояние между любыми двумя точками x и y является нижней границей длин путей между ними. В отличие от геодезического метрического пространства, нижняя нижняя грань не обязательно должна достигаться. Примером пространства длины, которое не является геодезическим, является евклидова плоскость минус начало координат: точки (1, 0) и (-1, 0) могут быть соединены путями длины, сколь угодно близкой к 2, но не путем длина 2. Примером метрического пространства, которое не является пространством длины, является метрика прямой на сфере: прямая линия между двумя точками, проходящая через центр Земли, короче любого пути вдоль поверхности.

Учитывая любое метрическое пространство ( M , d ) , можно определить новую внутреннюю функцию расстояния d , _{внутреннюю} на M , установив расстояние между точками x и y равным минимальной d -длине путей между ними. Например, если d — расстояние по прямой на сфере, то d _{внутреннее} — это расстояние по большому кругу. Однако в некоторых случаях _{внутреннее значение} d может иметь бесконечные значения. Например, если M — снежинка Коха с метрикой подпространства d, индуцированной из , то результирующее внутреннее расстояние бесконечно для любой пары различных точек. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Римановы многообразия

Риманово многообразие — это пространство, снабженное римановым метрическим тензором , который определяет длины касательных векторов в каждой точке. Это можно рассматривать как бесконечно малое определение понятия расстояния. В частности, дифференцируемый путь в римановом многообразии M имеет длину, определяемую как интеграл от длины касательного вектора к пути: ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$

$${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt.}$$

субримановыфинслеровые метрики

Риманова метрика однозначно определяется функцией расстояния; это означает, что в принципе вся информация о римановом многообразии может быть восстановлена ​​по его функции расстояния. Одним из направлений метрической геометрии является поиск чисто метрических ( «синтетических» ) формулировок свойств римановых многообразий. Например, риманово многообразие является пространством CAT( k ) (синтетическое условие, которое зависит исключительно от метрики) тогда и только тогда, когда его секционная кривизна ограничена сверху величиной k . ^[20] Таким образом, пространства CAT( k ) обобщают границы верхней кривизны на общие метрические пространства.

Метрические пространства меры

В реальном анализе используются как метрика О, так и мера Лебега . Следовательно, обобщения многих идей анализа естественным образом находятся в метрических пространствах с мерой: пространствах, в которых есть как мера, так и метрика, совместимые друг с другом. Формально метрическое пространство с мерой — это метрическое пространство, снабженное борелевской регулярной мерой, такой, что каждый шар имеет положительную меру. ^[21] Например, евклидовы пространства размерности n и, в более общем смысле , n -мерные римановы многообразия естественно имеют структуру метрического пространства с мерой, снабженного мерой Лебега . Некоторые фрактальные метрические пространства, такие как прокладка Серпинского, могут быть оснащены α-мерной мерой Хаусдорфа , где α — размерность Хаусдорфа . Однако в целом метрическое пространство может не иметь «очевидного» выбора меры. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Одним из применений метрических пространств с мерой является обобщение понятия кривизны Риччи за пределы римановых многообразий. Подобно тому, как пространства CAT( k ) и Александрова обобщают границы секционной кривизны, пространства RCD представляют собой класс пространств с метрической мерой, которые обобщают нижние границы кривизны Риччи. ^[22]

Дополнительные примеры и приложения

Графы и конечные метрические пространства

АМетрическое пространство дискретно , если его индуцированная топология является дискретной топологией . Хотя многие понятия, например полнота и компактность, для таких пространств не представляют интереса, тем не менее они являются объектом изучения в ряде разделов математики. В частности,конечные метрические пространства (имеющие конечное число точек) изучаются в комбинаторике и теоретической информатике . ^[23] Особенно хорошо изучены вложения в другие метрические пространства. Например, не каждое конечное метрическое пространство может быть изометрически вложено в евклидово или гильбертово пространство . С другой стороны, в худшем случае требуемое искажение (константа билипшица) является лишь логарифмическим по числу точек. ^{[24] [25]}

Для любого неориентированного связного графа G множество V вершин G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние между вершинами x и y как длину кратчайшего реберного пути, соединяющего их. Это также называется расстоянием кратчайшего пути или геодезическим расстоянием . В геометрической теории групп эта конструкция применяется к графу Кэли (обычно бесконечной) конечно порожденной группы , что дает слово метрика . С точностью до билипшицевого гомеоморфизма словесная метрика зависит только от группы, а не от выбранного конечного порождающего множества. ^[15]

