Секционная кривизна

В римановой геометрии секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий . Секционная кривизна K (σp ₎ зависит от двумерного линейного подпространства σp _{касательного} пространства в точке p многообразия. Геометрически ее можно определить как гауссову кривизну поверхности , которая имеет плоскость σp _как касательную плоскость в точке p , полученную из геодезических линий , начинающихся в точке p в направлениях σp ₍ другими словами, образ _σp под экспоненциальное отображение в точке p ). Секционная кривизна — вещественная функция на 2- грассмановом расслоении над многообразием.

Секционная кривизна полностью определяет тензор кривизны .

Определение

Учитывая риманово многообразие и два линейно независимых касательных вектора u и v в одной и той же точке , мы можем определить

${\displaystyle K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}}$

Здесь R — тензор кривизны Римана , определенный здесь согласно соглашению. В некоторых источниках используется противоположное соглашение, и в этом случае K(u,v) должен быть определен с помощью в числителе вместо ^[1] ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$ ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w,}$ ${\displaystyle \langle R(u,v)u,v\rangle }$ ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Обратите внимание, что линейная независимость u и v заставляет знаменатель в приведенном выше выражении быть отличным от нуля, так что K(u,v) четко определен. В частности, если u и v ортонормированы , то определение принимает простой вид

${\displaystyle K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Несложно проверить, что если они линейно независимы и охватывают одно и то же двумерное линейное подпространство касательного пространства , что и , то можно рассматривать секционную кривизну как функцию с действительным знаком, входные данные которой являются двумерным линейным подпространством касательное пространство. ${\displaystyle u,v\in T_{p}M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle x,y\in T_{p}M}$ ${\displaystyle K(u,v)=K(x,y).}$

Альтернативные определения

Альтернативно, кривизну сечения можно охарактеризовать окружностью маленьких кругов. Пусть – двумерная плоскость в . Пусть достаточно малым обозначен образ при экспоненциальном отображении at единичного круга в , и пусть обозначается длина . Тогда можно доказать, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l_{P}(r)}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$

${\displaystyle l_{P}(r)=2\pi r\left(1-{r^{2} \over 6}\sigma (P)+O(r^{3})\right),}$

как , для некоторого числа . Это число at представляет собой кривизну сечения at . ^[2] ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$

Коллекторы с постоянной кривизной сечения

Говорят, что риманово многообразие имеет «постоянную кривизну », если для всех двумерных линейных подпространств и для всех ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=\kappa }$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M.}$

Лемма Шура утверждает, что если (M,g) — связное риманово многообразие размерности не менее трех и если существует функция такая, что для всех двумерных линейных подпространств и для всех тогда f должно быть постоянным и, следовательно, (M, г) имеет постоянную кривизну. ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=f(p)}$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M,}$

Риманово многообразие постоянной секционной кривизны называется пространственной формой . Если обозначает постоянное значение поперечной кривизны, то тензор кривизны можно записать в виде ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle R(u,v)w=\kappa {\big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\big )}}$

для любого ${\displaystyle u,v,w\in T_{p}M.}$

Поскольку любая риманова метрика параллельна относительно своей связности Леви-Чивита, это показывает, что тензор Римана любого пространства постоянной кривизны также параллелен. Тогда тензор Риччи определяется как , а скалярная кривизна равна. В частности, любое пространство постоянной кривизны является эйнштейновским и имеет постоянную скалярную кривизну. ${\displaystyle \operatorname {Ric} =(n-1)\kappa g}$ ${\displaystyle n(n-1)\kappa .}$

Примеры моделей

Учитывая положительное число, определите ${\displaystyle a,}$

• ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},g_{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$быть стандартной римановой структурой
• ${\displaystyle \left(S^{n}(a),g_{S^{n}(a)}\right)}$быть сферой с заданной возвратом стандартной римановой структуры с помощью отображения включения ${\displaystyle S^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:|x|=a\right\}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}(a)\to \mathbb {R} ^{n+1}}$
• ${\displaystyle \left(H^{n}(a),g_{H^{n}(a)}\right)}$быть мячом с ${\displaystyle H^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<a\right\}}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}=a^{2}{\frac {{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}\left(dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}dx_{1}+\cdots +x_{n}dx_{n}\right)^{2}}{{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}^{2}}}.}$

В обычной терминологии эти римановы многообразия называются евклидовым пространством , n-сферой и гиперболическим пространством . Здесь дело в том, что каждое из них представляет собой полное связное гладкое риманово многообразие постоянной кривизны. Точнее, риманова метрика имеет постоянную кривизну 0, риманова метрика имеет постоянную кривизну и риманова метрика имеет постоянную кривизну. ${\displaystyle g_{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle 1/a^{2},}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}}$ ${\displaystyle -1/a^{2}.}$