Расстояния между математическими объектами

В современной математике часто изучаются пространства, точки которых сами являются математическими объектами. Функция расстояния в таком пространстве обычно направлена ​​на измерение несходства между двумя объектами. Вот некоторые примеры:

• Функции метрического пространства. Если X — любое множество, а M — метрическое пространство, то множество всех ограниченных функций (т. е. тех функций, образ которых является ограниченным подмножеством ) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние между двумя ограниченными функциями f и g , чтобы быть ${\displaystyle f\colon X\to M}$ ${\displaystyle M}$
  $${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)).}$$
  Эта метрика называется равномерной метрикой или супремум-метрикой. ^[26] Если M полно, то и это функциональное пространство полно; при этом, если X также является топологическим пространством, то подпространство, состоящее из всех ограниченных непрерывных функций из X в M , также является полным. Когда X является подпространством , это функциональное пространство известно как классическое пространство Винера . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Строковые метрики и редактирование расстояний . Существует множество способов измерения расстояний между строками символов , которые могут представлять собой предложения в компьютерной лингвистике или кодовые слова в теории кодирования . Расстояния редактирования пытаются измерить количество изменений, необходимых для перехода от одной строки к другой. Например, расстояние Хэмминга измеряет минимальное количество необходимых замен, а расстояние Левенштейна измеряет минимальное количество делеций, вставок и замен; оба из них можно рассматривать как расстояния на соответствующем графике.
• Расстояние редактирования графа — это мера несходства между двумя графами , определяемая как минимальное количество операций редактирования графа , необходимых для преобразования одного графа в другой.
• Метрики Вассерштейна измеряют расстояние между двумя мерами в одном и том же метрическом пространстве. Расстояние Вассерштейна между двумя мерами — это, грубо говоря, стоимость переноса одной в другую.
• Множество всех матриц размером m на n над некоторым полем является метрическим пространством относительно рангового расстояния . ${\displaystyle d(A,B)=\mathrm {rank} (B-A)}$
• Метрика Хелли в теории игр измеряет разницу между стратегиями в игре.

Расстояние Хаусдорфа и Громова – Хаусдорфа

Идея пространств математических объектов также может быть применена к подмножествам метрического пространства, а также к самим метрическим пространствам. Расстояние Хаусдорфа и расстояние Громова–Хаусдорфа определяют метрики на множестве компактных подмножеств метрического пространства и множестве компактных метрических пространств соответственно.

Предположим, ( M , d ) — метрическое пространство, и пусть S — подмножество M . Расстояние от S до точки x из M , неформально, является расстоянием от x до ближайшей точки S. Однако, поскольку ни одной ближайшей точки может не быть, она определяется через нижнюю границу :

$${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}.}$$

когда xзамыканию ${\displaystyle d(x,S)=0}$

$${\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}$$

вполне регулярны ${\displaystyle d_{S}:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{S}(x)=d(x,S)}$

Учитывая два подмножества S и T из M , их расстояние Хаусдорфа равно

$${\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}.}$$

STSTSTε-сетьSM ${\displaystyle d_{H}(S,T)<\varepsilon }$ ${\displaystyle d_{H}(S,T)}$

Метрика Громова – Хаусдорфа определяет расстояние между (классами изометрии) компактных метрических пространств. Расстояние Громова –Хаусдорфа между компактами X и Y является нижней границей расстояния Хаусдорфа над всеми метрическими пространствами Z , которые содержат X и Y в качестве подпространств. Хотя точное значение расстояния Громова – Хаусдорфа редко бывает полезно знать, полученная топология нашла множество применений.

Разные примеры

• Учитывая метрическое пространство ( X , d ) и возрастающую вогнутую функцию такую, что f ( t ) = 0 тогда и только тогда, когда t = 0 , то это также метрика на X. Если f ( t ) = ^tα для некоторого действительного числа α <1 , такая метрика называется снежинкой d . ^[27] ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle d_{f}(x,y)=f(d(x,y))}$
• Узкая оболочка метрического пространства — это еще одно метрическое пространство, которое можно рассматривать как абстрактную версию выпуклой оболочки .
• Метрика хода коня , минимальное количество ходов коня, позволяющее достичь одной точки из другой, является метрикой на . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• Метрика British Rail (также называемая «метрикой почтового отделения» или « метрикой SNCF ») в нормированном векторном пространстве определяется как для различных точек и , и . В более общем смысле можно заменить функцией, переводящей произвольный набор в неотрицательные действительные числа и принимающей значение не более одного раза: тогда метрика определяется по для различных точек и , и . Название намекает на тенденцию железнодорожных перевозок проходить через Лондон (или Париж) независимо от конечного пункта назначения. ${\displaystyle d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$
• Метрика Робинсона -Фулдса , используемая для расчета расстояний между филогенетическими деревьями в филогенетике ^[28]

Конструкции

Метрические пространства продукта

Если - метрические пространства, а N - евклидова норма на , то - метрическое пространство, где метрика произведения определяется формулой ${\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}}$

$${\displaystyle d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},}$$

топологией произведенияNнорма таксиp-нормамаксимальная нормаn

Аналогично метрика топологического произведения счетного числа метрических пространств может быть получена с помощью метрики

$${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}$$

Топологическое произведение бесчисленного числа метрических пространств не обязательно должно быть метризуемым. Например, несчетное произведение копий не является первосчетным и, следовательно, не метризуемо. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Факторнометрические пространства

Если M — метрическое пространство с метрикой d и является отношением эквивалентности на M , то мы можем снабдить фактормножество псевдометрикой. Расстояние между двумя классами эквивалентности и определяется как ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle M/\!\sim }$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle [y]}$

$${\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},}$$

нижняя грань^[29]псевдометрику ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ ${\displaystyle p_{1}\sim x}$ ${\displaystyle q_{n}\sim y}$ ${\displaystyle q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1}$ ${\displaystyle d'([x],[y])=0}$ ${\displaystyle [x]=[y]}$ ${\displaystyle d'}$

Факторметрика характеризуется следующим универсальным свойством . Если является метрическим (т.е. 1-липшицевым) отображением между метрическими пространствами, удовлетворяющими f ( x ) = f ( y ) всякий раз , то индуцированная функция , заданная , является метрическим отображением ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle f\,\colon (M,d)\to (X,\delta )}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon {M/\sim }\to X}$ ${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$ ${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon (M/\sim ,d')\to (X,\delta ).}$

Фактор-метрика не всегда индуцирует фактор-топологию . Например, топологический фактор метрического пространства, идентифицирующий все точки формы, не является метризуемым, поскольку он не является счетным в первую очередь , но фактор-метрика является четко определенной метрикой на том же множестве, что приводит к более грубой топологии . Более того, разные метрики исходного топологического пространства (непересекающегося объединения счетного числа интервалов) приводят к разным топологиям фактора. ^[30] ${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]}$ ${\displaystyle (n,0)}$

Топологическое пространство является секвенциальным тогда и только тогда, когда оно является (топологическим) фактором метрического пространства. ^[31]

Обобщения метрических пространств

Существует несколько понятий пространств, которые имеют меньшую структуру, чем метрическое пространство, но большую, чем топологическое пространство.

• Равномерные пространства — это пространства, в которых не определены расстояния, но определена равномерная непрерывность.
• Пространства подхода — это пространства, в которых определены расстояния между точками вместо расстояний между точками. Они обладают особенно хорошими свойствами с точки зрения теории категорий .
• Пространства непрерывности — это обобщение метрических пространств и частично упорядоченных множеств , которое можно использовать для унификации понятий метрических пространств и областей .

Существует также множество способов ослабить аксиомы метрики, что приводит к возникновению различных понятий обобщенных метрических пространств. Эти обобщения также можно комбинировать. Терминология, используемая для их описания, не полностью стандартизирована. В частности, в функциональном анализе псевдометрики часто происходят от полунорм векторных пространств, поэтому их естественно называть «полуметриками». Это противоречит использованию этого термина в топологии .