Более того, это «универсальные» примеры в том смысле, что если это гладкое, связное и односвязное полное риманово многообразие постоянной кривизны, то оно изометрично одному из приведенных выше примеров; конкретный пример продиктован значением постоянной кривизны согласно постоянным кривизнам приведенных выше примеров. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g,}$

Если это гладкое и связное полное риманово многообразие постоянной кривизны, но не предполагается односвязным, то рассмотрим универсальное накрывающее пространство с римановой метрикой обратного образа. Поскольку по топологическим принципам риманово многообразие является накрывающим отображением, риманово многообразие локально изометрично , и поэтому оно представляет собой гладкое, связное и односвязное полное риманово многообразие с той же постоянной кривизной, что и одно из приведенных выше модельных примеров. Заметим, что палубные преобразования универсального покрытия являются изометриями относительно метрики ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \pi :{\widetilde {M}}\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ({\widetilde {M}},\pi ^{\ast }g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$

Изучение римановых многообразий постоянной отрицательной кривизны называется гиперболической геометрией .

Масштабирование

Пусть — гладкое многообразие, и пусть — положительное число. Рассмотрим риманово многообразие. Тензор кривизны как полилинейное отображение не изменяется в результате этой модификации. Пусть – линейно независимые векторы в . Затем ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (M,\lambda g).}$ ${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M,}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle K_{\lambda g}(v,w)={\frac {\lambda g\left(R^{\lambda g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{\lambda g}^{2}|w|_{\lambda g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{\lambda g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {g\left(R^{g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}K_{g}(v,w).}$

Таким образом, умножение метрики на умножает все кривизны сечения на ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{-1}.}$

Теорема Топоногова

Теорема Топоногова дает характеристику секционной кривизны с точки зрения того, насколько «толстыми» геодезические треугольники выглядят по сравнению с их евклидовыми аналогами. Основная интуиция заключается в том, что если пространство искривлено положительно, то край треугольника, противоположный некоторой данной вершине, будет стремиться отклониться от этой вершины, тогда как если пространство искривлено отрицательно, то противоположный край треугольника будет стремиться отклониться от этой вершины. наклонитесь к вершине.

Точнее, пусть M — полное риманово многообразие, а xyz — геодезический треугольник в M (треугольник, каждая из сторон которого является геодезической, минимизирующей длину). Наконец, пусть m — середина геодезической xy . Если M имеет неотрицательную кривизну, то для всех достаточно малых треугольников

${\displaystyle d(z,m)^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}}$

где d — функция расстояния на M. Случай равенства имеет место именно тогда, когда кривизна M равна нулю, а правая часть представляет собой расстояние от вершины до противоположной стороны геодезического треугольника в евклидовом пространстве, имеющего те же длины сторон, что и треугольник xyz . Это уточняет тот смысл, в котором треугольники «толще» в пространствах с положительной искривлением. В пространствах неположительной кривизны неравенство действует в другую сторону:

${\displaystyle d(z,m)^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}.}$

Если известны более точные границы секционной кривизны, то это свойство обобщается и дает теорему сравнения геодезических треугольников в M и треугольников в подходящей односвязной пространственной форме; см. теорему Топоногова . Простые следствия изложенной здесь версии таковы:

• Полное риманово многообразие имеет неотрицательную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция 1- вогнута для всех точек p . ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$
• Полное односвязное риманово многообразие имеет неположительную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция 1- выпуклая . ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$

Коллекторы с неположительной кривизной сечения

В 1928 году Эли Картан доказал теорему Картана–Адамара : если M — полное многообразие с неположительной секционной кривизной, то его универсальное накрытие диффеоморфно евклидову пространству . В частности, он асферичен : гомотопические группы для i ≥ 2 тривиальны. Следовательно, топологическая структура полного многообразия неположительной кривизны определяется его фундаментальной группой . Теорема Прейссмана ограничивает фундаментальную группу компактных многообразий отрицательной кривизны. Гипотеза Картана–Адамара утверждает, что классическое изопериметрическое неравенство должно выполняться во всех односвязных пространствах неположительной кривизны, которые называются многообразиями Картана–Адамара . ${\displaystyle \pi _{i}(M)}$

Коллекторы с положительной кривизной сечения

О строении многообразий положительной кривизны известно немного. Теорема о душе (Cheeger & Gromoll 1972; Gromoll & Meyer 1969) подразумевает, что полное некомпактное многообразие неотрицательной кривизны диффеоморфно нормальному расслоению над компактным многообразием неотрицательной кривизны. Что касается компактных многообразий положительной кривизны, то имеются два классических результата:

• Из теоремы Майерса следует , что фундаментальная группа такого многообразия конечна.
• Из теоремы Синджа следует , что фундаментальная группа такого многообразия четных измерений равна 0, если оно ориентируемо, и в противном случае. В нечетных измерениях многообразие положительной кривизны всегда ориентируемо. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Более того, примеров компактных многообразий положительной кривизны относительно мало, что оставляет много гипотез (например, гипотеза Хопфа о том, существует ли на метрика положительной секционной кривизны ). Наиболее типичным способом построения новых примеров является следующее следствие из формул кривизны О'Нила: if — риманово многообразие, допускающее свободное изометрическое действие группы Ли G, и M имеет положительную секционную кривизну на всех 2-плоскостях, ортогональных орбиты группы G, то многообразие с факторметрикой имеет положительную секционную кривизну. Этот факт позволяет построить классические пространства положительной кривизны, являющиеся сферами и проективными пространствами, а также следующие примеры (Циллер 2007): ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M/G}$

• Пространства Бергера и . ${\displaystyle B^{7}=SO(5)/SO(3)}$ ${\displaystyle B^{13}=SU(5)/\operatorname {Sp} (2)\cdot \mathbb {S} ^{1}}$
• Пространства Валлаха (или однородные многообразия флагов): , и . ${\displaystyle W^{6}=SU(3)/T^{2}}$ ${\displaystyle W^{12}=\operatorname {Sp} (3)/\operatorname {Sp} (1)^{3}}$ ${\displaystyle W^{24}=F_{4}/\operatorname {Spin} (8)}$
• Пространства Алоффа–Валлаха . ${\displaystyle W_{p,q}^{7}=SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q}\right)}$
• Пространства Эшенбурга ${\displaystyle E_{k,l}=\operatorname {diag} \left(z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}}\right)\backslash SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}}\right)^{-1}.}$
• Пространства Базайкина , где . ${\displaystyle B_{p}^{13}=\operatorname {diag} \left(z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}}\right)\backslash U(5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}}$ ${\displaystyle A\in \operatorname {Sp} (2)\subset SU(4)}$

Коллекторы с неотрицательной кривизной сечения

Чигер и Громолл доказали свою теорему о душе, которая утверждает, что любое полное некомпактное многообразие неотрицательной кривизны имеет вполне выпуклое компактное подмногообразие, такое, что диффеоморфно нормальному расслоению . Такое называется душой . В частности, из этой теоремы следует, что гомотопно своей душе , размерность которой меньше . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

Смотрите также

• Тензор кривизны Римана
• Кривизна римановых многообразий
• Кривизна
• Голоморфная секционная кривизна

Рекомендации

1. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, раздел 3.A.2.
2. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, раздел 3.D.4.

• Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008). Теоремы сравнения в римановой геометрии (пересмотренное переиздание оригинального издания 1975 года). Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea Publishing . дои : 10.1090/чел/365. ISBN 978-0-8218-4417-5. МР  2394158. Збл  1142.53003.
• Чигер, Джефф; Громолл, Детлеф (1972), «О структуре полных многообразий неотрицательной кривизны», Annals of Mathematics , Вторая серия, Annals of Mathematics, 96 (3): 413–443, doi : 10.2307/1970819, JSTOR  1970819, MR  0309010.
• Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия . Universitext (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-18855-8. ISBN 3-540-20493-8. МР  2088027. Збл  1068.53001.
• Громолл, Детлеф; Мейер, Вольфганг (1969), «О полных открытых многообразиях положительной кривизны», Annals of Mathematics , Вторая серия, Annals of Mathematics, 90 (1): 75–90, doi : 10.2307/1970682, JSTOR  1970682, MR  0247590, S2CID  122543838.
• Милнор, Дж. (1963). Теория Морса . Анналы математических исследований. Том. 51. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . МР  0163331. Збл  0108.10401.
• О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности . Чистая и прикладная математика. Том. 103. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1. МР  0719023. Збл  0531.53051.
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. МР  3469435. Збл  1417.53001.
• Циллер, Вольфганг (2007). «Примеры многообразий с неотрицательной кривизной сечения». В Чигере, Джеффри ; Гроув, Карстен (ред.). Метрическая и сравнительная геометрия . Обзоры по дифференциальной геометрии. Том. XI. Соммервилл, Массачусетс: Международная пресса. стр. 63–102. arXiv : math/0701389 . дои : 10.4310/SDG.2006.v11.n1.a4 . ISBN 978-1-57146-117-9. МР  2408264. Збл  1153.53033.