Расширенные метрики

Некоторые авторы определяют метрики так, чтобы функция расстояния d могла достигать значения ∞, т. е. расстояния представляют собой неотрицательные числа на расширенной прямой вещественных чисел . ^[4] Такую функцию еще называют расширенной метрикой или «∞-метрикой». Любую расширенную метрику можно заменить вещественной метрикой, топологически эквивалентной. Это можно сделать с помощью субаддитивной монотонно возрастающей ограниченной функции, которая равна нулю в нуле, например или . ${\displaystyle d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))}$ ${\displaystyle d''(x,y)=\min(1,d(x,y))}$

Метрики, оцениваемые в структурах, отличных от действительных чисел.

Требование о том, чтобы метрика принимала значения, можно смягчить, чтобы учитывать метрики со значениями в других структурах, в том числе: ${\displaystyle [0,\infty )}$

• Упорядоченные поля , дающие понятие обобщенной метрики .
• Более общие направленные множества . В отсутствие операции сложения неравенство треугольника не имеет смысла и заменяется ультраметрическим неравенством . Это приводит к понятию обобщенной ультраметрики . ^[32]

Эти обобщения по-прежнему приводят к однородной структуре пространства.

Псевдометрия

Псевдометрика на — это функция , удовлетворяющая аксиомам метрики, с той лишь разницей, что вместо второй (тождественность неразличимых) требуется только для всех . ^[33] Другими словами, аксиомы псевдометрики таковы: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle x}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$.

В некоторых контекстах псевдометрики называют полуметриками ^[34] из-за их связи с полунормами .

Квазиметрика

Иногда квазиметрику определяют как функцию, которая удовлетворяет всем аксиомам метрики, за возможным исключением симметрии. ^[35] Название этого обобщения не совсем стандартизировано. ^[36]

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

Квазиметрика широко распространена в реальной жизни. Например, для набора X горных деревень типичное время ходьбы между элементами X образует квазиметрику, поскольку путешествие в гору занимает больше времени, чем путешествие вниз. Другой пример — продолжительность поездки на автомобиле в городе с улицами с односторонним движением: здесь кратчайший путь из точки А в точку Б проходит по другому набору улиц, чем кратчайший путь из Б в А , и может иметь разную длину.

Квазиметрика действительных чисел может быть определена, установив

$${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

субаддитивнуюy - xее ${\displaystyle 1+{\sqrt {y-x}}}$

Учитывая квазиметрику X , можно определить R -шар вокруг x как множество . Как и в случае с метрикой, такие шары образуют основу топологии на X , но эта топология не обязательно должна быть метризуемой. Например, топология, индуцированная квазиметрикой вещественных чисел, описанных выше, представляет собой (перевернутую) линию Соргенфрея . ${\displaystyle \{y\in X|d(x,y)\leq R\}}$

Метаметрика или частичные метрики

В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между одинаковыми точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомы метаметрики таковы:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\implies x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

Метаметрика возникает при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика такого пространства удовлетворяет требованиям для точек на границе, но в остальном представляет собой приблизительное расстояние от границы. Метаметрика была впервые определена Юсси Вяйсяля. ^[37] В других работах функция, удовлетворяющая этим аксиомам, называется частичной метрикой ^{[38] [39]} или дислоцированной метрикой . ^[33] ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d(x,x)}$ ${\displaystyle x}$

Полуметрика

Полуметрика — это функция , которая удовлетворяет первым трем аксиомам, но не обязательно неравенству треугольника : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$

Некоторые авторы работают с более слабой формой неравенства треугольника, например:

Из ρ-инфраметрического неравенства следует ρ-ослабленное неравенство треугольника (в предположении первой аксиомы), а из ρ-ослабленного неравенства треугольника следует 2ρ-инфраметрическое неравенство. Полуметрики, удовлетворяющие этим эквивалентным условиям, иногда называют квазиметриками , ^[40] околометриками ^[41] или инфраметриками . ^[42]

ρ-инфрамметрические неравенства были введены для моделирования времени двусторонней задержки в Интернете . ^[42] Из неравенства треугольника следует 2-инфреймрическое неравенство, а из ультраметрического неравенства — это в точности 1-инфраметрическое неравенство.

Преметрика

Ослабление последних трех аксиом приводит к понятию преметрики , то есть функции, удовлетворяющей следующим условиям:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$

Это не стандартный термин. Иногда его используют для обозначения других обобщений метрик, таких как псевдосемиметрика ^[43] или псевдометрика; ^[44] в переводах русских книг оно иногда выступает как «праметрическое». ^[45] Преметрика, которая удовлетворяет симметрии, т.е. псевдосемиметрика, также называется расстоянием. ^[46]

Любая преметрика порождает следующую топологию. Для положительного вещественного числа -шар с центром в точке определяется как ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.}$

Множество называется открытым , если в любой точке множества существует -шар с центром , содержащийся в множестве. Каждое преметрическое пространство является топологическим пространством и фактически секвенциальным пространством . Вообще говоря, сами шары не обязательно должны быть открытыми множествами относительно этой топологии. Что касается метрик, расстояние между двумя множествами и определяется как ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).}$

Это определяет преметрику на множестве степеней преметрического пространства. Если мы начнем с (псевдополу)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть симметричную преметрику. Любая предметрика порождает оператор предварительного замыкания следующим образом: ${\displaystyle cl}$

${\displaystyle cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.}$

Псевдоквазиметрика

Префиксы псевдо- , квази- и полу- также можно комбинировать, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой ) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые шары образуют базис открытых множеств. Самый простой пример псевдоквазиметрического пространства — это набор с преметрикой, заданной формулой и Соответствующее топологическое пространство — это пространство Серпинского . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle d(0,1)=1}$ ${\displaystyle d(1,0)=0.}$

Множества, оснащенные расширенной псевдоквазиметрикой, изучались Уильямом Лоувером как «обобщенные метрические пространства». ^[47] С категориальной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с соответствующими им нерасширяющими отображениями являются лучшими из категорий метрических пространств . Можно взять произвольные продукты и копродукции и сформировать факторобъекты внутри данной категории. Если отбросить «расширенное», можно будет брать только конечные произведения и копроизведения. Если отбросить слово «псевдо», то нельзя брать частное.

Лоувер также дал альтернативное определение таких пространств как обогащенных категорий . Упорядоченное множество можно рассматривать как категорию с одним морфизмом , если и ни с одним в противном случае. Использование + в качестве тензорного произведения и 0 в качестве тождества превращает эту категорию в моноидальную . Каждое (расширенное псевдоквази)метрическое пространство теперь можно рассматривать как категорию, обогащенную : ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle a\to b}$ ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle R^{*}}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R^{*}}$

• Объектами категории являются точки M .
• Для каждой пары точек x и y такой , что существует единственный морфизм, которому присваивается объект . ${\displaystyle d(x,y)<\infty }$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle R^{*}}$
• Неравенство треугольника и тот факт, что для всех точек x вытекает из свойств состава и идентичности в обогащенной категории. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
• Поскольку это частичное множество, все диаграммы , необходимые для обогащенной категории, коммутируют автоматически. ${\displaystyle R^{*}}$

Метрики на мультимножествах

Понятие метрики можно обобщить от расстояния между двумя элементами до числа, присвоенного мультимножеству элементов. Мультимножество — это обобщение понятия множества, в котором элемент может встречаться более одного раза. Определите объединение мультимножеств следующим образом: если элемент x встречается m раз в X и n раз в Y , то он встречается m + n раз в U. Функция d на множестве непустых конечных мультимножеств элементов множества M называется метрикой ^[48] , если ${\displaystyle U=XY}$

1. ${\displaystyle d(X)=0}$если все элементы X равны и в противном случае ( положительная определенность ) ${\displaystyle d(X)>0}$
2. ${\displaystyle d(X)}$зависит только от (неупорядоченного) мультимножества X ( симметрия )
3. ${\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}$( неравенство треугольника )

Рассмотрев случаи аксиом 1 и 2, когда мультимножество X имеет два элемента, и случай аксиомы 3, когда мультимножества X , Y и Z имеют по одному элементу каждое, восстанавливаются обычные аксиомы для метрики. То есть каждая метрика мультимножества дает обычную метрику, если ограничиться наборами из двух элементов.

Простым примером является набор всех непустых конечных мультимножеств целых чисел с . Более сложные примеры: информационное расстояние в мультимножествах; ^[48] ​​и нормализованное расстояние сжатия (NCD) в мультинаборах. ^[49] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(X)=\max(X)-\min(X)}$

Смотрите также

• Акустическая метрика  - Тензор, характеризующий свойства передачи сигнала в среде.
• Полная метрика  – Метрическая геометрияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Разнообразие (математика)  - Обобщение метрических пространств.
• Глоссарий римановой и метрической геометрии  - Математический глоссарий
• Четвертая проблема Гильберта  . Постройте все метрические пространства, в которых линии напоминают линии на сфере.
• Метрическое дерево
• Расстояние Минковского  - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Функция расстояния со знаком  — расстояние от точки до границы набора.
• Мера сходства  - функция с действительным знаком, которая количественно определяет сходство между двумя объектами.
• Пространство (математика)  - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
• Ультраметрическое пространство  - Тип метрического пространства.

Примечания

1. Шары с рациональным радиусом вокруг точки x образуют базис окрестности этой точки.
2. В контексте интервалов реальной линии или, в более общем плане, областей евклидова пространства, ограниченные множества иногда называют «конечными интервалами» или «конечными областями». Однако они обычно не имеют конечного числа элементов, и хотя все они имеют конечный объем , то же самое имеет и множество неограниченных множеств. Поэтому данная терминология неточна.
3. Это отличается от использования в римановой геометрии , где геодезические — это только локально кратчайшие пути. Некоторые авторы аналогичным образом определяют геодезические в метрических пространствах. ^{[18] [19]}

Цитаты

1. Чех 1969, с. 42.
2. Бураго, Бураго и Иванов 2001.
3. Хейнонен 2001.
4. Бураго, Бураго и Иванов 2001, с. 1.
5. Громов 2007, с. хв.
6. Глисон, Эндрю (1991). Основы абстрактного анализа (1-е изд.). Тейлор и Фрэнсис . п. 223. дои : 10.1201/9781315275444. ISBN 9781315275444. S2CID  62222843.
7. Фреше, М. (декабрь 1906 г.). «Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 22 (1): 1–72. дои : 10.1007/BF03018603. S2CID  123251660.
8. Блумберг, Генри (1927). «Grundzüge der Mengenlehre» Хаусдорфа. Бюллетень Американского математического общества . 6 : 778–781. дои : 10.1090/S0002-9904-1920-03378-1 .
9. Рудин 1976, с. 30.
10. Например, Бураго, Бураго и Иванов 2001, с. xiii:

    ... на протяжении большей части прошлого столетия было распространено мнение, что «геометрия многообразий» по сути сводилась к «анализу многообразий». Геометрические методы в значительной степени опирались на дифференциальную технику, о чем можно догадаться по названию «Дифференциальная геометрия».

11. Рудин, Мэри Эллен. Новое доказательство того, что метрические пространства паракомпактны. Архивировано 12 апреля 2016 г. на Wayback Machine . Труды Американского математического общества, Vol. 20, № 2. (февраль 1969 г.), с. 603.
12. Бураго, Бураго и Иванов 2001, с. 2.
13. Бураго, Бураго и Иванов 2001, с. 2.
    Некоторые авторы называют любую функцию, сохраняющую расстояние, изометрией, например, Munkres 2000, p. 181.
14. Громов 2007, с. XVIII.
15. Маргалит и Томас 2017.
16. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–66.
17. Бураго, Бураго и Иванов 2001, Определение 2.3.1.
18. Бураго, Бураго и Иванов 2001, Определение 2.5.27.
19. Громов 2007, Определение 1.9.
20. Бураго, Бураго и Иванов 2001, с. 127.
21. Хейнонен 2007, с. 191.
22. Джильи, Никола (18 октября 2018 г.). «Конспекты лекций по дифференциальному исчислению в пространствах RCD». Публикации НИИ математических наук . 54 (4): 855–918. arXiv : 1703.06829 . дои : 10.4171/PRIMS/54-4-4. S2CID  119129867.
23. Линиал, Натан (2003). «Конечные метрические пространства — комбинаторика, геометрия и алгоритмы». Труды ICM, Пекин, 2002 г. Том. 3. С. 573–586. arXiv : math/0304466 .
24. Бургейн, Дж. (1985). «О липшицевом вложении конечных метрических пространств в гильбертово пространство». Израильский математический журнал . 52 (1–2): 46–52. дои : 10.1007/BF02776078. S2CID  121649019.
25. Иржи Матушек и Асаф Наор , изд. «Открытые задачи о вложениях конечных метрических пространств». Архивировано 26 декабря 2010 г. в Wayback Machine .
26. Ó Searcoid 2006, с. 107.
27. Готлиб, Ли-Эд; Соломон, Шей (8 июня 2014 г.). Легкие гаечные ключи для метрик-снежинок . SOCG '14: Материалы тридцатого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии. стр. 387–395. arXiv : 1401.5014 . дои : 10.1145/2582112.2582140.
28. Робинсон, DF; Фулдс, Л.Р. (февраль 1981 г.). «Сравнение филогенетических деревьев» . Математические биологические науки . 53 (1–2): 131–147. дои : 10.1016/0025-5564(81)90043-2. S2CID  121156920.
29. Бураго, Бураго и Иванов 2001, Определение 3.1.12.
30. См. Бураго, Бураго и Иванов 2001, пример 3.1.17, хотя в этой книге ошибочно утверждается, что частное гомеоморфно топологическому фактору. ${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]/\mathbb {N} \times \{0\}}$
31. Горэм, Энтони. Последовательная сходимость в топологических пространствах. Архивировано 4 июня 2011 г. в Wayback Machine . Диссертация с отличием, Королевский колледж, Оксфорд (апрель 2001 г.), с. 14
32. Hitzler & Seda 2016, Определение 4.3.1. sfn error: no target: CITEREFHitzlerSeda2016 (help)
33. Hitzler & Seda 2016, Определение 4.2.1. sfn error: no target: CITEREFHitzlerSeda2016 (help)
34. Бураго, Бураго и Иванов 2001, Определение 1.1.4.
35. Стин и Сибах (1995); Смит (1987) harvtxt error: no target: CITEREFSmyth1987 (help)
36. Ролевич (1987) называет их «полуметриками». Тот же термин часто используется для двух других обобщений метрик.
37. Вяйсяля 2005.
38. «Частичные показатели: добро пожаловать» . www.dcs.warwick.ac.uk . Архивировано из оригинала 27 июля 2017 г. Проверено 2 мая 2018 г.
39. Букатин, Михаил; Копперман, Ральф; Мэтьюз, Стив; Паджоохеш, Хомейра (1 октября 2009 г.). «Частичные метрические пространства» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 116 (8): 708–718. дои : 10.4169/193009709X460831. S2CID  13969183.
40. Ся 2009.
41. Ся 2008.
42. Fraigniaud, Lebhar & Viennot 2008.
43. Булдыгин и Козаченко 2000.
44. Хелемский 2006.
45. Архангельский и Понтрягин (1990); Альдрованди и Перейра (2017)
46. Деза и Лоран 1997.
47. Ловере (1973); Викерс (2005)
48. Витаньи 2011.
49. Коэн и Витаньи 2012.

Рекомендации

• Альдрованди, Рубен; Перейра, Хосе Джеральдо (2017), Введение в геометрическую физику (2-е изд.), Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, МР  3561561
• Архангельский, А.В. ; Понтрягин, Л.С. (1990), Общая топология I: основные понятия и конструкции Теория размерности , Энциклопедия математических наук, Springer , ISBN 3-540-18178-4
• Брайант, Виктор (1985). Метрические пространства: Итерация и применение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-31897-1.
• Булдыгин В.В.; Козаченко, Ю. В. (2000), Метрическая характеристика случайных величин и случайных процессов , Переводы математических монографий, вып. 188, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 129, номер домена : 10.1090/mmono/188, ISBN 0-8218-0533-9, МР  1743716
• Бураго, Дмитрий ; Бураго, Юрий ; Иванов, Сергей (2001). Курс метрической геометрии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2129-6.
• Чех, Эдуард (1969). Наборы точек . Академическая пресса. ISBN 0121648508.
• Коэн, Эндрю Р.; Витаньи, Пол МБ (2012), «Нормализованное расстояние сжатия мультимножеств с приложениями», Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту , 37 (8): 1602–1614 , arXiv : 1212.5711 , doi : 10.1109/TPAMI.2014.2375175, PMC  4566858 , PMID  26352998
• Деза, Мишель Мари ; Лоран, Моник (1997), Геометрия разрезов и метрики, алгоритмы и комбинаторика, том. 15, Шпрингер-Ферлаг, Берлин, стр. 27, номер домена : 10.1007/978-3-642-04295-9, ISBN 3-540-61611-Х, МР  1460488
• Франьио, П.; Лебхар, Э.; Вьенно, Л. (2008), «Инфреймрическая модель для Интернета», 2008 IEEE INFOCOM - 27-я конференция по компьютерным коммуникациям , стр. 1085–1093, CiteSeerX  10.1.1.113.6748 , doi : 10.1109/INFOCOM.2008.163, ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID  5733968
• Громов, Михаил (2007). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Бостон: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4582-3.
• Хейнонен, Юха (2001). Лекции по анализу метрических пространств . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-95104-0.
• Хейнонен, Юха (24 января 2007 г.). «Негладкое исчисление». Бюллетень Американского математического общества . 44 (2): 163–232. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01140-8 .
• Хелемский, А.Я. (2006), Лекции и упражнения по функциональному анализу, Переводы математических монографий, том. 233, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 14, номер домена : 10.1090/mmono/233 , ISBN 978-0-8218-4098-6, МР  2248303
• Паскаль Хитцлер ; Энтони Седа (19 апреля 2016 г.). Математические аспекты семантики логического программирования. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4398-2962-2.
• Ловер, Ф. Уильям (декабрь 1973 г.). «Метрические пространства, обобщенная логика и закрытые категории». Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano . 43 (1): 135–166. дои : 10.1007/BF02924844. S2CID  1845177.
• Маргалит, Дэн ; Томас, Энн (2017). «Приемный час 7. Квази-изометрии». Часы работы с теоретиком геометрической группы . Издательство Принстонского университета. стр. 125–145. ISBN 978-1-4008-8539-8. JSTOR  j.ctt1vwmg8g.11.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. ОСЛК  42683260.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011), Топологические векторные пространства , Чистая и прикладная математика (второе изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1584888666, OCLC  144216834
• Ó Сиркоид, Мишель (2006). Метрические пространства . Лондон: Спрингер. ISBN 1-84628-369-8.
• Пападопулос, Атанас (2014). Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна (Второе изд.). Цюрих, Швейцария: Европейское математическое общество . ISBN 978-3-03719-132-3.
• Ролевич, Стефан (1987). Функциональный анализ и теория управления: линейные системы . Спрингер . ISBN 90-277-2186-6.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (Третье изд.). Нью-Йорк. ISBN 0-07-054235-Х. ОСЛК  1502474.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Смит, М. (1988), «Квазиоднородности: согласование областей с метрическими пространствами», в Мэйн, М.; Мелтон, А.; Мислов, М.; Шмидт, Д. (ред.), Математические основы семантики языков программирования , Конспект лекций по информатике, том. 298, Springer-Verlag, стр. 236–253, номер документа : 10.1007/3-540-19020-1_12, ISBN. 978-3-540-19020-2
• Стин, Линн Артур; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии . Дувр . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Витаньи, Пол МБ (2011). «Информационная дистанция кратна». Транзакции IEEE по теории информации . 57 (4): 2451–2456. arXiv : 0905.3347 . дои : 10.1109/TIT.2011.2110130. S2CID  6302496.
• Вяйсяля, Юсси (2005). «Гиперболические пространства Громова» (PDF) . Экспозиции Mathematicae . 23 (3): 187–231. дои : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 . МР  2164775.
• Викерс, Стивен (2005). «Локальное пополнение обобщенных метрических пространств I». Теория и приложения категорий . 14 (15): 328–356. МР  2182680.
• Вайсштейн, Эрик В. «Метрика продукта». Математический мир .
• Ся, Цинлань (2008). «Задача геодезии в околометрических пространствах». Журнал геометрического анализа . 19 (2): 452–479. arXiv : 0807.3377 . дои : 10.1007/s12220-008-9065-4. S2CID  17475581.
• Ся, К. (2009). «Задача геодезии в квазиметрических пространствах». Журнал геометрического анализа . 19 (2): 452–479. arXiv : 0807.3377 . дои : 10.1007/s12220-008-9065-4. S2CID  17475581.

Внешние ссылки

• «Метрическое пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Далеко и близко — несколько примеров функций расстояния при разрезании узла .